一般数列的求和方法

一般数列的求和方法
一 公式法 对这些比较简单常见的数列, 我们可以记下他们的前 n 项和, 在题目里我们可以直接利用 它们。 (1) 1 + 2 + 3 + L + n = n ( n + 1) 2 (2) 1 + 3 + 5 + L + ( 2n ? 1) = n2
1 (4) 12 + 22 + 32 + L + n 2 = n ( n + 1)( 2n + 1) 6

(3) 2 + 4 + 6 + L + 2n = n ( n + 1)
1 2 (5) 1 + 2 + 3 + L + n = n 2 ( n + 1) 4
3 3 3 3

(6) 1 + a + a + L + a
2

n ?1

? n ? = ?1 ? a n ? ? 1? a

( a = 1) ( a ≠ 1)

例 1 求 ?12 + 22 ? 32 + 42 ? 52 + 62 ? L ? 992 + 100 2 的和。

二 分组结合法 若数列 {cn } 的通项公式为 cn = an + bn ,其中 {an } 、 {bn } 中一个是等差数列,另一个是等比 数列,求和时一般利用分组结合法。 1 1 1 1 2 3 4 L 例 2 求数列 1 、 、 、 、 的前 n 项的和。 2 4 8 16

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三、裂项相消法 若一个数列的每一项都可以化为两项之差,并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同, 求和时中间项互相抵消,这种数列求和的方法就是裂项相消法。 常见的拆项公式有: (特点:通项一般有方式结构) (1)

1 1 1 = ? n ( n + 1) n n + 1

(2)

1? 1 1 ? = ? ? ? ( 2n ? 1)( 2n + 1) 2 ? 2n ? 1 2n + 1 ? 1

(3)

? 1 1? 1 1 = ? ? ? n ( n + 1)( n + 2 ) 2 ? n ( n + 1) ( n+1)( n+2 ) ? 1 1 = a + b a ?b

(4)

(

a? b

)

(5) an = Sn ? Sn ?1

( n ≥ 2)

例 3 求和:sn = 1 +

1 1 1 + +L+ 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3+L+ n

例 4 Sn =

1 1 1 1 + + +L + ,求 Sn 。 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 3 × 4 × 5 n ( n + 1)( n + 2 )

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四 错位相减法 若数列 {cn } 的通项公式 cn = an ? bn ,其中 {an } 、 {bn } 中一个是等差数列,一个是等比数列 求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和 式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和。这种方法叫错位相减法。 1 3 5 2n ? 1 例 5 求数列 , , ,L , n ,L 的前 n 项的和。 2 4 8 2

五 倒序相加法 如等差数列的前 n 项和的求法就是采用这种办法, 即先倒序书写这个数列, 然后再把原数 列和倒写后的数列对应项相加可以求得原数列的前 n 项和。 例 7.已知f ( x ) =
x2 1 1 1 , 则f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f ( ) + f ( ) + f ( ) 。 2 1+ x 2 3 4

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