2011年安徽高考数学试题(文科)

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
理科数学(必修+选修Ⅱ)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分) . 1.复数 A. i
i(2 ? i) 1 ? 2i

等于(

) C.1 D. ? 1
2

B. ? i

2 3 4 5} 2.已知全集 U ? {1,,,, ,集合 A ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} , B ? { x | x ? 2 a, a ? A} ,则集合 ?U ( A ? B )

中元素的个数为( A.1 B.2

) C.3 D.4
2, b ? 6, B ? 120 ,则 a 等于(
?

3. △ A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 c ? A. 6 B.2 C. 3 D. 2



4.已知 { a n } 是等差数列, a1 ? a 2 ? 4 , a 7 ? a 8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S 1 0 等于( A.64 B.100 C.110
2 2



D.120 )

5.直线 3 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 ? 0 相切,则实数 m 等于( A. 3 或 ? 3 6. a ? “
1 8

B. ? 3 或 3 3
a x

C. ? 3 3 或 3
≥ 1 ”的(

D. ? 3 3 或 3 3

”是“对任意的正数 x , 2 x ?



A.充分不必要条件 C.充要条件 7.已知函数 f ( x ) ? 2 为( A. ? 2 ) B.1
x a
2 2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x?3

,f

?1

( x ) 是 f ( x ) 的反函数,若 m n ? 16 ( m, n ? R ) ,则 f
+

?1

(m ) ? f

?1

( n ) 的值

C.4

D.10
?

8.双曲线

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1, F2 ,过 F1 作倾斜角为 30 的直线交双曲

线右支于 M 点,若 M F 2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为(
3 3



A. 6

B. 3

C. 2

D.

9.如图, ? ? ? , ? ? ? ? l, A ? ? , B ? ? , A, B 到 l 的距离分别是 a 和 b , A B 与 ? , ? 所成的角分 别是 ? 和 ? , A B 在 ? , ? 内的射影分别是 m 和 n ,若 a ? b ,则( )

A. ? ? ? , m ? n C. ? ? ? , m ? n

B. ? ? ? , m ? n D. ? ? ? , m ? n A l a

?

b

B ?

? y ≥ 1, ? 10.已知实数 x, y 满足 ? y ≤ 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ? 1 ,则实数 m 等于( ? x ? y ≤ m. ?



A.7

B.5

C.4

D.3 ,则 f ( ? 3) 等于

11.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 2 xy ( x, y ? R ) f )( 2 ? , 1

( ) A.2 B.3 C.6 D.9 12.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原
a 1, ,传输信息为 h 0 a 0 a1 a 2 h1 ,其中 h0 ? a 0 ? a1, h1 ? h 0 ? a 2 , ? 运算规 1} 信息为 a 0 a1 a 2, i ? {0, ( i ? 0, 2 )

则为: 0 ? 0 ? 0 , 0 ? 1 ? 1 ,1 ? 0 ? 1 ,1 ? 1 ? 0 ,例如原信息为 111,则传输信息为 01111.传输信息在 传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( ) A.11010 B.01100 C.10111 D.00011 二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) . 13. lim
(1 ? a ) n ? 1 n?a
n→ ?

? 2 ,则 a ?



14.长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的各顶点都在球 O 的球面上,其中 A B : A D : A A1 ? 1 : 1 : 2 . A, B 两点的 球面距离记为 m , A, D 1 两点的球面距离记为 n ,则 15.关于平面向量 a, b, c .有下列三个命题:
6) ①若 a ?b = a ?c ,则 b ? c .②若 a ? (1, k ), b ? ( ? 2, , a ∥ b ,则 k ? ? 3 .

m n

的值为



③非零向量 a 和 b 满足 | a |? | b |? | a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 6 0 . 其中真命题的序号为 . (写出所有真命题的序号) 16.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、 乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有 种. (用数 字作答) . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin
x 4 co s x 4 ? 2 3 sin
2

?

x 4

?

3 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值;
? ? π? ? ,判断函数 g ( x ) 的奇偶性,并说明理由. 3?

(Ⅱ)令 g ( x ) ? f ? x ?

