2014年北师大版高中数学必修4第3章《三角恒等变形》章末归纳总结ppt课件_图文

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
三角恒等变形

第三章

三角恒等变形

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第三章 章末归纳总结

第三章

三角恒等变形

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1

知 识 结 构

2

知 识 梳 理

3

专 题 探 究

4

即 时 巩 固

第三章

章末归纳总结

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知识结构

第三章

章末归纳总结

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第三章

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第三章

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知识梳理

第三章

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本章主要学习了同角三角函数的基本关系,两角和与差的 三角函数和二倍角的三角函数. 1.同角三角函数的基本关系: sinα sin α+cos α=1,tanα=cosα.
2 2

2.两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(Cα+β) cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(Cα-β) sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(Sα+β) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(Sα-β)
第三章 章末归纳总结

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3.二倍角的三角函数 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 2tanα tan2α= 2 . 1-tan α

第三章

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通过本章学习,重点掌握以下几个方面:
1.三角函数式求值 三角函数式的求值包括三种类型:给角求值,给值求值, 给值求角. (1)给角求值

给角求值的解法规律是恰当地应用诱导公式,合理地进行
角的变形,恰当地应用和角与差角的三角函数公式、二倍角公 式、积化和差、和差化积公式、万能代换公式和半角公式,使 其转化为特殊角的三角函数值的求解问题.

第三章

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给角求值中要注意当角较大时,应先利用诱导公式,这样能使 角之间的关系更明确,这也是给角求值的技巧之一.技巧之二 是进行角变换,将其中一个角用另两个角(已知角或特殊角 )表 示出来,减少未知角的个数.

第三章

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(2)给值求值 给值求值这类问题的解法规律是将所给的一个或几个三角 函数式根据问题的需要进行恒等变形,使其转化为所求函数式 能够使用的条件,然后用代入法求出三角函数式的值.也可以

将所求的函数式经过适当的变形后,再利用条件,即给值求值
的方法是代入法或恒等变形法.

第三章

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(3)给值求角 给值求角这类问题的解法规律是根据已知条件求出该角的 某种三角函数值,并根据已知条件判断出所求的角的范围,根 据三角函数值及角的范围确定出角的大小.给值求角的难点是

缩小角的范围,角的范围必须缩小到该三角函数的一个单调区
间内,或在所确定的范围内,满足条件的角只有一个.

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2.三角函数式的化简 三角函数式的化简是对给定的三角函数式通过适当的三角 变形,使之取得较简单的形式.化简三角函数式的常用方法 有:(1)直接应用公式,(2)切割化弦,(3)异角化同角,(4)特殊

值与特殊角的三角函数互化,(5)通分、约分,(6)配方去根号.

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3.三角恒等式的证明 三角恒等式的证明,就是应用三角公式,通过适当的恒等 变形,消除三角恒等式两端结构上的差异,这些差异可从以下 几方面入手: (1) 角的差异, (2) 三角函数名称的差异, (3) 三角

函数式结构形式上的差异.针对上面的差异,选择合适的方法
进行等价转化. 证明三角恒等式的常用方法有:左右互推、左右归一、恒 等变形、分析法、综合法等.

第三章

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三角恒等式的证明可分为两类:不附条件的三角恒等式的 证明和附条件的三角恒等式的证明.不附条件的三角恒等式证 明多用综合法、分析法、恒等变形等.附条件的三角恒等式的 证明关键在于恰当、合理地应用条件,或通过变形观察所附条

件与要证等式之间的联系,找到问题的突破口,常用代入法或
消元法证明.

