2012届高考数学(文)《优化方案》一轮复习课件:第2章第三节 函数的单调性和奇偶性(苏教版江苏专用

【名师点评】 不等式恒成立问题,往往可转化成函数最值的求法. 方 法技巧 1.判断单调性的方法 (1)定义法;(2)利用一些常见函数的单调性,如一次函数、二 次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性加以判断;(3)图象法;(4)在共 同的定义域上,两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函数的 差是增(减)函数; (5)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性; 偶函数在关于原点 对称的区间上具有相反的单调性; 方法感悟 (6)复合函数 y=f[g(x)]的单调性,遵循“同 增异减” 的原则, 即内外层函数单调性相同时则为增函数, 一增一减则为减函数; (7)导数法, 函数 f(x)在某区间内可导,如果 f′(x)>0,则函数为增函数,如果 f′(x)<0,则函数为 减函数. 2.确定函数的奇偶性,一要确定函数的定义域,二要看 f(-x)与 f(x)的关系.函 数的奇偶性是函数的重要性质之一,其判断方法主要是利用定义.一般地,对于较简单的函 数解析式,可通过定义直接作出判断;对于较复杂的解析式,可先对其进行化简,再利用定 义作出判断,如例 1. 失误防范 1.求函数的单调区间时,首先应确定函数的定义域. 2.函 数的单调区间有多个时,不能使用并集的符号“∪”连接单调区间,如(a,b)∪(c,d)为增 区间,这种写法是错误的. 判断函数的奇偶性,易忽略函数定义域的对称性,函数具有奇 偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,若定义域不关于原点对称,则函数既不是奇 函数, 也不是偶函数.函数的奇偶性的最明显的特征是其图象的对称性, 在解决有关问题时, 不要忘记利用对称性解决有关问题. 考向瞭望·把脉高考 考情分析 函数的单调性,是高考 考查的重中之重,主要考查求函数的单调区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、求最 值、利用函数的单调性解有关的不等式问题等,如江苏 2010 年高考 11 题.对函数单调性的 考查,常与其他函数的性质相结合,而导数是研究函数单调性的一种重要方法,因而也常与 导数联系在一起考查,如 2009 年高考江苏第 3 题等. 函数的奇偶性、周期性等性质常常是 高考的命题热点,易单独命题,如 2010 年高考江苏卷第 5 题,由于三角函数中周期性是三角 函数的一大性质,因而在三角函数中考查周期性的较多. 预测在 2012 年的高考中,对函数 单调性的考查会继续涉及,单调区间或单调性的应用依然是热点.函数的奇偶性、周期性也 是考查的热点内容,易结合函数的其他性质命题. (2010 年 高考江苏卷 ) 设函 数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. 【解析】 ∵函数 f(x) =x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,∴设 g(x)=ex+ae-x,(x∈R).由题意知 g(x)应为奇函 数(奇函数×奇函数=偶函数), 又∵x∈R, ∴g(0)=0, 则 1+a=0, ∴a=-1. 【答案】 - 1 例 真题透析 【名师点评】 本题考查了奇偶函数的性质,只有熟知这些性质才能快速准 确地解题. 解决复合函数奇偶性问题的关键在于:既要把握函数复合的过程,又要掌握基本 函数的性质.在利用函数的奇偶性解决实际问题的过程中,往往要用到等价转化和数形结合 的思想,把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的式子去解决.另外高考中还会经常利用 函数的奇偶性考查一些参数值的求法,可以通过赋值求解,如奇函数 f(x)若在 x=0 处有定 义,则函数 f(x)必过原点,即 f(0)=0,此法可以快速处理选择题、填空题中出现的奇偶性 问题. 1. 函数 f(x)=x3+sinx+1(x∈R), 若 f(a)=2, 则 f(-a)的值为________. 解析: f(a)=a3+sina+1=2, f(-a)=(-a)3+sin(-a)+1=-a3-sina+1=-(a3+sina+1) +2=-2+2=0. 答案: 0 名师预测 2. 奇函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(2)=1,f(x+2)=f(x) +f(2),则 f(1)等于________. 解析:当 x=-1 时,无解. 当-1<x≤0 时,1-x2>0, f(1-x2)>f(2x)化为(1-x2)2+1>1, 恒成立. 当 0<x≤1 时, 1-x2≥0,2x>0, f(1-x2) >f(2x)化为(1-x2)2+1>(2x)2+1,即 1-x2>2x,(x+1)2<2, 第三节 函数的单调性 和奇偶性 考点探究?挑战高考 考向瞭望?把脉高考 第三节 函数的单调性和奇偶性 双 基研习?面对高考 1.函数的单调性 (1)增函数与减函数:设函数 y=f(x)的定义域为 D,区 间 I?D,如果取区间 I 中的任意两个数 x1,x2,由 x1<x2?f(x1)<f(x2),则称函数 f(x)在

区间 I 上是_______,若由 x1<x2?f(x1)>f(x2),则称函数 f(x)在区间 I 上是________


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