2.1.3参数方程与普通方程的互化习题课


回顾-参数方程的概念
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 ? x ? f (t ), ? (2) y ? g ( t ). ? 并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
【关于参数几点说明】参数是联系变数x,y的桥梁, 1.参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显 意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围

例2:如下图,圆O的半径为2,P是圆上的动 点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点.当P 在圆上作匀速圆周运动时,求点M的轨迹的参 y 数方程.

点M的轨迹 是什么呢?

P o θ

M Q(6,0)

x

? x ? cos? ? 3, 由参数方程 ? (? 为参数)直接判断点M 的轨迹的 ? y ? sin ? 曲线类型并不容易,但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程,则比较简单。

2.1.3 参数方程和普通方程的互化
由参数方程得: ?cos? ? x ? 3 2 2 2 2 ,sin ? ? cos ? ? ( x ? 3) ? y ?1 ? ?sin ? ? y 所以点M 的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆。

参数 方程

消去参数 代入参数关系

普通 方程

例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各 表示什么曲线? y
? ?x= t ? 1 (1)? (t为参数) ? ? y ? 1? 2 t

(1,1) o x

步骤:先消掉参数, 再写出定义域。

解:( 1 )由x ? t ? 1 ? 1有 t ? x ? 1 代入y ? 1 ? 2 t , 得到y ? ?2 x ? 3 又x ? t ? 1 ? 1, 所以与参数方程等价的 普通方程是y ? ?2 x ? 3( x ? 1)

代入(消参数)法 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)

例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各 表示什么曲线?

?x= sin ? ? cos? (2)? (? 为参数). ? y ? 1 ? sin 2?

恒等式(消参数)法

(2)把x ? sin ? ? cos?平方后减去y ? 1 ? sin 2? 得到x ? y, 又x ? sin ? ? cos? ? 2 sin(? ? ), 4 y 所以x ? [? 2 , 2 ],
2

?

所以与参数方程等价的 普通方程为 x 2 ? y, x ? [? 2 , 2 ]. 这是抛物线的一部分。
? 2

o

2

x

说明:把参数方程化为普通方程,常用方法有: (1)代入(消参数)法

(2)加减(消参数)法 (3)借用代数或三角恒等式(消参数)法 常见的代数恒等式:
1 2 1 2 在消参过程中注意变 (1)( t ? ) ? ( t ? ) ? 4 t t 量x、y取值范围的 t 2 ? a2 2 2at 2 一致性,必须根据参 (2)( 2 ) ? ( ) ? 1 t ? a2 t 2 ? a2 数的取值范围,确定 2 2 f(t)和g(t)值域得x、y t ?a 2 2at 2 (3)( 2 ) ?( 2 ) ?1 2 2 的取值范围。 t ?a t ?a

练习: 1、曲线y=x2的一种参数方程是( ).
2 ? ?x ? t A、 ? 4 y ? t ? ?

分析: 在y=x2中,x∈R, y≥0, 在A、B、C中,x,y的范围都
发生了变化,因而与 y=x2不等价; 而在D中,

? x ? sin t B、 ? 2 ? y ? sin t

?x ? t ? C、 ? ? ?y ? t

?x ? t D、 ? 2 ?y ? t

x,y范围与y=x2中x,y的范围相同,

? ?x ? t 且以 ? 2 ? ?y ? t

代入y=x2后满足该方程,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.

注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致。否则,互化就是不等价的.

2、若曲线 { 轨迹是

x ? 1 ? cos2? y ? sin ?
2

(?为参数),则点( x, y )的

A、直线x ? 2 y ? 2 ? 0, B、以(2,0)为端点的射线 C、圆( x ? 1) ? y ? 1, D、以(2,0)和(0,1)为端点的线段
2 2



D )

a 1 ? x ? ( t ? ) ? ? 2 t (2) (4)? b 1 (t为参数,a、b为常数) ? y ? (t ? ) ? 2 t ?