第三章

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4.注意的问题 (1)本章公式较多,学好本章的关键,在于清楚各公式的来

龙去脉,搞明白各式之间的内在联系,把握公式的结构,这样
才能准确应用公式,同时注意公式的逆用、变形应用. (2)转化思想是实施三角变形的主导思想,变形包括函数名

称的变形、角的变形、和与积的变形、幂的升降变形及“1”的
变形等. (3)恒等变形前需分析已知式中角和函数名称的差异,寻求 联系,实现转化. (4)掌握基本技巧,如切割化弦、异名化同名、异角化同角

等.
第三章 章末归纳总结

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专题探究

第三章

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三角函数式的化简与求值 三角函数求值问题主要有三种类型,给角求值,给值求值 和给值求角.给角求值一般是利用和、差、倍角公式进行变 换,使其出现特殊角,若为非特殊角,则应变为可消去或约分

的情况,从而求出其值.给值求值一般首先要先化简所求式
子,弄清实际所求,或变为已知的式子,寻找已知与所求的联 系,再求值.给值求角就是在给值求值的基础上,借助角的范 围,求出角的值.

第三章

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[例 1] 求 sin220° +cos280° + 3sin20° cos80° 的值.
[ 思路分析 ] 思路 1—— 见到平方式就降幂;思路 2—— 拆角

80°=60°+20°;思路3——构造对偶式.

第三章

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[规范解答]

1 1 解法 1:原式=2(1-cos40° )+2(1+cos160° )

3 + 2 (sin100° -sin60° ) 1 3 3 =1+2(cos160° -cos40° )+ 2 sin100° -4 1 3 =4-sin100° sin60° + 2 sin100° 1 =4.

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解法 2:原式=sin220° +cos2(60° +20° )+ 3sin20° · cos(60° +20° ) 1 3 1 3 2 = sin 20° + ( 2 cos20° - 2 sin20° ) + 3sin20° · (2 cos20° -2
2

sin20° ) 1 2 1 2 =4sin 20° +4cos 20° 1 =4.

第三章

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解法 3:令 M=sin220° +cos280° + 3sin20° cos80° , 则其对偶式 N=cos220° +sin280° + 3cos20° sin80° . 因为 M + N = (sin220° + cos220° ) + (cos280° + sin280° )+ 3 (sin20° cos80° +cos20° sin80° ) =2+ 3sin100° , ①

第三章

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M - N = (sin220°- cos220° ) + (cos280°- sin280° )+ 3 (sin20° cos80° -cos20° sin80° ) =-cos40° +cos160° - 3sin60° 3 =-2sin100° sin60° -2 3 =- 3sin100° -2, 1 1 所以①+②得 2M=2,M=4, 1 即 sin 20° +cos 80° + 3sin20° cos80° 的值为4.
2 2



第三章

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2cos2α-1 化简 . π π 2tan?4-α?sin2?4+α?

π cos?4+α? π [分析] 解答本题可先将 tan(4-α)化为 ,最后求 π sin?4+α? 值.

第三章

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[解析]

2cos2α-1 π 2 π 2tan?4-α?sin ?4+α? cos2α



π cos?4+α? 2 π 2 sin ?4+α? π sin?4+α?

cos2α cos2α = =cos2α=1. π sin?2+2α?

第三章

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三角函数式的条件求值

5 5 [例 2] 已知 sin(α-β)=13,sin(α+β)=-13,且 α-β∈
?π ? ?3 ? ? ,π?,α+β∈? π,2π?,求 ?2 ? ?2 ?

cos2β 的值.

[规范解答]

?π ? 5 ∵sin(α-β)=13,α-β∈?2,π?, ? ?

12 ∴cos(α-β)=-13.

第三章

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?3π ? 5 又 sin(α+β)=-13,α+β∈? 2 ,2π?, ? ?

12 ∴cos(α+β)=13, ∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) 12 ? 12? ? 5 ? 5 =13×?-13?+?-13?×13=-1. ? ? ? ?

第三章

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[规律总结] 角的联系.

(1)此类问题的解题思路是找出已知角与未知

(2)此类问题的解题步骤:①讨论角的范围;②求出指定范

围内的角的三角函数值;③根据已知角与未知角的联系,利用
和角公式与差角公式求值.

