人教版高中数学选修2-3直线的参数方程ppt课件_图文

第 二 讲 参数方程 三、直线的参数方程 目标导航 【学习目标】 1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义. 2.能应用直线的参数方程中 t 的几何意义解决求距离,求 线段长度,与中点有关的问题. 【目标解读】 重点:直线参数方程及参数的几何意义. 难点:直线的参数方程的应用. 情境切入 起重机在起吊重物时,首先将起重臂扬起某一角度,然后将 起重臂伸长,最后将吊钩放下,将重物吊起.起重臂是绕着轴旋 转的,旋转到某一角度可以停下.在平面中,如果将起重臂看成 直线,轴看成点.仰角记为 θ,那么如何用这一点和角 θ 表示这 条直线呢?本节就来学一下直线的参数方程. 课 前 自 主 预 习 感悟教材 · 学与思 (对应学生用书 P22) 直线的参数方程 过定点 M0(x0,y0),倾斜角为 y - y0 = (x - x0)tan ? π? α?α≠2?的直线 ? ? l 的普通方程为 (t 为参 ? ?x=x0+tcos α, α ,它的参数方程为 ? ? ?y=y0+tsin α 数),这种形式称为直线参数方程的标准形式. |t|是直线上任一点 M(x,y)到 其中参数 t 的几何意义是:___________________________ __________________ M0(x0, y0)的距离 ,即|M0M|=|t|. → t >0 若______,则M0M的方向向上; → t <0 若_______,则M0M的方向向下; t=0 ,则 M 与 M0 重合. 若______ 问题探究:怎样由直线的参数方程求倾斜角? 提示:如果直线的参数方程是标准形式,由方程直接可得出 倾斜角,即方程中的角 α,例如,直线的参数方程为 ? , ?x=1+tcos 15° ? ? ?y=2+tsin 15° (t 为参数),则直线的倾斜角为 15° . 如果直线的参数 方程不是标准形 式,例如直线 ? , ?x=1+tsin 15° ? ? ?y=1+tcos 15° (t 为参数), 则其倾斜角就不能直接判断了. 第 ? , ?x-1=tsin 15° 一种方法:把参数方程改写为? ? , ?y-1=tcos 15° 消去 t,有 y-1 =(x-1)cot 15° , 即 y-1=(x-1)tan 75° , 故倾斜角为 75° .第二种 ? , ?x=1+tcos 75° 方法:把原方程化为标准形式,即 ? ? , ?y=1+tsin 75° 可以看出 直线的倾斜角为 75° . 特别提醒 ? ?x=x0+at b 过点 M(x0, y0), 斜率为 k=a的直线的参数方程为? ? ?y=y0+bt (t 为参数),这种形式称为直线的一般式参数方程,其中的参数 t 不是有向线段的数量. 课 堂 互 动 探 究 核心突破 · 导与练 (对应学生用书 P22) 要点一 直线的参数方程及其几何意义 已知直线的普通方程, 可以确定直线的斜率, 从而求得 sin α, cos α.再利用直线上一点,就可得到直线的参数方程;根据参数 t 的几何意义可求直线上两点的距离. 写出直线 2x-y+1=0 的参数方程的标准形式, 并求直线上 的点 M(1,3)到点 A(3,7),B(8,6)的距离. 【分析】 要求直线参数方程的标准形式, 需要知道两个量, 一个是直线上一定点,另一个是直线的倾斜角. 【解】 根据直线的普通方程可知斜率是 2, 设直线的倾斜角是 α, 2 5 5 则 tan α=2,sin α= 5 ,cos α= 5 , ? ? 所以直线的参数方程是?x=1+ ? ? 5 t, 5 y=3+ 2 5 t. (t 为参 5 数) 经验证易知点 A(3,7)恰好在直线上, 5 所以有 1+ 5 t=3, 即 t=2 5, 即点 M 到点 A 的距离是 2 5. 而点 B(8,6)不在直线上,所以不能使用参数 t 的几何意义, 可以根据两点之间的距离公式求出距离为 58. ?1-8?2+?3-6?2 = 名师点评 本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义.常见 错误是转化参数方程时不注意点是否在直线上,乱套几何意义. 5π 设直线 l1 过点 A(2,-4),倾斜角为 6 , (1)求直线 l1 的参数方程; (2)设直线 l2:x-y+1=0,l2 与 l1 的交点为 B,求点 B 与 A 的距离. [ 解] (1)由直线参数方程得 ? 3 ?x=2- 2 t, 即? ?y=-4+1t. 2 ? 5 ? ?x=2+tcos6π, ? ?y=-4+tsin5π, 6 ? (t 为参数) (2)如图所示,B 点在 l1 上,只要求出 B 点对应的参数值 t, 则|t|就是 B 到 A 的距离. 把 l1 的参数方程代入 l2 的方程中,得 ? ? ? 2- ? ? 1? 3? ? t -?-4+2t?+1=0, 2 ? ? ? ? 3+1 ∴ 2 t=7, 14 ∴t = =7( 3-1). 3+1 t 为正值,知|AB|=7( 3-1). 要点二 直线参数方程的应用 直线的参数方程的标准形式的应用技巧 经过点 M0(x0 , y0) ,倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 ? ?x=x0+tcos α ? ? ?y=y0+tsin α (t 为参数), 1. 若 P1, P2 是直线 l 上的两个点, 对应的参数分别为 t1, t2 , → → 则向量P1P2的数量为 t2-t1,∴|P1P2|=|t2-t1|,若 P1,P2 是直线 l 与某圆锥曲线的两个交点,则弦长|P1P2|=|t2-t1|. 2. 若 P1P2 的中点为 P3, 且 P1, P2, P3 对应的参数分别为 t1, t1+t2 t2,t3,则 t3= 2 ,特别地,若直线 l 上的两个点

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