【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件:3.7正弦定理和余弦定理_图文

第七节

正弦定理和余弦定理

【知识梳理】 1.必会知识 (1)正弦定理:
b c a =______=______=2R(R 是△ABC外接圆的半径) sinB sinC sinA

教材回扣

填一填

(2)余弦定理:

b2+c2-2bccosA ①在△ABC中,有a2=_____________;
c2+a2-2cacosB b2=_____________; a2+b2-2abcosC c2=_____________.
b2 ? c2 ? a 2 ②在△ABC中,有:cosA=__________; 2bc 2 2 2 a ?c ?b cosB=__________; 2ac 2 a ? b2 ? c2 cosC=__________. 2ab

(3)在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况: A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式

a=bsinA 一解 _____

bsinA<a<b 两解 _____

a≥b 一解 _____

a>b 一解 _____

a≤b 无解 _____

解的 个数

2.必备结论

教材提炼

记一记

π 其变式有: (1)三角形的内角和定理:在△ABC中,A+B+C=___,
π C ? A ? B π -C A+B=_____, =_______ 2 2 等. 2

sinC (2)三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=_____; -cosC cos(A+B)=______;
C sin A ? B =_______; 2 2 C sin cos A ? B =_______. 2 2 cos

(3)正弦定理的公式变形: 2RsinA ①a=_______, 2RsinB 2RsinC b=_______,c=_______; a∶b∶c ②sinA∶sinB∶sinC=_________;
c b a ③sinA= ,sinB=____,sinC=____; 2R 2R 2R



a b c a ?b?c ? ? ? . sinA sinB sinC sinA ? sinB ? sinC

?a ? b cos C ? c cos B, ? 4 ? 三角形中的射影定理 ? ?b ? a cos C ? c cos A, ?c ? b cos A ? a cos B. ?

3.必用技法

核心总结 看一看

(1)常用方法:代入法、边角转化法. (2)数学思想:数形结合、分类讨论.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.(
(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.(

)
)

(3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.(

)
)

(4)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(

(5)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B.(

)

【解析】(1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任 意三角形都成立. (2)错误.由正弦定理可知该结论错误. (3)正确.由余弦定理可知该结论正确. (4)错误.当已知三个角时不能求三边.

(5)正确.由正弦定理知sinA=
A>B.

a ,sinB= b ,由sinA>sinB得a>b,即 2R 2R

答案:(1)√ (2)×

(3)√

(4)×

(5)√

2.教材改编

链接教材

练一练 )

(1)(必修5P8T2(1)改编)在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=( A.90° B.120° C.135° D.150°

【解析】选B.先求B.
a 2 ? c2 ? b 2 25 ? 64 ? 49 1 cosB= ? ? , 2ac 2? 5?8 2

因为0°<B<180°,所以B=60°,故A+C=120°.

(2)(必修5P4T1(2)改编)在△ABC中,已知A=60°,B=75°,c=20,则 a= .

【解析】C=180°-(A+B)=180°-(60°+75°)=45°. 由正弦定理,得 a ? 答案:10 6
csin A 20 ? sin 60? ? ? 10 6. sin C sin 45?

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·湖北高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

已知A= π ,a=1,b= 3 ,则B= 6
【解析】依题意,由正弦定理知 由于0<B<π,所以B= π 或 2π .
3 3

.
1 sin π 6 ? 3 3 ,得出sinB= . sin B 2

答案: π 或 2π
3 3

(2)(2014·福建高考)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC= 3 ,则AB等 于 .

【解析】由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,得3=AB2+42×2AB·cos60°,即AB2-2AB+1=0,解得AB=1. 答案:1

考点1

正弦定理的应用

【典例1】(1)在△ABC中,已知a=2,b= 6 ,A=45°,则满足条件的三角 形有( A.一个 C.0个 ) B.两个 D.无法确定

(2)(2014·广东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 bcosC+ccosB=2b,则
a = b

.

(3)(2015·吉林模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2 3 ,点D在BC边 上,∠ADC=75°,则AD的长为 .

【解题提示】(1)利用正弦定理计算.

(2)利用正弦定理化边为角,利用三角恒等变换进行化简.
(3)根据等腰三角形三线合一的性质求出角 B,再利用正弦定理求解.

【规范解答】(1)选B.由正弦定理,得sinB= bsin A ? 6 sin 45? ? 3 .
a 2 2

因为b>a,所以B=60°或120°. 故满足条件的三角形有两个. (2)由正弦定理得, sinBcosC+sinCcosB=2sinB, 所以sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB, 即sinA=2sinB, 再由正弦定理得a=2b,所以 答案:2
a =2. b

(3)过点A作AE⊥BC,垂足为E,则在Rt△ABE中,
1 BC BE 2 3 cos B ? ? ? , 故B ? 30?. AB AB 2

在△ABD中,∠ADB=180°-∠ADC=180°-75°=105°. 由正弦定理得AD= AB sin B ? 2 ? sin 30?
sin?ADB sin 105?

