2016届《创新设计》数学一轮(文科)浙江专用配套精品课件 3-3 两角和与差的正弦、余弦、正切_图文

第3讲 两角和与差的正弦、余弦、正切

基础诊断

考点突破

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最新考纲

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;2.

能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公

式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在
联系;4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化 和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

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知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α± β)= sin αcos β±cos αsin β cos(α?β)=cos αcos β±sin αsin β tan α± tan β tan(α± β)= . 1?tan αtan β . .

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2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= 2sin αcos α cos 2α= . = 2cos2α-1 = 1-2sin2α .

cos2α-sin2α

2tan α tan 2α= . 2 1-tan α

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3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β= tan(α±β)(1?tan αtan β) 1+cos 2α 1-cos 2α 2 (2)cos α= ,sin α= . 2 2
2



(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, sin α± cos α=
? π? ?. 2sin?α± 4 ? ?

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4.函数 f(α)=asin α+bcos α(a,b 为常数),可以化为 f(α)= a +b
2 2

? sin(α + φ) ?其中tan ?

b? φ=a? 或 f(α) = a2+b2 · cos(α - ?

? φ)?其中tan ?

a? φ=b?. ?

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诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. ( (2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立 √ ( ) )



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tan α+tan β (3)公式 tan(α+β)= 可以变形为 tan α+tan β= 1-tan αtan β tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角 α,β 都成立. ( ×) (4)存在实数 α,使 tan 2α=2tan α. ( √ )

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10 2.(2015· 长沙模拟)已知 α∈R,sin α+2cos α= 2 ,则 tan 2α = ( 4 A.3 3 B.4 3 C.-4
2

)

4 D.-3

1-cos 2α 5 解析 依题意得(sin α+2cos α) =2, 即 +2(1+cos 2 5 3 3 2α)+2sin 2α=2,sin 2α=-4cos 2α,tan 2α=-4,故选 C. 答案 C

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3.(人教 A 必修 4P137A13(5)改编)sin 347° cos 148° +sin 77° · cos 58° =________. 解析 sin 347° cos 148° +sin 77° cos 58°

=sin(270° +77° )cos(90° +58° )+sin 77° cos 58° =(-cos 77° )· (-sin 58° )+sin 77° cos 58° =sin 58° cos 77° +cos 58° sin 77° 2 =sin(58° +77° )=sin 135° =2. 答案 2 2

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4.设 sin 2α=-sin

?π ? α,α∈?2,π?,则 ? ?

tan 2α 的值是________.

解析 ∵sin 2α=-sin α,∴sin α(2cos α+1)=0,又 α∈
?π ? ? ,π?, ∴sin ?2 ?

1 3 α≠0,2cos α+1=0, 即 cos α=-2, sin α= 2 ,

-2 3 2tan α tan α=- 3,∴tan 2α= = = 3. 1-tan2α 1-?- 3?2 答案 3

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5 . (2015· 杭州质量检测 ) 设 α 为锐角,若
? π? sin?2α+12?的值为________. ? ?

? π? 4 cos ?α+6? = ,则 ? ? 5

解析 ∵α 为锐角且

? π? 4 cos?α+6?=5, ? ?

? π? 3 π ?π 2π? ∴α+6∈?6, 3 ?,∴sin?α+6?=5. ? ? ? ?

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? ? ? π? π? π? ? ∴sin?2α+12?=sin?2?α+6?-4? ? ? ? ? ? ? ?

=sin =

? π? 2?α+6?cos ? ?

? π? π π ? ? -cos 2 α+6 sin 4 4 ? ? ? ? π? 2? 2 ?2cos ?α+ ?-1? 6? 2? ? ?

? π? ? π? 2sin?α+6?cos?α+6?- ? ? ? ?

? 3 4 2? ?4?2 = 2×5×5- 2 ?2×?5? -1? ? ? ? ?

12 2 7 2 17 2 = 25 - 50 = 50 . 17 2 答案 50
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考点一

三角函数式的化简与给角求值

【例 1】 (1)已知 α∈(0,π),化简: α α ?1+sin α+cos α?· ?cos 2-sin 2? =________. 2+2cos α (2)[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280° =______.

