2019年人教版 高中数学【选修2-3】1.2.2 排列与组合习题课

2019 年编·人教版高中数学 选修 2-3 第一章 1.2 1.2.2 第 3 课时

一、选择题

1.6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,则不同的乘车方法数为( )

A.40

B.50

C.60

D.70

[答案] B [解析] 先分组再排列,一组 2 人一组 4 人有 C26=15 种不同的分法;两组各 3 人共有AC3622 =10 种不同的分法,所以乘车方法数为(15+10)×2=50,故选 B.

2.有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )

A.36 种

B.48 种

C.72 种

D.96 种

[答案] C

[解析] 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然

后插空,从而共 A33A24=72 种排法,故选 C. 3.(2014·广州市综合测试二)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字 0 与 1,另一张

的正反面分别写着数字 2 与 3,将两张卡片排在一起组成一个两位数,则所组成的两位数为

奇数的概率是( )

A.16

B.13

C.12

D.38

[答案] C

[解析] 由这两张卡片排成的两位数共有 6 个,其中奇数有 3 个,∴P=36=12.

4.男、女学生共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同的选

法,其中女生有( )

A.2 人或 3 人

B.3 人或 4 人

C.3 人

D.4 人

[答案] A

[解析] 设男生有 n 人,则女生有(8-n)人,由题意可得 C2nC18-n=30,解得 n=5 或 n= 6,代入验证,可知女生为 2 人或 3 人.

5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若

规定从二楼到三楼用 8 步走完,则方法有( )

A.45 种

B.36 种

C.28 种

D.25 种

[答案] C

[解析] 因为 10 级台阶走 8 步,故可以肯定一步一个台阶的有 6 步,一步两个台阶的

有 2 步,那么只需从 8 步中选取 2 步,这两步中每一步上两个台阶即可,共有 C28=28 种选 法.

6.(2013·晋中市祁县二中高二期末)如图,用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A、B、C、

D 中,(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有( )

AB

C

D

A.72 种

B.48 种

C.24 种

D.12 种

[答案] A

[解析] 解法 1:(1)4 种颜色全用时,有 A44=24 种不同涂色方法. (2)4 种颜色不全用时,因为相邻矩形不同色,故必须用三种颜色,先从 4 种颜色中选 3

种,涂入 A、B、C 中,有 A34种涂法,然后涂 D,D 可以与 A(或 B)同色,有 2 种涂法,∴共 有 2A34=48 种,∴共有不同涂色方法,24+48=72 种.
解法 2:涂 A 有 4 种方法,涂 B 有 3 种方法,涂 C 有 2 种方法,涂 D 有 3 种方法,故

共有 4×3×2×3=72 种涂法.

二、填空题

7.(2014·杭州市质检)用 1、2、3、4、5 组成不含重复数字的五位数,数字 2 不出现在

首位和末位,数字 1、3、5 中有且仅有两个数字相邻,则满足条件的不同五位数的个数是

________(注:用数字作答).

[答案] 48

[解析] 按 2 的位置分三类:①当 2 出现在第 2 位时,即 02000,则第 1 位必为 1、3、

5 中的一个数字,所以满足条件的五位数有 C13A22A22=12 个;②当 2 出现在第 3 位时,即 00200, 则第 1 位、第 2 位为 1、3、5 中的两个数字或第 4 位、第 5 位为 1、3、5 中的两个数字,所

以满足条件的五位数有 2A23A22=24 个;③当 2 出现在第 4 位时,即 00020,则第 5 位必为 1、 3、5 中的一个数字,所以满足条件的五位数有 C13A22A22=12 个.综上,共有 12+24+12= 48 个.

8.今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有

________种不同的排法.(用数字作答)

[答案] 1260

[解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 C49·C25·C33= 1260(种)排法.

9.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个

不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).

[答案] 1080 [解析] 先将 6 名志愿者分为 4 组,共有CA26C22 24种分法,再将 4 组人员分到 4 个不同场馆 去,共有 A44种分法,故所有分配方案有:CA26·C22 24·A44=1 080 种.

三、解答题

10.(1)计算 C19080+C129090; (2)求 20C5n+5=4(n+4)Cnn- +13+15A2n+3中 n 的值. [解析] (1)C91800+C129090=C2100+C1200=1002×99+200=4950+200=5150.

(2)20×

?n+5?! 5!n!



4(n



4)×

?n+3?! ?n-1?!4!



15(n



3)(n



2)





?n+5??n+4??n+6 3??n+2??n+1?=

?n+4??n+3?6?n+2??n+1?n+15(n+3)(n+2),所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=

90,即 5(n+4)(n+1)=90.所以 n2+5n-14=0,即 n=2 或 n=-7.注意到 n≥1 且 n∈Z,所

以 n=2.

