2.2.1 等差数列(一)_图文


思考:下列数列有什么共同的特点? (1)1,6,11,16,…… (2)-8,-6,-4,-2,…… (3)10,5,0,-5,…… (4)21,19,17,15,…… (5)3,3,3,3,……

一.等差数列的定义:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差, 公差 通常用字母 d 表示。 注意: (1)公差d可以是正数、负数或0; (2)等差数列的定义可用符号表示为: d=an+1-an (n∈N*) ,其中d为常数 ( d=an-an-1,n≥2 )

练习:求出下列数列的公差. (1)1,6,11,16,…… (2)-8,-6,-4,-2,…… (3)10,5,0,-5,…… (4)21,19,17,15,…… (5)3,3,3,3,……

d=5 d=2 d=-5 d=-2 d=0

等差数列的公差与该数列的类型的关系: 当______ d=0 时, {an}为常数列; 当______ d>0 时, {an}为递增数列; d<0 时, {an}为递减数列; 当______

思考:有没有等差数列是摆动数列呢?

练习:在下列两个数中间再插入一个数,使这三个数组成 一个等差数列,并思考插入的这个数与原有两数的关系。 (1)2,4; (2)-1,5; (3)-12,0.
( 1) 2, 3, 4 (2)-1,2,5 (3)-12,-6,0 如果在a与c中间插入一个数b,使a,b,c组成一个

等差数列,则中间的数b叫做a与c的等差中项,且

a?c b? (或记为2b ? a ? c) 2

二.等差数列的通项公式:
若已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有: 方法1:∵由等差数列的定义可得

a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,… ∴ a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d 迭代法 a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d …… an=an-1+d=a1+(n-1)d
又∵当n=1时,上式也成立
∴an=a1+(n-1)d

二.等差数列的通项公式:
若已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有:

方法2:∵由等差数列的定义可得

a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d … an-an-1=d

累加法

上述各式两边同时相加,得

an-a1=(n-1)d
又∵当n=1时,上式也成立
∴an=a1+(n-1)d

二.等差数列的通项公式:
若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则

an=a1+(n-1)d =dn+a1-d
练习:求出下列数列的通项公式. (1)1,6,11,16,…… an=5n-4 (2)-8,-6,-4,-2,…… an=2n-10 (3)10,5,0,-5,…… an=-5n+15 (4)21,19,17,15,…… an=-2n+23 (5)3,3,3,3,…… a =3
n

二.等差数列的通项公式:
若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则

an=a1+(n-1)d
注意:对这个通项公式中的四个变量 an 、 a1 、 n、d , 我们只需知道其中三个就可以求出第四个量.

复习:
1. 等差数列的定义: an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d (n∈N*) ,其中d为常数 2.等差数列的通项公式:

an=a1+(n-1)d
3. 等差中项: a、b、c三数成等差数列

a?c b? (或2b ? a ? c) 2

例1. (1)等差数列8,5,2,· · · · · · 的第20项是几? (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,· · · · · 的项? 如果是,是第几项? 解: (1)依题意得,a1=8,d=5-8=-3
∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49

(2)由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401
∵an=a1+(n-1)d ∴-401=-5+(n-1)×(-4) ∴n=100

∴-401是这个数列的第100项

二.等差数列的通项公式:
若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则

an=a1+(n-1)d
注意:对这个通项公式中的四个变量 an 、 a1 、 n、d , 我们只需知道其中三个就可以求出第四个量.

练习:在等差数列{an}中, (1)已知a1=-1,d=4,n=8,求an 解:a8=a1+7d=-1+7×4=27 (2)已知a1=15,an=3,d=-3,求n 解:∵3=15-3(n-1)
∴n=5

(3)已知a1=8,a6=23,求d
解: ∵a6=a1+5d,即23=8+5d
∴ d=3

(4)已知d=2,a7=9,求a1
解:∵a7=a1+6d 即9=a1+6×2
∴a1=-3

例2.在等差数列{an}中, a5=10, (1)若a12=31,求a25 ; (2)若d=2,求a10;
解:(1)依题意得 a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70

例2.在等差数列{an}中, a5=10, (1)若a12=31,求a25 ; (2)若d=2,求a10;
解:(2)∵a5=a1+4d=a1+4×2=10 ∴ a 1= 2 ∴ a10=a1+9d = 2+9×2=20 拓展:在等差数列{an}中,若知道第k项 ak及公差d, 试求an

an=ak+(n-k)d
例.a10=a6+ 4 d, a99=a32+ 67 d.

练习:

1 1、已知在数列 ?a n ? 中, an ? 0, a1 ? 1 ,若数列 { } an 1 恰好成公差为 3 的等差数列,则 an ? _________. 3n ? 2
2、 已知在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 9, a7 ? 18,

27 则 a10 ? __________. 4n-4 则此数列的通项公式为 an ? _________.

3、已知等差数列 ?a n ? 的前三项为 x ? 1, 3 x ? 1, 2 x ? 6 ,

例2、已知某市出租车的计价标准为1.2元/千米,起步价为 10元,即最初的4千米(不含4千米)计费10元。如果某人 乘坐该市的出租车前往14千米处的目的地,且一路畅通, 等候时间为0,则需要支付多少车费? 解:依题意,当该市出租车的行程大于或等于4千米时, 每增加1千米,乘客需要多支付1.2元。所以,我们 可以建立一个等差数列{an}来计算车费。 令a1=11.2,表示4千米处的车费,公差d=1.2,则当 出租车行至14千米处时,n=11,此时需要支付车费

a11 ? 11.2 ? (11 ? 1) ?1.2 ? 23.2 (元)
答:需要支付车费23.2元。

例3、已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p、q为 常数,且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗? 解:取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1 (n≥2) ,则

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q)

?p

∵p是一个与n无关的常数 ∴{an}是一个等差数列

数列{an}是等差数列

an=pn+q(p、q是常数)

判断一个数列是等差数列的方法
(1)定义法:an ? an?1 ? d , n ? 2(或an?1 ? an ? d , n ? N * )
(2)等差中项: 2an ? an?1 ? an?1 , n ? 2 (3)利用通项公式:an ? pn ? q

三维设计P 21例3 2an 已知数列{a n}满足 , a1 ? 2, an ?1 ? an ? 2 1 (1)数列{ }是否为等差数列?说明理由. an (2)求an .

作业:
1、课本P40A组第1题
2、已知数列 5, 11, 17, 23,? , 则5 5是这个 数列的项吗?若是,是第几项?需说明原因。


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