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解析 (1)原式=
? α 2α ?2cos +2sin cos 2 2 ?

α? ? α α? ? ?cos -sin ? 2 ?· 2 2? ? 2α 4cos 2

? α? 2α α 2α ? ? cos cos 2-sin 2 cos cos α 2? 2 ? = = ? . ? α? α? ?cos ? ?cos ? 2 2? ? ? ?

α π α 因为 0<α<π, 所以 0<2<2, 所以 cos 2>0, 所以原式=cos α.

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? (2)原式=? ?2sin ?

? cos 10° + 3sin 10° ? · 50° +sin 10° · ? cos 10° ?

1 3 + 2 sin 10° 2cos 10° 2sin 80° =(2sin 50° +2sin 10° · )· cos 10° 2cos 10° =2 2[sin 50° · cos 10° +sin 10° · cos(60° -10° )] 3 =2 2sin(50° +10° )=2 2× 2 = 6. 答案 (1)cos α (2) 6

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规律方法 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:

①一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使
用公式;②二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常 见的有“切化弦”;③三看结构特征,找到变形的方向,常 见 的 有 “ 遇 到 分 式要 通 分 ” , “ 遇 到根 式 一 般要 升 幂 ” 等.(2)对于给角求值问题,一般给定的角是非特殊角,这时

要善于将非特殊角转化为特殊角.另外此类问题也常通过代
数变形 ( 比如:正负项相消、分子分母相约等 ) 的方式来求 值.

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【训练 1】 (1)4cos 50° -tan 40° = ( A. 2 C. 3 2+ 3 B. 2 D.2 2-1 )

(2)(2014· 绍兴市模拟)化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β- 1 2cos 2αcos 2β=________.

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sin 40° 解析 (1)原式=4sin 40° -cos 40° 4cos 40° sin 40° -sin 40° = cos 40° 2sin 80° -sin 40° = cos 40° 2sin?120° -40° ?-sin 40° = cos 40° 3cos 40° +sin 40° -sin 40° = cos 40° 3cos 40° = cos 40° = 3,故选 C.
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(2)法一

(从“角”入手,复角化单角)
2 2 2 2

1 原式=sin αsin β+cos αcos β-2(2cos2α-1)(2cos2β-1) 1 =sin αsin β+cos αcos β-2(4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1)
2 2 2 2

1 =sin αsin β-cos αcos β+cos α+cos β- 2
2 2 2 2 2 2

1 =sin αsin β+cos αsin β+cos β-2
2 2 2 2 2

1 =sin β+cos β- 2
2 2

1 1 =1- = . 2 2
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法二

(从“名”入手,异名化同名)
2 2 2 2

1 原式=sin αsin β+(1-sin α)cos β- cos 2αcos 2β 2 1 =cos β-sin α(cos β-sin β)-2cos 2αcos 2β
2 2 2 2

1 =cos β-cos 2β(sin α+2cos 2α)
2 2

1+cos 2β 1 1 = -2cos 2β=2. 2

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法三

(从“幂”入手,利用降幂公式先降次)

1-cos 2α 1-cos 2β 1+cos 2α 1+cos 2β 原式= · 2 + · 2 2 2 1 -2cos 2α· cos 2β 1 1 = (1+cos 2α· cos 2β-cos 2α-cos 2β)+ (1+cos 2α· cos 2β+ 4 4 1 cos 2α+cos 2β)-2cos 2α· cos 2β 1 1 1 =4+4=2.

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法四

(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)

原式=(sin αsin β-cos αcos β)2+2sin αsin β· cos αcos β- 1 2cos 2αcos 2β 1 1 =cos (α+β)+2sin 2α· sin 2β-2cos 2α· cos 2β
2

1 =cos (α+β)-2cos(2α+2β)
2

1 1 2 =cos (α+β)-2[2cos (α+β)-1]=2.
2

答案

1 (1)C (2)2
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考点二

三角函数的给值求值、给值求角

? ?α ? 2 β? π 1 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, 且 cos?α-2?=- , sin?2-β?= , 2 9 ? ? ? ? 3

求 cos(α+β)的值; 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 -β 的值.