第三章

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4 已知 cos(α-β)cosα+sin(α-β)sinα=-5,且 β 是第三象限 β 角,则 cos2等于( 10 A.- 10 10 C.± 10 ) 3 10 B.- 10 3 10 D.± 10

[答案] C

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4 [解析] cosβ=cos(-β)=cos[(α-β)-α]=-5, β ∴cos2=± 1+cosβ 10 2 =± 10 .

∵β 是第三象限角, π β 3π ∴kπ+2<2<kπ+ 4 ,k∈Z,

第三章

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π β 3π β 当 k=2n,n∈Z 时,2nπ+2<2<2nπ+ 4 ,n∈Z,cos2=- 10 10 ; 3π β 7π β 当 k=2n+1,n∈Z 时,2nπ+ 2 <2<2nπ+ 4 ,n∈Z,cos2 10 = 10 .

第三章

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求角的大小
[例 3] 11 已知 tanα=4 3,cos(α+β)=-14,0° <α<90° ,

0° <β<90° ,求 β 的值.

[规范解答]

解法一:∵0° <α<90° ,

sinα 且 tanα=cosα=4 3,sin2α+cos2α=1, 1 4 3 ∴cosα=7,sinα= 7 ,显然 0° <α+β<180° .

第三章

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11 又∵cos(α+β)=-14, ∴sin(α+β)=
? 11? 5 3 2 ? ? 1- -14 = 14 , ? ?

∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
? 11 ? 1 5 3 4 3 1 =?-14?×7+ 14 × 7 =2. ? ?

又 0° <β<90° ,∴β=60° .

第三章

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11 解法二:由解法一知 cos(α+β)=-14, 5 3 sin(α+β)= 14 , sin?α+β? 5 3 则 tan(α+β)= =- 11 , cos?α+β? tan?α+β?-tanα ∴tanβ=tan[(α+β)-α]= 1+tan?α+β?tanα 5 3 - 11 -4 3 = ? = 3. ? 5 3 ? 1+? - ? ?×4 3 11 ? ? 又∵0° <β<90° ,∴β=60° .
第三章 章末归纳总结

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[规律总结]

(1)解答此类题目的步骤为:第一步:求角的

某一个三角函数值;第二步:确定角所在的范围;第三步:根 据角的范围写出所求的角. 特别注意选取角的某一三角函数值, 是取正弦,还是取余弦,应先缩小所求角的范围,最好把角的 范围缩小在某一三角函数的单调区间内. π (2)选择求角的三角函数值的方法:若角的范围是(0,2), π π 有时选正弦函数,有时选余弦函数;若角的范围是 (-2,2), 选正弦函数比余弦函数好;若角的范围是 (0,π),则选余弦函 数比正弦函数好.
第三章 章末归纳总结

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5 10 已知 α, β 均为锐角, sinα= 5 , cosβ= 10 , 求 α-β 的值.
[ 分析 ] 解本题应先求出 sin(α-β) 或cos(α - β) ,再由条件

确定α-β的范围,从而求得α-β.

第三章

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5 10 [解析] ∵α,β 均为锐角,sinα= 5 ,cosβ= 10 , 3 10 2 5 ∴sinβ= 10 ,cosα= 5 . ∵sinα<sinβ,∴α<β. π ∴-2<α-β<0. ∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 5 10 2 5 3 10 2 = 5 × 10 - 5 × 10 =- 2 . π ∴α-β=-4.
第三章 章末归纳总结

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三角函数最值问题的解题技巧 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用,它 往往与二次函数、三角函数图像、函数的单调性等知识联系在

一起,有一定的综合性.在求解时,一要注意三角函数式的变
形方向;二要注意正弦、余弦函数本身的有界性,还要注意灵 活选用方法.

第三章

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2 1 + cos2 x + 8sin x cosx π [例 4] 当 0<x≤4时, 求函数 f(x)= - sinx sin2x

的最大值.
[规范解答] π ∵0<x≤4,则 0<tanx≤1,

2cos2x+8sin2x cosx ∴f(x)= 2sinxcosx - sinx 4sin2x+cos2x cosx = sinxcosx - sinx

第三章

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4tan2x+1 1 = tanx -tanx 1 1 =4tanx+tanx-tanx =4tanx. ∴0<f(x)≤4,∴f(x)max=4.

