高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.2球的体积和表面积课件新人教A版必修2

1.3.2

球的体积和表面积

1.了解球的体积和表面积的计算公式. 2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.

1

2

1.球的体积

如果球的半径为 R,那么它的体积 V= π3. 【做一做 1】 半径为 3 的球的体积是( ) A.9π B.81π C.27π D.36π 解析:V= 3 × 33 = 36π. 答案:D


4 3

1

2

2.球的表面积 如果球的半径为R,那么它的表面积S=4πR2.

【做一做 2】 半径为 5的球的表面积等于 解析:S=4π×( 5)2 = 20π. 答案:20π

.

与球有关的组合体问题的解题策略 剖析:可通过画过球心的截面来分析.例如,底面半径为r,高为h的 圆锥内部有一球O,且球与圆锥的底面和侧面均相切.

如图,过球心O和圆锥的顶点A作圆锥的截面,则球心是等腰三角 形ABC的内接圆的圆心,AB和AC均是圆锥的母线,BC是圆锥的底面 直径,D是圆锥底面的圆心.

用同样的方法可得出以下结论: (1)若长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是 球的直径; 若球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长; 若球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线. (2)若球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高, 也等于圆柱底面圆的直径. (3)若球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高.

题型一

题型二

题型三

【例 1】 (1)已知球的表面积为 64π,求它的体积; (2)已知球的体积为 解:(1)∵S 球=4πR2=64π, ∴R2=16,即 R=4.
500π , 求它的表面积. 3

∴V球 = 3 π3 =
(2)∵V球 =

4

∴R3=125,R=5. ∴S 球=4πR2=100π.

4π 256π × 43 = . 3 3 4 500 π3 = π, 3 3

题型一

题型二

题型三

反思确定一个球的条件是球心的位置和球的半径,已知球的半径可 以利用公式求它的表面积和体积;反过来,已知球的体积或表面积 也可以求其半径.

题型一

题型二

题型三

【变式训练 1】 已知某球体积的大小等于其表面积的大小,则 该球的半径是( ) A. 3 B. 3 C. 4 D. 5
4π 解析:由已知可得 3 3

= 4π2, 所以R=3.

答案:B

题型一

题型二

题型三

题型二

与球有关的组合体问题

【例2】 若棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的 表面积为 . 解析:过正方体的相对侧棱作球和正方体的截面,如图所示, 则球心O是BD的中点,四边形ABCD是矩形, AD是正方体的棱长,AB是正方体的一个面的对角线,

所以 AB=3 2, = 3, BD= 2 + 2 = 3 3, 球的半径R= 故该球的表面积为4πR2=27π. 答案:27π
3 3 . 2

题型一

题型二

题型三

【变式训练2】 若一个球与棱长为2的正方体的各个面相切,则 该球的体积为 . 解析:过在同一平面上的四个切点作截面,如图所示.

则球的半径 r=1,球的体积为 V= 答案: 3


4π . 3

题型一

题型二

题型三

题型三

与三视图有关的球的体积与表面积

【例3】 某几何体的三视图如图所示,则其表面积为

.

解析:由三视图知该几何体为半径为 1 的半球,则表面积为半球 面的面积+底面圆的面积.故 S= 2 × 4π × 12 + π × 12 = 3π. 答案:3π
1

题型一

题型二

题型三

反思1.由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体 积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中 数据的含义.此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆. 2.计算球或与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割 与拼接,避免重叠和交叉.

题型一

题型二

题型三

【变式训练3】 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积 为 .

题型一

题型二

题型三

解析:由三视图知该几何体是由直径为 3 的球和底面正方形的 边长为 3,高为 2 的四棱柱按上、下放置的一个组合体,其体积
3 4 3 V=32×2+ 3 π × 2 9π 答案:18+ 2

= 18 + 2 .




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