指数函数公开课(2010.10)_图文

及 其 性 质

指 数 函 数

创设情景
引例1.一张白纸对折一次得两层,对折两次得 引例 一张白纸对折一次得两层,

4层,对折3次得 层,问若对折 x 次所得层数 层 对折 次得 次得8层 为y,则y与x 的函数关系是 ? , 与
次数 纸张层数

第一次 第二次 第三次

表达式

y=2

x

2=21 4=22 8=23
x

2 第x次 纸张层数y关于对折次数 的表达式为: 关于对折次数x的表达式为 纸张层数 关于对折次数 的表达式为

创设情景
引例2 动手操作,并回答下列问 引例 、动手操作 并回答下列问 题:

1 一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 一根 米长的绳子从中间剪一次剩下 米,再从中 2
间剪一次剩下

1 若这条绳子剪x次剩下 次剩下y米 米,若这条绳子剪 次剩下 米, 4

的函数表达式是: 则y与x的函数表达式是: 与 的函数表达式是

?1? y =? ? ?2?

x

引入概念
我们从两列指数式和三个实例抽象得到两个函数: 我们从两列指数式和三个实例抽象得到两个函数
x

?1? y = 2 与y = ? ? ? 2?
x

1.指数函数的定义: 指数函数的定义 形如y 的函数叫做指数函数, 形如 = ax(a>0,且a ≠1)的函数叫做指数函数, > , 的函数叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是 函数的定义域是R 其中 是自变量 .函数的定义域是 . 思考:为何规定a>0,且a≠1? 为何规定 > , ≠
Ο Ο

这两个函数有 这两个函数有 何特点? 何特点?

b 指数式 中b可以是 有 可以是 理数也可以是无理数,所 理数也可以是无理数 所 以指数函数的定义域是R 以指数函数的定义域是

a

0

1

a

概念剖析
思考:为何规定 思考 为何规定a>0,且a≠1 ?
Ο Ο

0

1

a
1 2

(?3) = ? 3 1 x有些会没有意义,如 ? 2 当a=0时,a 有些会没有意义, 0 = 2 时 0
有些会没有意义, 当a<0时,a x有些会没有意义,如 时 恒等于1,没有研究的必要. 当a=1时,a x 恒等于 ,没有研究的必要 时

概念剖析
指数函数解析式有什么特点? 思考1: 思考 指数函数解析式有什么特点 下列哪些是指数函数? 下列哪些是指数函数?

(1) y=x2 × √ (2) y=2x (3) y=2-x √ (4) y=2 · 3x × (5) y=23x √ (6) y=3x+1 ×

指数函数的解析式

a

x

y=a

x



的系数是1 的系数是 ;

指数必须是单个x 指数必须是单个 ; 必须是单个 底数a> , ≠ 底数 >0,且a≠1.

思考2:当 为何值时 y 为何值时, 为指数函数? 思考 当a为何值时, = (a 2 ? 3a + 3)2 x 为指数函数 当a为何值时, = (a 2 ? 3a + 3)a x 为指数函数? 为何值时, 为指数函数 为何值时 y

动手操作, 动手操作 画出图像
2.指数函数的图象: 指数函数的图象: 指数函数的图象
x x 与y = ? 1 ? ? ? 在同一坐标系中画出函数 y = 2 ?2? 的图象.
x与y = ? 1 ? 在同一坐标系中画出函数 y = 3 ? ? ?3? 的图象. 的图象 x

描点法作图

列表

描点

连线

动手操作, 动手操作 画出图像
? 1 ?x ? ? y=? ? ? 3? ? ?

1 ?x ? y=? ? ?2?

y = 3x

x y=2

观察以上四个函数的图象,你发现了什么特征 有何异同 观察以上四个函数的图象 你发现了什么特征?有何异同 你发现了什么特征 有何异同?

观察图像, 观察图像 得出性质

图 象 性 质
y=1

a>1
y y=ax
(a>1) (0,1)

0<a<1
y=ax
(0<a<1) (0,1)

y

y=1 x

0

x

0



定义域: R 域: (0,+ ∞ ) (0,1), x=0 ,y=1.

x>0,y>1; x<0, 0<y<1 x<0,y>1; x>0,0<y<1 在 R 上是 性 在 R 上是 性 增函数 减函数 性 非奇非偶函数

应用新知 求下列函数的定义域

(1) y = 3

x?2

? 1? (2) y = ? ? ? 2?

1 x

解:(1)要使函数有意义,只要x-2≧0,即x≧2 所以函数的定义域为﹝2,+∞) 2 +∞ (2)要使函数有意义,只要x≠0 所以函数的定义域为( -∞ ,0) ∪(0,+∞)

应用新知
比较下列各题中两个值的大小: 例1. 比较下列各题中两个值的大小:
?0.1

() 与 13 3
0.8

0.7

(2)0.75 与 .75 0
x

0.1

(3)1.8 与 .8 0
0.6

1.6

上是增函数,且0.8>0.7 解(1)∵ y = 3 在R上是增函数 ) 上是增函数 0.8 0.7 比较指数幂大小的方法: 小结 比较指数幂大小的方法: ∴ 3 >3
x

上是减函数, (2)∵ y = 0.75 在R上是减函数,且-0.1<0.1 ) 上是减函数 单调性法:利用函数的单调性, ①、单调性法75利用函数的单调性,数的特征 ∴ 0. : ?0.1 > 0.750.1
x

上是增函数, (3)∵ y =1.8 在R上是增函数, ) 是底同指不同(包括可以化为同底的)。 上是增函数 是底同指不同(包括可以化为同底的)。 x y: 中间值法:找一个 R上是减函数 1.6来过渡 中间值” 来过渡, ②、中间值法=60.8 在“上是减函数 “1”来过渡 中间值”如 0. 0 0 ∴ 1.8 >1.8 =1 = 0.8 > 0.8 0.6 1.6 数的特征是底不同指不同。 ∴数的特征是底不同指不同。 1.8 > 0.8

应用新知
练习1. 比较大小: 练习 比较大小: (1)3.10.5 < 3.12.3 ) (3) 2.3-2.5 < )
2 ?0.3 (2) ) ) ( 3

2 ( )?0.24 > 3

0.2 -0.1

练习2. 已知 已知0.3 求实数x的取值范围 练习 (1)已知 x≥0.37,求实数 的取值范围 求实数 的取值范围.

(x≦7) 1 (2)已知 5x< , 求实数 的取值范围 求实数x的取值范围 的取值范围. 已知 25

5 <5
x
x

?2

X<-2
?3

? 1? ? 1? 1x (3)解不等式( ) >27?? ? > ? ? ) ? 3? ? 3? 3

X<- X<-3

应用新知

练习3 练习3
( 若 1) 3
2x-1

< 3 , x的 值 围 求 取 范 。
x+5

2x2x-1<x+5

X<6

( 若 2x?1 < ax+5 (a > 0且 ≠1), 求 取 范 。 2) a a x的 值 围
a 时 2x ? 当 >1 , ?1< x +5 ?x < 6 ? 0 时 ?当 < a <1 ,2x ?1> x +5 ?x > 6

感悟收获,巩固拓展 感悟收获 巩固拓展
1、总结反思 、
我学到了哪些数学知识? 我学到了哪些数学知识? 我掌握了哪些数学方法? 我掌握了哪些数学方法? 指数函数性质还可以解决哪些问题? 指数函数性质还可以解决哪些问题?

2、课后作业 、 课本P59 课本 5 ,6,7,8


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