?

1 6 2 ? 4 4

? 6 ? 2.

答案: 6 ? 2

【一题多解】解答本例(1),(2)你还有其他方法吗? (1)选B.数形结合法:如图,CD= 6 ×sin45°= 3 , 又a=2,b= 6 , 所以CD<a<b, 故满足条件的三角形有两个. (2)如图,作AD⊥BC于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b, 即 =2.
a b

答案:2

【规律方法】
1.正弦定理的应用技巧 (1)求边:利用公式 a= bsin A ,b ? asin B ,c ? asin C 或其他相应变形
sin B sin A sin A

公式求解. (2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A= asin B ,
bsin A csin A 或其他相应变形公式求解. ,sin C ? a a (3)相同的元素归到等号的一边:即 a ? sin A , b ? sin B , c ? sin C , b sin B c sin C a sin A sin B ? b

可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.

2.判断三角形解的个数的两种方法

(1)代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数
的值域等判断.

(2)几何图形法:根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数.

【变式训练】(2015·三门峡模拟)已知在△ABC中,a=x,b=2, B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围是( A.x>2 C.2<x<2 2 B.x<2 D.2<x<2 3 )

【解析】选C.由题设条件可知x>2且xsin 45°<2, 所以2<x<2 2 .

【加固训练】1.在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于( A.10+ 3 C. 3 +1 B.10( 3 -1) D.10 3

)

【解析】选B.A=180°-(B+C)=180°-(60°+45°)=75°.
由正弦定理,得 c ? asin C ? 10sin 45? ?
sin A sin 75? 10 ? 2 2 ? 10 6? 2 4

?

3- 1.

?

2.(2015·绵阳模拟)在锐角△ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,

若2asinB= 3 b,则角A=

.

【解析】由正弦定理得2sinA·sinB= 3 sinB,又sinB≠0,

故sinA= 3 ,又0°<A<90°,所以A=60°.
2

答案:60°

3.(2015·黄山模拟)若△ABC的三内角A,B,C满足A+C=2B,且最大边为
最小边的2倍,则三角形三内角之比为 .

【解析】因为A+C=2B,不妨设A=B-α,C=B+α.

因为A+B+C=π,所以B-α+B+B+α=π,所以B= π .
3

再设最小边为a,则最大边为2a.
a 2a ? , 由正弦定理得 π π sin( ? α) sin( ? α) 3 3 π π 即sin( ? α) ? 2sin( ? α), 3 3 π 即sin cos α+cos π sin α=2(sin π cos α -cos π sin α), 3 3 3 3 所以tan α= 3 ,α= π . 6 3 所以三内角分别为 π , π , π , 它们的比为1∶2∶3. 6 3 2

答案:1∶2∶3

考点2

余弦定理的应用

【典例2】(1)(2015·青岛模拟)已知锐角三角形的边长分别为1,3,x, 则x的取值范围是( A.8<x<10 C.2 2 <x<10 ) B.2 2 <x< 10 D. 10 <x<8

(2)(2015·咸阳模拟)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若(a+b+c)(a-b-c)+bc=0,则A= .

(3)(2014·辽宁高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
且a>c,已知 BA BC =2,cosB= 1 ,b=3,求:①a和c的值;②cos(B-C)的
3

值.

【解题提示】(1)使大边的对角是锐角,其余弦值大于0,列不等式组求
解.

(2)已知三边的关系求角用余弦定理.
(3)①利用向量运算及余弦定理找等量关系求解;

②利用已知条件求sinB,cosC,sinC,代入公式求值.

【规范解答】(1)选B.因为3>1,

所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可,故
2 2 2 ? ?1 ? x ? 3 , 2 即 8 ? x ? 10. ?2 2 2 ? ?1 ? 3 ? x ,

又因为x>0,所以 2 2<x< 10.

