高三数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性课时训练理08300110

第3节 函数的奇偶性与周期性 【选题明细表】 知识点、方法 函数奇偶性的判定 函数周期性的应用 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性比较函数值的大小、 解函数不等式 函数基本性质的综合应用 基础对点练(时间:30 分钟) 1.下列函数中,为奇函数的是( D ) x (A)y=2 + (B)y=x,x∈{0,1} (C)y=x·sin x x 题号 1,12 5,6 2,4,7,9 10,11,13 3,8,14,15,16 (D)y= 解析:因为 y=2 +≥2,所以它的图象不关于原点对称,故 A 不是奇函数;选项 B 定义域不关于原 点对称,故 B 不是奇函数;设 f(x)=xsin x,因为 f(-x)=(-x)sin (-x)= xsin x=f(x),所以 y=xsin x 是偶函数.故选 D. 2 2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x -x,则 f(1)等于( A ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 2 解析:因为 f(x)是奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x -x, 2 所以 f(1)=-f(-1)=-[2×(-1) -(-1)]=-3. 3.若 y=f(x)既是周期函数,又是奇函数,则其导函数 y=f′(x)( B ) (A)既是周期函数,又是奇函数 (B)既是周期函数,又是偶函数 (C)不是周期函数,但是奇函数 (D)不是周期函数,但是偶函数 解析:法一 因为 y=f(x)是周期函数,设其周期为 T,则有 f(x+T)=f(x),两边同时求导, 得 f′(x+T)(x+T)′=f′(x), 即 f′(x+T)=f′(x),所以导函数为周期函数. 因为 y=f(x)是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x),两边同时求导,得 f′(-x)(-x)′=-f′(x), 即-f′(-x)=-f′(x), 所以 f′(-x)=f′(x),即导函数为偶函数,故选 B. 法二 由导数的几何意义知导函数与原函数具有相同的周期,且导函数与原函数的奇偶性相 反. 4.已知函数 f(x)= ,若 f(a)=,则 f(-a)等于( C ) 1 (A) (B)- (C) (D)=1+ , 而 h(x)= 是 奇 函 数 , 故 解 析 : 根 据 题 意 ,f(x)= f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-=. 5.已知 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=lg x,设 a=f(),b=f(),c=f(),则( A ) (A)c<a<b (B)a<b<c (C)b<a<c (D)c<b<a 解析:因为 a=f()=f(-)=-f()=-lg =lg , b=f()=f(-)=-f()=-lg =lg 2, c=f()=f()=lg =-lg 2, 所以 b>a>c. 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+4)=(A)1 (B)-1 (C)2 , (D)-2 ,且 f(0)=1,则 f(2 016)等于( A ) 解析:f(x+4)=- 所以 f(x+8)=- =f(x), 所以 f(2 016)=f(252×8)=f(0)=1.故选 A. x -x 7.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=a -a +2(a>0,且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)等于( B ) (A)2 (B) (C) (D)a 2 解析:因为 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, 所以 f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a, 2 -2 因为 f(2)+g(2)=a -a +2,① -2 2 所以 f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a -a +2,② 由①②联立得 g(2)=a=2,f(2)=a -a = . 2 -2 8.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= 解析:因为 f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= 所以当 x<0 时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-( +1), +1, +1,则当 x<0 时,f(x)= . 2 即 x<0 时,f(x)=-( +1)=- -1. 答案:- -1 9.已知函数 f(x)为奇函数,函数 f(x+1)为偶函数,f(1)=1,则 f(3)= . 解析:根据条件可得 f(3)=f(2+1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1)=-1. 答案:-1 x 10. 已 知 f(x),g(x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 且 f(x)-g(x)=() , 则 f(1),g(0),g(-1)之间的大小关系是 . x x 解析:在 f(x)-g(x)= () 中,用-x 替换 x,得 f(-x)-g(-x)=2 ,由于 f(x),g(x)分别是定义在 R x 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 所 以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 因 此 得 -f(x)-g(x)=2 . 于 是 解 得 f(x)= ,g(x)=,于是 f(1)=-,g(0)=-1,g(-1)=-,故 f(1)>g(0)>g(-1). 答案:f(1)>g(0)>g(-1) 11.(2015 峨眉山模拟 ) 设 f(x) 的定义域为 (- ∞ ,0) ∪ (0,+ ∞ ), 且 f(x) 是奇函数 , 当 x>0 时,f(x)= . (1)求当 x<0 时,f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)<-. 解:(1)因为 f(x)是奇函数,所以当 x<0 时,f(x)=-f(-x),-x>0, 又因为当 x>0 时,f(x)= , 所以当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=- = . (2)f(x)<-,当 x>0 时,即 <-, 所以 <-,所以 >,所以 3 -1<8, x

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