18. (本小题满分 12 分)
2 3) 某射击测试规则为:每人最多射击 3 次,击中目标即终止射击,第 i 次击中目标得 1 ~ i ( i ? 1,, 分,3 次

均未击中目标得 0 分.已知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其各次射击结果互不影响. (Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率; (Ⅱ)该射手的得分记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 三棱锥被平行于底面 A B C 的平面所截得的几何体如图所示,截面为 A1 B1C 1 , ? B A C ? 90 , A1 A ? 平面
A B C , A1 A ?
?

3 , AB ?

2 , A C ? 2 , A1C 1 ? 1 ,

BD DC

?

1 2



(Ⅰ)证明:平面 A1 A D ? 平面 B C C 1 B1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? C C 1 ? B 的大小. B1

A1

C1

A B 20. (本小题满分 12 分) D

C

已知抛物线 C : y ? 2 x ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A, B 两点, M 是线段 A B 的中点,过 M 作 x 轴的垂线
2

交 C 于点 N . (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 A B 平行; (Ⅱ)是否存在实数 k 使 N A ?N B ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.
??? ??? ? ?

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
kx ? 1 x ?c
2

( c ? 0 且 c ? 1 ,k ? R )恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是 x ? ? c .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的另一个极值点; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极大值 M 和极小值 m ,并求 M ? m ≥ 1 时 k 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分) 已知数列 { a n } 的首项 a 1 ?
3 5

, a n ?1 ?

3an 2an ? 1

2 ? , n ? 1,, .

(Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 x ? 0 , a n ≥
1 1? x ? ? 2 ? 2 ? ? n ? x ? , n ? 1,, ; (1 ? x ) ? 3 ? 1
2

(Ⅲ)证明: a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

n

2

n ?1



2008 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
理科数学(必修+选修Ⅱ)参考答案
一、1.D 8.B 二、13.1 2.B 9.D 14.
1 2

3.D 10.B

4.B 11.C

5.C 12.C 16.96

6.A

7.A

15.②
x 2 ?

三、17.解: (Ⅰ)? f ( x ) ? sin
2π 1 2

3 (1 ? 2 sin

2

x 4

) ? sin

x 2

?

3 co s

? x π? ? 2 sin ? ? ? . 2 ?2 3?

x

? f ( x ) 的最小正周期 T ?

? 4π .

当 sin ?

? x ?2

?

π? ? x π? ? ? ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 ? 2 ;当 sin ? ? ? ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 2. 3? ?2 3?
? x ?2 π? π? ? ? .又 g ( x ) ? f ? x ? ? . 3? 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ? 2 sin ?

?

?1 ? π? π? x ? x π? ? g ( x ) ? 2 sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 co s . 3? 3? 2 ?2 2? ?2 ?

x ? x? ? g ( ? x ) ? 2 co s ? ? ? ? 2 co s ? g ( x ) . 2 ? 2?
? 函数 g ( x ) 是偶函数.

2 3) 18. (Ⅰ)设该射手第 i 次击中目标的事件为 Ai ( i ? 1,, ,则 P ( Ai ) ? 0 .8, P ( Ai ) ? 0 .2 ,

P ( Ai Ai ) ? P ( Ai ) P ( Ai ) ? 0 .2 ? 0 .8 ? 0 .1 6 .

(Ⅱ) ? 可能取的值为 0,1,2,3.
?
P

? 的分布列为

0

1

2 0.16

3 0.8

0.008 0.032

E ? ? 0 ? 0 .0 0 8 ? 1 ? 0 .0 3 2 ? 2 ? 0 .1 6 ? 3 ? 0 .8 ? 2 .7 5 2 .

19.解法一: (Ⅰ)? A1 A ? 平面 A B C , B C ? 平面 A B C ,
? A1 A ? B C .在 R t △ A B C 中, A B ?
6 3 BD AB

2, A C ? 2, B C ? ?
3 3
?

6 ,

? B D : D C ? 1 : 2 ,? B D ?

,又

?

?

AB BC



?△ D B A ∽ △ A B C ,? ? A D B ? ? B A C ? 90 ,即 A D ? B C .

又 A1 A ? A D ? A ,? B C ? 平面 A1 A D ,
? B C ? 平面 B C C 1 B1 ,? 平面 A1 A D ? 平面 B C C 1 B1 .

(Ⅱ)如图,作 A E ? C 1C 交 C 1 C 于 E 点,连接 B E , 由已知得 A B ? 平面 A C C 1 A1 . A1
? A E 是 B E 在面 A C C 1 A1 内的射影.