第三章

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[规律总结]

一般地遇到高次就降幂,个别情况也不一定,
2 2 2

1-cos2x 2 常见的降幂公式有: sin x + cos x = 1 , sin x = , cos x 2 1+cos2x = ,分子分母约分等. 2

第三章

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π π 当-2≤x≤2时,函数 f(x)=sinx+ 3cosx 的( A.最大值是 1,最小值是-1 1 B.最大值是 1,最小值是-2 C.最大值是 2,最小值是-2 D.最大值是 2,最小值是-1
[答案] D

)

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π [解析] 对于 f(x)=2sin(x+3), π π ∵-2≤x≤2, π π 5π ∴-6≤x+3≤ 6 . π 当 x=6时,f(x)max=2; π 当 x=-2时,f(x)min=-1.

第三章

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三角与向量的综合问题
[例 5] 已知向量 a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(- 1,0). π (1)若 x=3,求向量 a,c (2)若 的夹角; f(x)=a· b 的最值.

? 3π π? x∈?- 8 ,4?,求函数 ? ?

第三章

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[规范解答]

π (1)∵x=3,∴|a|=

sin 3+cos 3=1,





π 3 又|c|=1,a· c=-sin3=- 2 . 设 a,c 的夹角为 α∈[0,π], a· c 3 5π ∴cosα=|a||c|=- 2 ,∴α= 6 .

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(2)f(x)=a· b=(sinx,cosx)· (sinx,sinx) 1-cos2x 1 =sin x+sinxcosx= +2sin2x 2
2

π? 1 1 1 1 2 ? =2sin2x-2cos2x+2= 2 sin?2x-4?+2, ? ? ? 3π π? ∴x∈?- 8 ,4?, ? ? π π ∴-π≤2x-4≤4, π ∴当 x=4时,f(x)max=1, 1- 2 π 当 x=-8时,f(x)min= 2 .
第三章 章末归纳总结

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[规律总结]

三角函数与向量结合是近几年高考的热点,

主要从两方面考查:(1)利用向量的定义、公式,通过向量的运 算,将向量条件转化为三角函数的条件,然后通过三角函数变

换解决问题;(2)在三角函数与向量的关联点(角与距离)处设置
问题,把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题.

第三章

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已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).

(1)若a∥b,求tanθ的值;
(2)若|a|=|b|,0<θ<π,求θ的值.
[解析] (1)因为 a∥b,所以 2sinθ=cosθ-2sinθ, 1 于是 4sinθ=cosθ,故 tanθ=4.

第三章

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(2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5, 所以 1 - 2sin2θ+ 4sin2θ= 5. 从而- 2sin2θ+ 2(1 - cos2θ) = 4,即 sin2θ+cos2θ=-1, 于是
? π? sin?2θ+4?=- ? ?

2 2.

π π 9π 又由 0<θ<π 知,4<2θ+4< 4 , π 5π π 7π 所以 2θ+4= 4 ,或 2θ+4= 4 . π 3π 因此 θ=2,或 θ= 4 .
第三章 章末归纳总结

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即时巩固

第三章

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一、选择题 2sin2α cos2α 1. · 等于( 1+cos2α cos2α A.tanα C.1
[答案] B
2sin2α cos2α 2sin2α cos2α [解析] · = =tan2α. 2 · 1+cos2α cos2α 2cos α cos2α

) B.tan2α 1 D.2

第三章

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2.已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 sin2α=( A.-1 2 C. 2
[答案] A
[解析] 本题考查了平方关系,倍角关系. 将 sinα-cosα= 2,两端平方得(sinα-cosα)2=2. 即 1-2sinαcosα=2, ∴sin2α=-1.
第三章

)

