1,3.1_正弦函数的图象与性质(用)_图文

1.3.1正弦函数的图象与性质

1.3.1正弦函数的图象与性质
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三角函数 正弦函数
sin?=MP
cos?=OM tan?=AT
y

三角函数线 正弦线MP

余弦函数
正切函数

余弦线OM
正切线AT
P
T

?
-1

O

M

A(1,0)

x

1.3.1 正弦函数 的图象和性质

正弦函数的图象
问题:如何作出正弦函数的图象? 途径:利用单位圆中正弦来解决。
B
y

1

描图:用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来

O1

A O
-1

? 3

2? 3

?

4? 3

5? 3

2?

x

y=sinx x?[0,2?]

终边相同角的三角函数值相等 即: sin(x+2k?)=sinx, k?Z
f ( x ? 2k? ) ? f ( x) 利用图象平移

y=sinx x?R

正弦函数的图象
y 1
? 2

?

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

y=sinx x?[0,2?] y=sinx x?R

y
1

正弦曲 线
? 2?

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象

y 1
? ? 2
(0,0) o (0,0) (0,0)

? ? ( 2 ,1) ( ,1) ? 2 ( 2 ,1)

五点画图法
( ? ,0) ( ? ,0) ( ? ,0) 2? ,0) ( 2?( ,0) ( 2? ,0)

? 2

?
?

( 2 ,1) ? ? ( 2 ,1) ( 2 ,1) (0,0) ? (0,0) ( ,1) 2 (0,0) (0,0) ( ? ,1) ? (0,0) 2 ( 2 ,1) 五点法—— (0,0)

-1

( 23,-1) ? ( ? ,0) ( ,1) ( ? ,0) 2 3? ( ? ,0) 3,1) ? ( ( ? ,0) 2 3 ? ,-1) ( 3 ? 2 ,-1) ( ? ,0) ? 3?3 ( ,-1) ( ? ,0) (2 ( (,1) ,-1) 22 2

3?

3? 3? ( 2 2 ,1)

2?

x

( 2? ,0) ( 2? ,0) ( 2( ?2,0) ? ,0) ( 2? ,0) ( 2? ,0)

正弦函数的图象
例1 画出函数y=1+sinx,x?[0, 2?]的简图:

x
sinx

0 0 1
y
2 1

?
2

? 0 1

3? 2

2? 0 1 步骤: 1.列表 2.描点 3.连线

1 2

-1 0

1+sinx

y=1+sinx,x?[0, 2?]

? ? 2

o -1

? 2

?

x 3? 2? 2 y=sinx,x?[0, 2?]

例2.画出函数 y ? 3sin( 2x ? ) , x ? R 的简图
? 2x ? 3
0
?
3
?

?

x

?
6

y ? 3sin( 2 x ?
y 3

? 2 ? 12

3

?
? 3

3? 2 7? 12

2?
5? 6

)

0

3

0

-3

0

2

1

O

?/2

?

3?/2

2?

x

-1

-2

-3

例3.利用正弦函数的图象,求满足下列 条件的x的集合:
1 sin x ? , x ? (0,2? ) 2

例4.作下列函数的简图

⑴ y=|sinx|, ⑵y=sin|x|

选做:用“五点法”作函数: ? y ? 3sin(2 x ? ) ? 1 的简图
3

要点回顾. 正弦曲线函数的图象 1)图象作法--- 几何法
2)正弦曲线
y
1 (0,0) -4? -3? -2? -? -1 ( 2 ,1) ( ? ,0) ?
?

五点法
正弦曲 线
( 2? ,0)

o

2?

3?

4?

5?

6?

3? ( 2 ,-1)

x

新课讲解.

正弦函数的性质
y
1

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

(1)定义域:x ? R

(2)值域:y ? ?- 1,1?. (3)最值:当且仅当 x ? 2k? ? 当且仅当x ? 2k? ?

?
2

?k ? Z ?时,y max ? 1;

?
2

?k ? Z ?时,ymin ? -1.

(一)关于定义域和值域 例1.求下列函数的定义域:

y ? lg sin x
解: .根据题意sin x ? 0 由正弦曲线可知, 2k? ? x ? 2k? ? ? 所以,函数的定义域是 : (2k? ,2k? ? ?) ,k ? Z

例2:求下列函数的最大值和最小值, 并求使函数取最值时的x的集合
?

(1) y ? sin 2 x

(2) y ? sin x ? 3
2

(3) y ? (sin x ? 1) ? 2

(二)关于周期性

1.周期性的定义

对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时,都有

f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.

注意:如果在周期函数f(x)的所有周期中存 在一个最小的正数,那么这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.

(4) 周期性: T ? 2?

例3.求下列函数的周期:
(1) y ? sin 2 x; 1 ? (2) y ? sin( x ? ) 2 6 (3) y ? sin( x ? ) 3 4

---利用结论

?

?

一般 结论:

函数y ? A sin(?x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0, x ? R ) 2? 的周期是T ?

?

新课讲解. 正弦函数的性质 (三)关于奇偶性
(复习)一般地, ?如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= f( x ),那么就说f( x )是偶函数 ?如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= -f( x ),那么就说f( x )是奇函数 (5)奇偶性:sin(? x) ? ? sin x 奇函数

例4.判断下列函数的奇偶性

1) y ? 2 sin 2 x

2) y ? sin x ?1

y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

(6)单调性:
正弦函数在 [? 在[

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ](k ? Z )上是单调递增的 , 从 ? 1到1;

?

2

? 2k? ,

3? ? 2k? ](k ? Z )上是单调递减的 , 从1到 ? 1 2

y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

(7)对称性:

对称轴:直线 x?

?

2 对称中心: (k? ,0), k ? Z

? k? , k ? Z

例5、求函数y ? sin(3x- )的值域,周期,单调区 间, 4 对称轴方程,对称中心 坐标。

?

练习、求函数y ? sin ( - 3x) 的值域,周期,单调区 间, 4 对称轴方程,对称中心 坐标。

?

小结
1、三角函数图象与性质。 ? 2、五点法作图,把握五个关键点。 ? 3、利用三角函数性质解决相关函数性质问题。 ? 4、周期性是三角函数的独特性质,理解好。
?


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