[点评] 在(1)中应用组合数性质使问题简化,若直接应用公式计算,容易发生运算错误,

因此,当 m>n2时,特别是 m 接近于 n 时,利用组合数性质 1 能简化运算.

一、选择题

11.已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间

直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )

A.33

B.34

C.35

D.36

[答案] A

[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C12·A33=12 个; ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C12·A33+A33=18 个;

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C13=3 个. 故共有符合条件的点的个数为 12+18+3=33 个,故选 A.

12.(2014·山西太原五中月考)如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果,

且从这周的第二天开始,每天所吃水果的个数与前一天相比,仅存在三种可能:或“多一个”

或“持平”或“少一个”,那么,小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有

() A.50 种

B.51 种

C.140 种

D.141 种

[答案] D

[解析] 按第二天到第七天选择持平次数分类得 C66+C46A22+C26C42C22+C06C36C33=141 种.

13.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一

所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( )

A.50 种

B.60 种

C.120 种

D.210 种

[答案] C

[解析] 先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有 6 种:(1,2)、(2,3)、 (3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为 C16,然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余 两所学校参观,安排方法有 A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 C16·A52= 120 种,故选 C.
14.将甲、乙两人在内的 7 名医生分成三个医疗小组,一组 3 人,另两组每组各 2 人, 则甲、乙不分在同一组的分法有( )

A.80 种 C.25 种

B.90 种 D.120 种

[答案] A

[解析] 解法一:当两人都在 3 人组内时,有12C15·C24种,当两人都在某个两人组内时, 有 C35种,
∴共有12C37C24-C35-12C15C42=80 种.

解法二:直接法.当甲、乙在两人小组一组一个时,有12C35C12A22种,当甲、乙一个在三

人组中,另一个在两人组中时,有 C25·C32·A22种,∴共有12C35C12A22+C25C23A22=80 种.

二、填空题

15.要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花,要求相邻区域不同色, 有________种不同的种法(用数字作答).

[答案] 72 [解析] 5 有 4 种种法,1 有 3 种种法,4 有 2 种种法.若 1、3 同色,2 有 2 种种法, 若 1、3 不同色,2 有 1 种种法,∴有 4×3×2×(1×2+1×1)=72 种. 16.在空间直角坐标系 O-xyz 中有 8 个点:P1(1,1,1)、P2(-1,1,1)、…、P7(-1,-1, -1)、P8(1,-1,-1)(每个点的横、纵、竖坐标都是 1 或-1),以其中 4 个点为顶点的三 棱锥一共有________个(用数字作答). [答案] 58 [解析] 这 8 个点构成正方体的 8 个顶点,此题即转化成以正方体的 8 个顶点中的 4 个 点为顶点的三棱锥一共有多少个,则共有三棱锥 C14C34+(C42C24-2×4-2)+C34C41=58 个. [点评] 用间接法求解更简便些,从正方体的 8 个顶点中任取 4 个,有不同取法 C48种, 其中这四点共面的(6 个对角面、6 个表面)共 12 个,∴这样的三棱锥有 C48-12=58 个. 三、解答题 17.有一排 8 个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有 3 个二 极管点亮,但相邻的两个二极管不能同时点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同 颜色来表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种? [解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未 点亮的 5 个二极管之间及两端的 6 个空上,共有 C36种亮灯办法. 然后分步确定每个二极管发光颜色有 2×2×2=8(种)方法,所以这排二极管能表示的信 息种数共有 8C63=160(种). 18.6 男 4 女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种?(列出算式即可) (1)任何 2 名女生都不相邻,有多少种排法? (2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法? (3)男生甲、乙、丙顺序一定,有多少种排法? (4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法? [解析] (1)任何 2 名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的 空中,共有 A66·A47种不同排法. (2)方法一:甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有 A99种排法,若甲不在末 位,则甲有 A18种排法,乙有 A18种排法,其余有 A88种排法, 综上共有(A99+A18A18·A88)种排法. 方法二:甲在首位的共有 A99种,乙在末位的共有 A99种,甲在首位且乙在末位的有 A88种,

因此共有(A1100-2A99+A88)种排法. (3)10 人的所有排列方法有 A1100种,其中甲、乙、丙的排序有 A33种,其中只有一种符合
题设要求,所以甲、乙、丙顺序一定的排法有AA113300种. (4)男甲在男乙的左边的 10 人排列与男甲在男乙的右边的 10 人排列数相等,而 10 人排
列数恰好是这二者之和,因此满足条件的有12A1100种排法.


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