2 B.- 2 D.1

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10 3. (2013· 浙江理, 6)已知 α∈R, sinα+2cosα= 2 , 则 tan2α =( ) 4 A.3 3 C.-4 3 B.4 4 D.-3

[答案] C

第三章

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[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系. 10 将 sinα+2cosα= 2 两边平方可得, 5 sin α+4sinαcosα+4cos α=2,
2 2

3 ∴4sinαcosα+3cos α=2.
2

将左边分子分母同除以 cos2α 得, 3+4tanα 3 1 2 = ,解得 tanα=3 或 tanα=- , 3 1+tan α 2 2tanα 3 ∴tan2α= =-4. 1-tan2α
第三章 章末归纳总结

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cosB-cosC 4.已知△ABC 中,tanA= 成立,则△ABC 为 sinC-sinB ( ) A.等腰三角形 B.A=60° 的三角形 C.等腰三角形或 A=60° 的三角形 D.不能确定
[答案] B

第三章

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sinA [解析] ∵tanA=cosA, sinA cosB-cosC ∴cosA= , sinC-sinB 即 sinA(sinC-sinB)=cosA(cosB-cosC), sinAsinC-sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC. ∴cosAcosB+sinAsinB=cosAcosC+sinAsinC. ∴cos(A-B)=cos(A-C)(*). ∵在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,0<C<π, ∴-π<A-B<π,-π<A-C<π.
第三章 章末归纳总结

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则(*)式为 A-B=A-C 或 A-B=-(A-C), 则 B=C ①或 2A=B+C ②. ∵A+B+C=π, π ∴由②得 A=3. 若 B=C,则已知等式右边分母为 0,不合题意,故选 B.

第三章

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二、填空题
5.若3sinα+4cosα=5,则tanα=________.

[答案]

3 4

[解析] ∵3sinα+4cosα=5, ∴(3sinα+4cosα)2=25=25(sin2α+cos2α), 即 9tan2α+24tanα+16=25(tan2α+1), 16tan2α-24tanα+9=0,∴(4tanα-3)2=0, 3 ∴tanα=4.

第三章

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3 6.(2014· 山东文,12)函数 y= 2 sin2x+cos2x 的最小正周 期为________.
[答案] π

[解析] 计算公式.

此题考查降幂公式,辅助角公式,最小正周期的

1+cos2x 3 π 1 y= 2 sin2x+ =sin(2x+6)+2. 2 2π ∴T= 2 =π.

第三章

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A+B 2 A-B 7 . 已 知 3sin 2 + cos 2 = 2(cosAcosB≠0) , 则
2

tanA· tanB=________.

[答案]

1 2

1-cos?A+B? 1+cos?A-B? [解析] 由已知得 3 + =2, 化简 2 2 得 cos(A - B) = 3cos(A + B) , 即 2cosAcosB = 4sinAsinB , 即 1 tanAtanB=2.

第三章

章末归纳总结

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三、解答题 π 8.(2014· 广东文,16)已知函数 f(x)=Asin(x+3),x∈R, 5π 3 2 且 f(12)= 2 . (1)求 A 的值; π π (2)若 f(θ)-f(-θ)= 3,θ∈(0,2),求 f(6-θ).

第三章

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5π 5π π 3π 3 2 [解析] (1)f(12)=Asin(12+3)=Asin 4 = 2 , 3 2 ∴A= 2 · 2=3. π (2)由(1)得:f(x)=3sin(x+3), π π ∴f(θ)-f(-θ)=3sin(θ+3)-3sin(-θ+3) π π π π =3(sinθcos3+cosθsin3)-3[sin(-θ)cos3+cos(-θ)sin3] π =6sinθcos3=3sinθ,而 f(θ)-f(-θ)= 3,
第三章 章末归纳总结

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3 π 所以 sinθ= 3 ,又因为 θ∈(0,2) 所以 cosθ= 1-sin θ=
2

32 6 1-? 3 ? = 3 ,

π π π 所以 f(6-θ)=3sin(6-θ+3) π =3sin(2-θ)=3cosθ= 6.

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