C1 E

B1 A F

由三垂线定理知 B E ? C C 1 ,
? ? A E B 为二面角 A ? C C 1 ? B 的平面角.

C

D B (第 19 题, 解法一)

过 C 1 作 C 1 F ? A C 交 A C 于 F 点,

则 C F ? A C ? A F ? 1 , C 1 F ? A1 A ?
? ? C 1C F ? 6 0 .
?

3 ,

在 R t △ A E C 中, A E ? A C sin 6 0 ? 2 ?

?

3 2

?

3.

在 R t △ B A E 中, tan A E B ?

AB AE

?

2 3

?

6 3

. z

? ? A E B ? arctan

6 3

, B1
6 3

A1

C1

即二面角 A ? C C 1 ? B 为 arctan

. B

A D C y

解法二: (Ⅰ)如图,建立空间直角坐标系,
00 00 20 0 1, 则 A (0,,), B ( 2,,), C (0,,), A1 (0,, 3 ), C 1 (0, 3 ) ,
???? 1 ???? ? B D : D C ? 1 : 2 ,? B D ? B C . 3
?2 2 2 ? , ,? . 0 ? D 点坐标为 ? ? 3 3 ? ? ? ???? ? 2 2 2 ? ??? ? ???? , , ? , B C ? ( ? 2,,), A1 ? (0,, 3 ) . 0 20 A 0 ? AD ? ? ? 3 3 ? ? ?

x (第 19 题,解法二)

??? ???? ? ??? ???? ? ? B C ?A A1 ? 0 , B C ?A D ? 0 ,? B C ? A A1 , B C ? A D ,又 A1 A ? A D ? A ,
? B C ? 平面 A1 A D ,又 B C ? 平面 B C C 1 B1 ,? 平面 A1 A D ? 平面 B C C 1 B1 .

00 (Ⅱ)? B A ? 平面 A C C 1 A1 ,取 m ? A B ? ( 2,,) 为平面 A C C 1 A1 的法向量,

??? ?

C 设平面 B C C 1 B1 的法向量为 n ? ( l, m, n ) ,则 B C ?n ? 0, C 1 ?n ? 0 .
? ? 2 l ? 2 m ? 0, ? ?? ?l ? ? ? m ? 3 n ? 0, ?

??? ?

???? ?

2 m, n ?

3 3

m,

如图,可取 m ? 1 ,则 n ? ? ?
?

?

2, 1,

3 ? ?, 3 ? ?

2? co s ? m , n ? ?

2 ? 0 ?1 ? 0 ?

3 3 ?
2

15 5



? 3? 2 2 2 2 2 ( 2) ? 0 ? 0 ? ( 2) ?1 ? ? ? ? 3 ?

即二面角 A ? C C 1 ? B 为 arcco s

15 5



2 2 20.解法一: (Ⅰ)如图,设 A ( x1, x1 ) , B ( x 2, x 2 ) ,把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x 得 2 x ? kx ? 2 ? 0 ,
2 2

2

2

由韦达定理得 x1 ? x 2 ?
? xN ? xM ?

k 2
k 4

, x1 x 2 ? ? 1 , ,? N 点的坐标为 ?
2

y M
? k k2 ? , ?. ?4 8 ?

A

x1 ? x 2 2

?

2 B 1 O N 1 x

设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y ?

k

k ? ? ? m?x? ?, 8 4? ?
2

将 y ? 2 x 代入上式得 2 x ? m x ?
2
2

mk 4

?

k

? 0,

8

? 直线 l 与抛物线 C 相切,

? mk k 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? m ? 8? ? ? ? m ? 2 m k ? k ? ( m ? k ) ? 0 ,? m ? k . 4 8 ? ?

即l ∥ AB . (Ⅱ)假设存在实数 k ,使 N A ?N B ? 0 ,则 N A ? N B ,又? M 是 A B 的中点,
?| M N | ? 1 2 | AB | . 1 2 ( y1 ? y 2 ) ? 1 2 ( kx1 ? 2 ? kx 2 ? 2 ) ? 1 2 [ k ( x1 ? x 2 ) ? 4 ]
??? ??? ? ?

由(Ⅰ)知 y M ?
?

2 ? k2 1?k ? 4? ? ? 2. ? 2? 2 4 ?

? M N ? x 轴,?| M N |? | y M ? y N | ?

k

2

?2?

k

2

?

k ? 16
2



4

8
2

8

又 | A B |?