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π (1)∵0<β<2<α<π,

深度思考 运用

两角和?差?的三
角函数公式,其 关键在于构造角 的和?差?,在构 造的过程中,要 尽量使其中的角 为特殊角或已知

π β ∴ <α- <π, 4 2 π α π -4<2-β<2,
? β? ∴sin?α-2?= ? ? ? β? 4 5 2 1-cos ?α-2?= 9 , ? ?

角,这样的变角
过程你掌握了吗?

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?α ? cos?2-β?= ? ?

1-sin

2

?α ? ? -β?= ?2 ?

5 , 3

?? α+β β? ?α ?? ∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? ? ? β ? ?α ? β ? ?α ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? =?-9?× ? ?

5 4 5 2 7 5 3 + 9 ×3= 27 ,
2α+β

∴cos(α+β)=2cos

49×5 239 2 -1=2× 729 -1=-729.

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tan?α-β?+tan β (2)∵tan α=tan[(α-β)+β]= 1-tan?α-β?tan β 1 1 - 2 7 1 = = >0,又 α∈(0,π). 1 1 3 1+2×7 1 2×3 π 2tan α 3 ∴0<α<2,又∵tan 2α= = ?1? =4>0, 1-tan2α 1-?3?2 ? ? π ∴0<2α<2,

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3 1 + tan 2α-tan β 4 7 ∴tan(2α-β)= = 3 1=1. 1+tan 2αtan β 1-4×7 1 π ∵tan β=- <0,∴ <β<π,-π<2α-β<0, 7 2 3π ∴2α-β=- 4 .

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规律方法

α+β ? β? (1) 解 题 中注 意 变 角 , 如 本 题 中 = ?α-2? - 2 ? ?

?α ? ? -β?;(2)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时, ?2 ?

遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、
? π? 余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0,2?,选正、 ? ?

余弦皆可;若角的范围是 (0,π),选余弦较好;若角的范围为
? π π? ?- , ?,选正弦较好. ? 2 2?

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1 13 π 【训练 2】 已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< , 7 14 2 (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β. 解 1 π (1)∵cos α= ,0<α< , 7 2

4 3 ∴sin α= 7 ,∴tan α=4 3, 2×4 3 2tan α 8 3 ∴tan 2α= = =- 47 . 1-tan2α 1-48

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π π (2)∵0<β<α< ,∴0<α-β< , 2 2 3 3 ∴sin(α-β)= 14 , ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π ∴β=3.

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考点三

三角变换的简单应用
? ?5π? π? f(x)=Asin?x+3?, x∈R, 且 f?12? ? ? ? ?

【例 3】 (2014· 广东卷)已知函数 3 2 = 2 . (1)求 A 的值; (2)若 f(θ)-f(-θ)=

? ?π ? π? 3,θ∈?0,2?,求 f?6-θ?. ? ? ? ?

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解 (1)由

?5π? 3 2 f?12?= ,得 2 ? ?

?5π π? Asin?12+3?=Asin ? ?

3π = 4

2 3 2 2 A= 2 ,所以 A=3. (2)由
?? 3??sin ?? ? ? π? π? f(θ)-f(-θ)=3sin?θ+3?-3sin?-θ+3?= ? ? ? ?

π π? ? π π?? θcos 3+cos θsin 3?-?-sin θcos 3+cos θsin 3?? ? ? ??

π =6sin θcos 3=3sin θ= 3, 3 ∴sin θ= . 3

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? π? ∵θ∈?0,2?,∴cos ? ?

6 θ= , 3

∴f

?π ? ?π π? ? -θ?=3sin? -θ+ ? 3? ?6 ? ?6

?π ? =3sin?2-θ?=3cos ? ?

θ= 6.

