高中数学人教A版选修2-2(课时训练):1.5 定积分的概念1.5.1-1.5.2-1.5.3 Word版含答案

1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 定积分的概念 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程 定积分的概念 [学习目标] 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法. 2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程. 3.了解定积分的概念. 4.了解定积分的几何意义和性质. [知识链接] 1.如何计算下列两图形的面积? 答 ①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解. 2.求曲边梯形面积时,对曲边梯形进行“以直代曲”,怎样才能尽量减小求得的曲边梯形 面积的误差? 答 为了减小近似代替的误差, 需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”, 而且分 割的曲边梯形数目越多,得到的面积的误差越小. 3.当 f(x)在区间[a,b]上且 f(x)<0 时,?bf(x)dx 表示的含义是什么? ?a 答 当 f(x)在区间[a,b]上值小于零时,?bf(x)dx 表示由 y=f(x),x=a,x=b,y=0 所围成 ?a 的图形的面积的相反数. [预习导引] 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如 图①所示). (2)求曲边梯形面积的方法 把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形 “以直代曲”, 即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积, 得到每个小曲边梯形面积的近 似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示). (3)求曲边梯形面积的步骤:①分割,②近似代替,③求和,④取极限. 2.求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动,速度函数 v=v(t),那么也可以采用分割,近似代替,求和,取 极限的方法,求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s. 3.定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi-1<xi<?<xn=b 将区间[a,b]等分 成 n 个小区间, 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 ξi(i=1,2, ?, n)作和式 ?f(ξi)Δx= i=1 n n i=1 ? b-a f(ξi), n 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分, 记作?bf(x)dx,即?bf(x)dx=li m →∞ ?a ?a n n i=1 ? b-a f(ξi).其中 a 与 b 分别叫做积分下限和积分上限,区间 n [a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. 4.定积分的几何意义 如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分?bf(x)dx 表示由直线 x=a,x ?a =b,y=0 和 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积. 5.定积分的性质 (1)?bkf(x)dx=k?bf(x)dx(k 为常数); ?a ?a ?a ?a b (2)?b[f1(x)± f2(x)]dx=?bf1(x)dx± ? f2(x)dx; ?a ?a (3)?bf(x)dx=?cf(x)dx+?bf(x)dx(其中 a<c<b). ?a ?c 要点一 求曲边梯形的面积 例 1 求抛物线 f(x)=1+x2 与直线 x=0,x=1,y=0 所围成的曲边梯形的面积 S. 解 (1)分割:把区间[0,1]等分成 n 个小区间? i-1 i ? 1 ? n ,n?(i=1,2,?,n),其长度 Δx=n,把曲 边梯形分成 n 个小曲边梯形,其面积记为 ΔSi(i=1,2,?,n). (2)近似代替:用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积. ΔSi=f? i-1? i-1?2? 1 ·Δx=?1+? (i=1,2,?,n). n ? n ? ? ? n ? ?· n n n i= 1 ? (3)求和: ?ΔSi= i=1 1? ?i-1?2? ?1+? n ? ?. 1 ? ?i-1?2? ·1+ n i= 1 ? ? n ?? n ? (4)取极限:S=li m →∞ n 1 ?i-1?2· n =1+li m n→∞i= ? 1 n ? n ? 1 1? 1?? 1- 1- ? =1+li m →∞ 3? n?? 2n? n 1 4 =1+ = . 3 3 4 所以所求的曲边梯形的面积为 . 3 规律方法 分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤,求曲边梯形的面 积时需理解以下几点: ①思想:以直代曲;②步骤:化整为零― →以直代曲― →积零为整― →无限逼近;③关键: 以直代曲;④结果:分割越细,面积越精确. 跟踪演练 1 用定积分的定义求由 y=3x,x=0,x=1,y=0 围成的图形的面积. 解 (1)分割:把区间[0,1]等分成 n 个小区间? i-1 i ? ? n ,n? 1 (i=1,2,?,n).其长度为 Δx= ,把三角形分成一个小三角形和(n-1)个小梯形,其面积 n 分别记为 ΔSi(i=1,2,?,n). i-1 (2)近似代替:用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积,取 ξi= (i=1,2,?,n), n 则 ΔSi=f? i-1 1 3 i-1? Δx=3· · = 2(i-1)(i=1,2,?,n). n n n n ? ? n n 2(i-1) n i= 1 ? (3)作和: ?ΔSi= i=1 3 3 3 n-1 = 2[0+1+2+?+(n-1)]= · . n 2 n (4)取极限:S=li m →∞ n n 2(i-1) n i= 1 ? 3 3 n-1 3 =li m · = . n 2 n→∞2 要点二 求变速运动的路程 例 2 用定积分定义求物体自由落体的下落距离.已知自由落体的运动速度 v=gt,求在时 间区间[0,t]内物体下落的距离. 解 (1)分割:将时

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