(2)因为(a+b+c)(a-b-c)+bc=a2-(b+c)2+bc =a2-b2-c2-bc=0, 所以a2=b2+c2+bc,
b 2 ? c2 ? a 2 ?bc 1 cosA= ? ?? . 2bc 2bc 2 2 又A∈(0,π),所以A= π. 3 答案: 2 π 3

(3)①由 BA BC ? 2,cos B ? 1 得BA BC =cacos B=2,所以ac=6.
3

又由b=3及余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, 所以a2+c2=13,因为a>c,解得a=3,c=2.
2 2 2 a ? b ? c 7 ②由a=3,b=3,c=2得cos C= ? , 2ab 9 sin C= 1 ? cos 2C ? 4 2 , 9 由cos B= 1 得sin B= 1 ? cos 2 B ? 2 2 ; 3 3 所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= 1 ? 7 ? 2 2 ? 4 2 ? 23 . 3 9 3 9 27

【互动探究】对于本例(2),若△ABC的三边a,b,c满足a2=b2+c2则A=______.
2 2 2 b ? c ? a 3bc 3 【解析】由余弦定理,得cos A= ? ? , 2bc 2bc 2 因为A∈(0,π),所以A= π . 6 答案:π 6

3bc,

【规律方法】 1.利用余弦定理解三角形的步骤

2.利用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC中,c是最大的边, 若c2<a2+b2,则△ABC是锐角三角形; 若c2=a2+b2,则△ABC是直角三角形; 若c2>a2+b2,则△ABC是钝角三角形.

提醒:已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形,可用正弦定理,
也可用余弦定理,用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可

根据一元二次方程根的情况判断解的个数.

【变式训练】(2015·合肥模拟)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分 别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=(
π 2π 3π 5π A. ????????B. ????????C. ????????D. 3 3 4 6

)

【解析】选B.因为3sinA=5sinB,所以由正弦定理可得3a=5b,所以a= 5 b. 因为b+c=2a,所以c= 7 b, 所以cosC= a ? b ? c ? ? 1 ,
2 2 2

3

3

因为C∈(0,π),所以C=

2π . 3

2ab

2

【加固训练】1.在△ABC中,若a∶b∶c=3∶5∶7,则这个三角形中最 大内角为( A.60° ) B.90° C.120° D.150°

【解析】选C.令a=3x,b=5x,c=7x(x>0),则c为最大边,角C为三角形中 最大内角,
2 2 2 a ? b - c 1 由余弦定理,得cosC= ? - ,所以C=120°. 2ab 2

2.在△ABC中,C=60°,a,b,c分别为角A,B,C的对边, 则 a ? b =
b?c c?a

.

【解析】因为C=60°,所以a2+b2-c2=ab, 所以a2+b2=ab+c2, 等式两边都加上ac+bc,整理得 (a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c),
ac ? a 2 ? ? ? b 2 ? bc ? ? b ? c ?? a ? c ? ? a b 所以 ? ? ? ? 1. b?c c?a ? b ? c ?? c ? a ? ? b ? c ?? c ? a ?

答案:1

考点3

正、余弦定理的综合应用 知·考情

利用正、余弦定理求三角形中的边和角、判断三角形的形状是高 考的重要考向,常与三角恒等变换相结合,以选择题、填空题、解答题 的形式出现,以后两种题型为主.

明·角度 命题角度1:综合利用正、余弦定理求角(或其正、余弦值) 【典例3】(2014·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是 a,b,c.已知b-c= 1 a,2sinB=3sinC, 则cosA的值为
4

.

【解题提示】利用正弦定理化角为边,解方程组得边的关系,然后利用 余弦定理求cosA的值.

【规范解答】因为2sin B=3sin C,所以2b=3c, 又b-c= 1 a,解得b= 3c , a=2c.
2 b ? c -a 2 1 所以cos A= ?- . 2bc 4 答案:- 1 4
2 2

4

命题角度2:判断三角形的形状 【典例4】(2013·陕西高考改编)设△ABC的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,且sin2B=sin2C,则△ABC的形 状为( ) B.锐角三角形 D.等腰直角三角形

A.等腰三角形 C.直角三角形

【解题提示】由正弦定理对题中的两个等式分别变形判断 .

【规范解答】选D.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得

sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,
sinA=1,即A= ,又因为sin2B=sin2C,
π 2

所以由正弦定理得b2=c2,即b=c,
故△ABC为等腰直角三角形.

命题角度3:综合利用正、余弦定理求边长 【典例5】(2014·湖南高考)如图,在平面四边形 ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值. (2)若cos∠BAD= ? 7 ,sin∠CBA=
14 21 求BC的长. , 6

【解题提示】利用余弦定理和正弦定理求解.

【规范解答】(1)在△ADC中,由余弦定理,
2 2 2 AC ? AD - CD 7 ?1 -4 2 7 得cos∠CAD= ? ? . 2AC AD 7 2 7

(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD. 因为cos∠CAD= 2 7 ,cos∠BAD= - 7 ,
7 14

所以sin∠CAD=

2 7 2 21 1 -cos ?CAD ? 1 -( ) ? , 7 7
2

sin?BAD ? 1 -cos 2?BAD ? 1 -- (

7 2 3 21 ) ? . 14 14

于是sinα ? sin(?BAD-?CAD) ? sin?BADcos?CAD-cos?BADsin?CAD ? 3 21 2 7 7 21 3 -(- ) ? . 14 7 14 7 2

BC AC 在ΔABC中,由正弦定理得, ? . sinα sin?CBA 故BC ? AC sinα ? sin?CBA 7 3 2 ? 3. 21 6

悟·技法 1.综合利用正、余弦定理求边和角的步骤 (1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出. (2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解. 提醒:在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的 运用.

