《走向高考》2014高三数学二轮专题复习课件:7-2概率

走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学

专题七

概 率 与 统 计

专题七 概率与统计

专题七
第二讲 概 率

考向聚焦

3

高频考点

核心整合

4

课后强化作业

考向聚焦

考向分析 (1)考查古典概型与几何概型的计算. (2)考查随机模拟思想与方法. (3)考查互斥、对立事件的概率.

命题规律 (1)以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与 对立事件的概率计算. (2)与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型. (3)(理)与定积分或线性规划结合考查几何概型.

核心整合

知识方法整合 1.随机事件的概率 随机事件的概率范围:0≤P(A)≤1; 必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0.

2.古典概型 ①计算一次试验中基本事件的总数 n;②求事件 A 包含的 m 基本事件的个数 m;③利用公式 P(A)= n 计算. 3.一般地,如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率 的和,即 P(A+B)=P(A)+P(B).

4. 对立事件: 在每一次试验中, 相互对立的事件 A 和- A不 会同时发生,但一定有一个发生,因此有 P(- A )=1-P(A). 5.互斥事件与对立事件的关系 对立必互斥,互斥未必对立. 6.几何概型 一般地,在几何区域 D 内随机地取一点,记事件“该点 落在其内部区域 d 内”为事件 A,则事件 A 发生的概率 P(A) d的测度 = . D的测度

疑难误区警示 1.正确区分互斥事件与对立事件. 2.计算古典概型概率时,要准确把握事件的等可能性, 找出所有的基本事件.

高频考点

古典概型
(2012· 广东珠海质检 )若以连续抛掷两次骰子分 别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆 x2+y2 =10 内(含边界)的概率为( 1 A.6 1 B.4 2 C.9 ) 7 D.36

[答案] A

[解析]

以抛掷两次骰子得到的点数 m,n 为坐标的点 P

共有 6×6=36 个,点 P 落在圆内时,m2+n2≤10, 这样的点 P 有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共 6 个, 6 1 ∴所求概率 P=36=6.

(文)(2013· 新课标Ⅰ文,3)从 1、2、3、4 中任取 2 个不同 的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( 1 A.2 1 C.4 1 B.3 1 D.6 )

[答案] B

[解析]

从 1、2、3、4 中任取两个不同的数共有 6 种不同

结果,满足差的绝对值为 2 的结果有(1,3)和(2,4)两种,所以概 2 1 率为 P=6=3,选 B.

(理)(2013· 北京文, 16)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气 质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良, 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染. 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率; (2)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最 大?(结论不要求证明)

[解析]

(1)在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中,1 日、2

日、3 日、7 日、12 日、13 日共 6 天的空气质量优良,所以此 6 人到达当日空气质量优良的概率是13. (2)根据题意, 事件“此人在该市停留期间只有 1 天空气质 量重度污染”等价于“此人”到达该市的日期是 4 日, 或 5 日, 或 7 日,或 8 日, 所以此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率 4 为 . 13 (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

[方法规律总结] m 1. 用古典概型概率计算公式 P= n 求概率, 必须先判断事 件的等可能性. 2.当某事件含有的基本事件情况比较复杂,分类较多时, 可考虑用对立事件概率公式求解. 3.要熟练掌握列举基本事件的方法,当古典概型与其他 知识结合在一起考查时, 要先依据其他知识点的要求求出所有 可能的事件及基本事件数,再计算.

几何概型

?y≤x, ? 若不等式组 ?y≥-x, ?2x-y-3≤0. ?

表示的平面区域

为 M, x2+y2≤1 所表示的平面区域为 N, 现随机向区域 M 内 抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为( π A.12 π C.6 π B.8 π D.3 )

[答案] A

[解析]

如图, 不等式组表示的平面区域 M 为△OAB, A(1,

-1),B(3,3),S△OAB=3,

π 区域 N 在 M 中的部分面积为 , 4 π 4 π ∴所求概率 P=3=12.

(2013· 福建理,11)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机 数 a,则事件“3a-1>0”发生的概率为________.
2 [答案] 3
1 1-3 1 2 ∵a∈[0,1),故 a>3的概率 P= 1 =3.

[解析]

[方法规律总结] 1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、 夹角等时,应考虑使用几何概型求解; 2.利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成 的区域和事件发生的区域的计算,有时需要设出变量,在坐标 系中表示所需要的区域. 3.几何概型与其他知识结合命题,应先依据所给条件转 化为几何概型,求出区域的几何测度,再代入公式求解.

