2019(全国新课标文数) 专题篇平面解析几何 5 由2012年三道高考解析几何题得到的圆锥曲线性质

由 2012 年三道高考解析几何题得到的圆锥曲线性质 高考题 1 (2012·福建·文·21) 如图 1,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个 2 顶点均在抛物线 E : x ? 2 py ( p ? 0) 上. (I)求抛物线 E 的方程; (II)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P , 与直线 y ? ?1 相交于点 Q .证明以 PQ 为直径的 圆恒过 y 轴上某定点. 图1 (参考答案:(I) x ? 4 y ;(II)以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点(0,1).) 2 高考题 2 (2012· 福建· 理· 19)如图 2, 椭圆 E : x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 , a 2 b2 右焦点为 F2 ,离心率 e ? (I)求椭圆 E 的方程. 1 .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8. 2 (II)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相 交于点 Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若 存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 图2 x2 y 2 ? ? 1 ;(II)在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的 (参考答案:(I) 4 3 圆恒过点 M ,且点 M 的坐标是(1,0).) 高考题 3 (2012 · 安 徽 · 理 · 20) 如 图 1 , 点 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) 分 别 是 椭 圆 C: x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,经过 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 a 2 b2 a2 于点 Q . c P ,过点 F2 作直线 PF2 垂线交直线 x ? 图3 (I)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. x2 y 2 (参考答案:(I) ? ? 1 ;(II)略.) 4 3 文献[1]研究了高考题 1,2 的一般情形(专著[2]第 55-56 页的文章也早就研究了它们),本 文由这三道高考题又得到了圆锥曲线的两条性质. 定理 1 设圆锥曲线(椭圆、 双曲线或抛物线) ? 的一条准线及其对应的焦点分别是 l , F . (1) 若过准线 l 上任一点 P 作两条直线分别与 ? 切于点 M , N ,则点 M , F , N 共线且 PF ? MN ; (2)若过焦点 F 作直线 MN 分别与 ? 交于点 M , N , 再过点 M , N 分别作 ? 的切线交于 点 P ,则点 P 在准线 l 上且 PF ? MN ; (3)过 ? 上的任一点 M 作 ? 的切线能交准线 l 于点 P ,若 ? 的与准线垂直的对称轴上 的定点 F ? 满足 PF ? ? F ?M 恒成立,则定点 F , F ? 重合且直线 PN 与 ? 也相切(其中点 N 是 直线 MF ? 与 ? 的另一交点); (4)过 ? 上的点 M 作直线与准线 l 交于点 P ,则直线 MP 与 ? 相切 ? MF ? FP . 为证明定理,先给出两个引理(见专著[2]第 22 页): 引理 1 (1)若 P ( x0 , y0 ) 是椭圆 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ) 上一点, 则该椭圆以点 P ( x0 , y0 ) 为 a 2 b2 切点的切线方程是 x0 x y0 y ? 2 ? 1; a2 b (2)若 P ( x0 , y0 ) 是双曲线 x2 y 2 ? ? 1 上一点,则该双曲线以点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线 a 2 b2 方程是 x0 x y0 y ? 2 ? 1; a2 b 2 (3)若 P ( x0 , y0 ) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点,则该抛物线以点 P ( x0 , y0 ) 为切点的 切线方程是 y0 y ? 2 p ? x0 ? x . 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ) 外一点, PM , PN 切该椭圆于 a 2 b2 引理 2 (1) 若 P ( x0 , y0 ) 是椭圆 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则切点弦 MN 的方程是 x0 x y0 y ? 2 ? 1; a2 b (2) 若 P ( x0 , y0 ) 是 双 曲 线 x2 y 2 ? ? 1 外 一 点 , PM , PN 切 该 双 曲 线 于 a 2 b2 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则切点弦 MN 的方程是 2 x0 x y0 y ? 2 ? 1; a2 b (3) 若 P ( x0 , y0 ) 是 抛 物 线 y ? 2 px( p ? 0) 外 一 点 , PM , PN 切 该 抛 物 线 于 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则切点弦 MN 的 y0 y ? 2 p ? 定理 1 的证明 x0 ? x . 2 2 先 证 抛 物 线 的 情 形 . 可 不 防 设 ? : x ? 2 py ( p ? 0) , 得 l:y?? p ? p? , F ? 0, ? . 2 ? 2? ? ? p? ? ,由引理 2(3),得 MN : x0 x ? 2? p? ? p ? y ? ? ,所以得点 M , F , N 共 2? ? (1)可设 P ? x0 , ? 线.当 x0 ? 0 及 x0 ? 0 时,均易证得 PF ? MN . (2) 因为直线 MFN 的斜率一定存在,所以可设其方程为 MFN : y ? kx ? p ,又设 2 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) . 由

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