2.判断三角形形状的方法

若已知条件中有边又有角,则
(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形

的形状.
(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.

此时要注意应用A+B+C=π 这个结论.

通·一类 1.(2013·山东高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c, 若B=2A,a=1,b= 3 ,则c=( A.2 3 B.2 ) C. 2 D.1

a b ? , sin A sin B 3 3 所以A= π , 即 1 ? 3 ? 3 ? , 所以cosA= , 6 sin A sin B sin2A 2sin Acos A 2 B=2A= π , 所以C=π-B-A= π ,所以c2=a2+b2=1+3=4,故c=2. 2 3

【解析】选B.由B=2A,则sinB=sin2A,由正弦定理知

2.(2015·锦州模拟)在△ABC中,cos2 B = a ? c (a,b,c分别为角A,B,
2 2c

C的对边),则△ABC的形状为( A.等边三角形

) B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形
【解析】选B.因为cos2 B = a ? c ,

D.等腰直角三角形

2 2c a 所以2cos2 B -1= a ? c -1, 所以cosB= , c 2 c 2 2 2 所以 a ? c ? b = a , 所以c2=a2+b2. 2ac c

所以△ABC为直角三角形.

3.(2015·开封模拟)如图△ABC中,已知点 D在BC边上,满足 AD AC =0,sin∠BAC= 2 2 ,
3

AB=3 2 ,BD= 3. (1)求AD的长. (2)求cos C.

【解析】(1)因为 AD AC ? 0, 所以AD⊥AC, 所以sin∠BAC=sin(
3 所以cos∠BAD= 2 2 . 3
π +∠BAD)=cos∠BAD, 2

因为sin∠BAC= 2 2 ,

在△ABD中,由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD, 即AD2-8AD+15=0, 解之得AD=5或AD=3. 由于AB>AD,所以AD=3.

(2)在△ABD中,由正弦定理可知 又由cos∠BAD= 2 2 ,

BD AB ? , sin?BAD sin?ADB

3 可知sin∠BAD= 1 , 3 所以sin∠ADB= ABsin?BAD ? 6 , BD 3 因为∠ADB=∠DAC+∠C,∠DAC= π ,所以cos C= 6 . 2 3

规范解答4

正、余弦定理在三角形计算中的应用

【典例】(12分)(2014·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对 的边分别为a,b,c,已知a-c= (1)求cos A的值. (2)求cos(2A-
π )的值. 6

6 b,sin B= 6 sin C. 6

解题导思

研读信息

快速破题

规范解答

阅卷标准 体会规范
b c ? , 及sin B= sin B sin C

(1)在△ABC中,由

6 sin C,可得b= 6 c,

………………………………………………………………………2分
6 b,有a=2c. …………………………………………4分 6 2 2 2 b ? c ? a 所以cos A= 2bc 6c 2 ? c 2 ? 4c 2 6 ? ? . 2 4 2 6c

又由a-c=

………………………………………………………………………7分

(2)在△ABC中,由cos A=
4

可得sin A= 10 . ………………………………………………8分 于是,cos 2A=2cos2A-1= ? 1 , …………………………………9分
4 sin 2A=2sin A·cos A= 15 . …………………………………10分 4 π π cos(2A ? ) ? cos 2Acos ? 6 6 所以, π sin 2Asin 6

6 , 4

1 3 15 1 15 ? 3 ?? ? ? ? ? .………………………………………12分 4 2 4 2 8

高考状元 满分心得 把握规则 争取满分

1.认真审题,把握变形的方向
认真审题,弄清已知条件和要求的值的关系,确定条件的变形方向是解 答三角函数、解三角形问题的关键,如本题第(1)问求cosA的值,自然 想到用余弦定理,由此确定化角为边,找出边的关系.

2.大胆书写,争取多得分 解答题不同于选择、填空题,它是按步给分,故要善于把已知条件变形, 在变形中探究解题思路,即使不能把问题全部解答完整,也要争取多得 几分. 3.计算准确,争取得满分

(1)公式运用要准确,这是算对的前提.
(2)算数要准确无误,尤其注意正、负号的选择,计算时要尽量利用学

过的公式简化计算过程,简单了就不易算错,要是算错了结果,扣分是
很重的.


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