概率与其他知识的综合问题
(文)(2013· 深圳市二调)2013 年 3 月 14 日, CCTV 财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的 现象. 为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关, 某大学实验室随机抽取了 60 个样本,得到了相关数据如下 表:

混凝土耐久 混凝土耐久 性达标 使用淡化海 砂 使用未经淡 化海砂 总计 25 性不达标 5

总 计 30

15 40

15 20

30 60

(1)根据表中数据, 利用独立性检验的方法判断, 能否在犯 错误的概率不超过 1%的前提下,认为使用淡化海砂与混凝土 耐久性是否达标有关? (2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个,现从这 6 个样本中任取 2 个,则取出的 2 个样本混凝土 耐久性都达标的概率是多少?

参考数据: P(K2 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ≥k) k 0 5 25 10 05 01

2.7 3.8 5.0 6.6 7.8 10. 06 41 24 35 79 828

[解析]

(1)提出假设 H0: 使和淡化海砂与混凝土耐久性是

否达标无关. 根据表中数据,求得 K2 的观测值 60×?25×15-15×5?2 k= =7.5>6.635. 2 30 ×40×20 查表得 P(K2≥6.635)=0.010. ∴能在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为使用淡化 海砂与混凝土耐久性是否达标有关.

(2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取 6 个, 25 其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为30×6=5, “混凝土耐 久性不达标”的为 6-5=1, “混凝土耐久性达标”记为 A1,A2,A3,A4,A5,“混凝 土耐久性不达标”的记为 B,

在这 6 个样本中任取 2 个,有以下几种可能:(A1,A2), (A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,B),(A2,A3),(A2,A4), (A2,A5),(A2,B),(A3,A4),(A3,A5),(A3,B),(A4,A5), (A4,B),(A5,B),共 15 种. 设“取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标”为事件 A,它 的对立事件- A 为“取出的 2 个样本至少有 1 个混凝土耐久性不 达标”,包含(A1,B),(A2,B),(A3,B),(A4,B),(A5,B), 共 5 种可能,

5 2 - ∴P(A)=1-P( A )=1- = , 15 3 2 即取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是3.

(理)(2013· 湖南理,18)某人在如图所示的直角边长为 4 米 的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形 的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验, 一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株 数 X 之间的关系如下表所示:

X Y

1 51

2 48

3 45

4 42

这里, 两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物, 求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株, 求它的年收获量的分布列 与数学期望.

[解析]

(1)所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15,其

中三角形地块内部的作物株数为 3,边界上的作物株数为 12. 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果
1 有 C1 3C12=36 种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有

3+3+2=8 种. 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物, 8 2 它们恰好“相近”的概率为 P= = . 36 9

(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量 Y 的分布列. 因为 P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出 P(X=k)(k=1,2,3,4)即可. 记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数(k=1,2,3,4), 则 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.

nk 由 P(X=k)= 得 N 2 4 6 2 P(X=1)=15,P(X=2)=15,P(X=3)=15=5,P(X=4) 3 1 = = . 15 5 故所求的分布列为 Y P 51 2 15 48 4 15 45 2 5 42 1 5

2 4 2 所求的数学期 望为 E(Y) = 51× + 48× + 45× + 15 15 5 1 34+64+90+42 42×5= =46. 5

(2013· 山西六校模拟)某中学共有 1000 名学生参加了该地 区高三第一次质量检测的数学考试,数学成绩如下表所示: 数学成 绩分组 人数 [0,30) 60 [30,60) 90 [60,90) 300 [90,120) [120,150] x 160

(1)为了了解同学们前段复习的得失, 以便制定下阶段的复 习计划, 学校将采用分层抽样的方法抽取 100 名同学进行问卷 调查,甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分,求他被抽中的 概率; (2)已知本次数学成绩的优秀线为 110 分, 试根据所提供数 据估计该中学达到优秀线的人数; (3)作出频率分布直方图, 并估计该学校本次考试的数学平 均分.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

[ 解析 ]

(1) 分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为

样本容量 . 总体中个体总数 1 故甲同学被抽到的概率 P=10. (2)由题意得 x=1000-(60+90+300+160)=390. 故估计该中学达到优秀线的人数为 120-110 160+390× =290. 120-90

(3)频率分布直方图如图所示.

该学校本次考试的数学平均分 60×15+90×45+300×75+390×105+160×135 - x= 1000 =90. 估计该学校本次考试的数学平均分为 90 分.

[方法规律总结] 概率与统计结合命题是高考命题的主要方式,解题时,先 通过审题将条件与结论分块,并且加以转化或具体化,再分块 处理后加以整合,函数的零点,不等式表示的平面区域及圆锥 曲线的内部,与茎叶图、分层抽样、频率分布直方图、古典概 型、几何概型等是常见交叉命题点.

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