3、将下列参数方程化为普通方程: ? x ? 2 ? 3 cos? ? x ? sin ? (3) (2) ? (1) ? ? y ? 3 sin ? ? y ? cos2?
2

x=t+1/t y=t2+1/t2
2

x y (2) ( 4) 2 ? 2 ? 1 a b

(1)(x-2)2+y2=9

(2)y=1- 2x2(- 1≤x≤1)

(3)x2- y=2(X≥2或x≤- 2)

二、普通方程

参数方程

如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系, 例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变 数与参数的关系y=g(t),那么

x ? f (t ) { y ? g (t )
这就是曲线的参数方程。
x2 y 2 ? ?1 的参数方程。 例4 求椭圆 9 4

(1)设x=3cos?,?为参数;

x2 y 2 ? ?1 的参数方程。 例4 求椭圆 9 4

(1)设x=3cos?,?为参数;
2 2

解:( 1 )把x ? 3 cos?代入椭圆方程,得到 9 cos ? y ? ? 1, 9 4 2 2 2 所以y ? 4(1 ? cos ? ) ? 4 sin ?即y ? ?2 sin ? 由参数?的任意性,可取 y ? 2 sin ? , x2 y2 所以椭圆 ? ? 1的参数方程是 还有其它 9 4 方法吗? x ? 3 cos? { (?为参数) y ? 2 sin ?

x y 例4 求椭圆 ? ?1 的参数方程。 9 4

2

2

(1)设x=3cos?,?为参数;

2 2 cos ? ? sin ? ?1 法二: x y 令 ? cos ? , ? sin ? 3 2 ? x ? 3cos ? ?为参数 ? ? y ? 2sin ?

(2)设y=2t,t为参数.

(2)设y=2t,t为参数.
x 4t (2)把y ? 2t代入椭圆方程,得 ? ?1 9 4 于是x ? 9(1 ? t ), x ? ?3 1 ? t
2 2 2 2 2 2 2

x y 所以,椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 { x ? 3 1? t y ? 2t
2

(t为参数)和{

x ? ?3 1 ? t y ? 2t

2

思考:为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆 的参数方程?

分别对应了椭圆在y轴的右,左两部分。

作业:P264,5

5、若x2 ? y 2 ? 4, 则x ? y的最大值是 _________

x ? 2cos ? 解:x ? y ? 4的参数方程为{ (?为 y ? 2sin ?
2 2

参数)
? x ? y ? 2 cos ? ? 2sin ? ? 2 2 cos(? ? ) 4 ? 最大值为2 2

?

x ? 2 ? cos? 4、P( x, y)是曲线 { (?为参数)上任 y ? sin ? 意一点, 则( x ? 5) ? ( y ? 4) 的最大值为 ( A
2 2



A、 36 C、 26

B、 6 D、 25

2 x ? 4? t 2 5、已知直线l{ (t为参数)和圆C 2 y ? ?4 ? t 2 x ? 2 ? 2 2 cos ? { (? 为参数),则直线l与圆C的 y ? ?2 ? 2 2 sin ? 位置关系是
(

D

)

A、相交但不过圆心,B、相交且过圆心 C、相离,D、相切

6、设直线的参数方程为{

x ? 1? t y ? ?2 ? 2t

(t为参数)

4 x2 y 2 它与椭圆 ? ? 1的交点为A和B,求线段 9 9 AB的长度。

解:将直线的参数方程 化为普通方程得 2 x ? y ? 4 ? 0, 得到y ? 2 x ? 4.......... ...(1) 椭圆化为4 x 2 ? y 2 ? 9 ? 0.......... .........( 2) 将(1)代入(2)得8 x ? 16x ? 7 ? 0 7 ? x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? 8 由弦长公式得
2

d ? 1? k

2

( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2

7 10 ? 1? 4 4 ? 4? ? 8 2


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