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规律方法 解三角函数问题的基本思想是“变换”,通过适 当的变换达到由此及彼的目的,变换的基本方向有两个,一 个是变换函数的名称,一个是变换角的形式.变换函数名称

可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式
等;变换角的形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、 倍角公式等.

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【训练 3 】 (2014· 镇海中学模拟 ) 已知
? π? ? π? 2sin?x+4?· sin?x-4?. ? ? ? ?

? 1 ? 2 f(x) = ?1+tan x? sin x - ? ?

(1)若 tan α=2,求 f(α)的值; (2)若
?π π? x∈?12,2?,求 ? ?

f(x)的取值范围.

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解 (1)f(x)=(sin x+sin xcos
? π? cos?x+4? ? ?

2

? π? x)+2sin?x+4?· ? ?

? 1-cos 2x 1 π? ?2x+ ? = + sin 2 x + sin 2? 2 2 ?

1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x 2 2 1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ . 2 2

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2sin αcos α 2tan α 4 由 tan α=2,得 sin 2α= 2 = = . sin α+cos2α tan2α+1 5 cos2α-sin2α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 2 = 2 =- . 5 sin α+cos α 1+tan α 1 1 3 所以 f(α)=2(sin 2α+cos 2α)+2=5.

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1 1 (2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ 2 2 π? 1 2 ? = sin?2x+4?+ . 2 ? ? 2 由
?π π? x∈?12,2?,得 ? ?

π ?5π 5π? 2x+4∈?12, 4 ?. ? ?

? 2+1 π? 2 ? ? ∴- 2 ≤sin 2x+4 ≤1,∴0≤f(x)≤ 2 , ? ?

所以

? f(x)的取值范围是? ?0, ?

2+1? ? . 2 ? ?

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【训练 4】 (2014· 四川卷)已知函数 (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 α

? π? f(x)=sin?3x+4?. ? ?

?α? 4 ? π? 是第二象限角,f?3?= cos?α+4?cos ? ? 5 ? ?

2α,求 cos α-

sin α 的值.

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解 (1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为
? π ? π ?- +2kπ, +2kπ?,k∈Z, 2 ? 2 ?

π π π 由-2+2kπ≤3x+4≤2+2kπ,k∈Z, π 2kπ π 2kπ 得-4+ 3 ≤x≤12+ 3 ,k∈Z. 所以函数 f(x)的单调递增区间为
? π 2kπ π 2kπ? ?- + , + ?,k∈Z. 3 12 3 ? ? 4

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(2)由已知,有

? π? 4 ? π? sin?α+4?= cos?α+4?(cos2α-sin2α), ? ? 5 ? ?

π π 所以 sin αcos 4+cos αsin4 π π? 4? =5?cos αcos 4-sin αsin 4?(cos2α-sin2α), ? ? 4 即 sin α+cos α=5(cos α-sin α)2(sin α+cos α). 当 sin α+cos α=0 时,由 α 是第二象限角, 3π 知 α= +2kπ,k∈Z. 4

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此时 cos α-sin α=- 2. 5 当 sin α+cos α≠0 时,有(cos α-sin α) =4.
2

由 α 是第二象限角,知 cos α-sin α<0, 5 此时 cos α-sin α=- 2 . 5 综上所述,cos α-sin α=- 2或- 2 .

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[思想方法]

1.三角函数求值的类型及方法
(1) 给角求值:关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的 三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数. (2) 给值求值:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的 三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某

种关系.
(3) 给值求角:实质上也转化为给值求值,关键也是变角, 把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函 数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.
基础诊断 考点突破 课堂总结

2.巧用公式变形 和差角公式变形:tan x± tan y=tan(x± y)· (1?tan x· tan y);倍角 1+cos 2α 1-cos 2α 2 公式变形:降幂公式 cos α= ,sin α= , 2 2
2

配方变形:1± sin 1-cos α=2sin 2.


? α=?sin ?

α α?2, 2α cos 2? 1+cos α=2cos , 2± 2 ?

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[易错防范] 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍 角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用,要注意“1”的 各种变通. 2 2.在(0,π)范围内,sin α= 2 所对应的角 α 不是唯一的. 3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.

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