1 ? k ?| x1 ? x 2 |?
2
2

1 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2

?

1 ?k ? 1 ? k ? ? ? ? 4 ? ( ? 1) ? 2 ?2?
2

k ? 1? k ? 16 .
2 2

?

k ? 16
2

?

1 4

k ? 1 ? k ? 1 6 ,解得 k ? ? 2 .
2 2

8

即存在 k ? ? 2 ,使 N A ?N B ? 0 .
2 2 解法二: (Ⅰ)如图,设 A ( x1, x1 ), B ( x 2, x 2 ) ,把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x 得
2 2

??? ??? ? ?

2

2 x ? kx ? 2 ? 0 .由韦达定理得 x1 ? x 2 ?
2

k 2

, x1 x 2 ? ? 1 .

? xN ? xM ?

x1 ? x 2 2

?

k 4

,? N 点的坐标为 ?
k 4

? k k2 ? 2 , ? .? y ? 2 x ,? y ? ? 4 x , 4 8 ? ?

? 抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4 ?

? k ,? l ∥ A B .

(Ⅱ)假设存在实数 k ,使 N A ?N B ? 0 .
2 ??? ? ? k k 2 N A ? ? x1 ? , x1 ? 2 由(Ⅰ)知 4 8 ? 2 ? ? ? ??? k k ? 2 , B ? ? x2 ? ,x2 ? N 2 ? ? ,则 4 8 ? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ? k ?? k ? N A ?N B ? ? x1 ? ? ? x 2 ? ? ? 4 ?? 4? ?

2 2 ? k ?? k ? 2 2 2 x1 ? 2 x2 ? ? ?? ? 8 ?? 8 ? ?

? 2 k2 ?? 2 k2 ? k ?? k ? ? ? ? x1 ? ? ? x 2 ? ? ? 4 ? x1 ? ? ? x2 ? ? 4 ?? 4? 16 ? ? 16 ? ? ?
k ?? k ? ? k ?? k ? ? ? ? x1 ? ? ? x 2 ? ? ??1 ? 4 ? x1 ? ? ? x 2 ? 4 ?? 4? ? 4 ?? 4 ? ? ?? ?? ??

2 2 ? k k ? ? k ? ? ? x1 x 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? ??1 ? 4 x1 x 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? ? ? 4 16 ? ? 4 ? ?

2 ? k k k ? ? ?1 ? ? ? 4 2 16 ?

2 ? ? k k ? ??1 ? 4 ? ( ? 1) ? k ? ? ? ? 2 4 ? ? ?

2 ? k ?? 3 2? ? ? ?1 ? ? ? ?3 ? k ? 16 ? ? 4 ? ?

? 0,

? ?1 ?

k

2

? 0 ,? ? 3 ?

3 4

k

2

? 0 ,解得 k ? ? 2 .

16

即存在 k ? ? 2 ,使 N A ?N B ? 0 .

??? ??? ? ?

21.解: (Ⅰ) f ? ( x ) ?

k ( x ? c ) ? 2 x ( kx ? 1)
2

(x ? c)
2

2

?

? kx ? 2 x ? ck
2

(x ? c)
2

2

,由题意知 f ? ( ? c ) ? 0 ,

即得 c k ? 2 c ? ck ? 0 , (*)? c ? 0 ,? k ? 0 .
2

由 f ?( x ) ? 0 得 ? kx ? 2 x ? ck ? 0 ,
2

由韦达定理知另一个极值点为 x ? 1 (或 x ? c ? (Ⅱ)由(*)式得 k ?
2 c ?1

2 k

) .

,即 c ? 1 ?

2 k



当 c ? 1 时, k ? 0 ;当 0 ? c ? 1 时, k ? ? 2 .
? ? 1) (i)当 k ? 0 时, f ( x ) 在 ( ? ? , c ) 和 (1, ? ) 内是减函数,在 ( ? c, 内是增函数.

? M ? f (1) ?

k ?1 c ?1

?

k 2
?

?0,
?k
2

m ? f (? c) ?

? kc ? 1 c ?c
2

2(k ? 2)

?0,

由M ? m ?

k 2

?

k

2

2(k ? 2)

≥ 1 及 k ? 0 ,解得 k ≥

2.

? ? 1) (ii)当 k ? ? 2 时, f ( x ) 在 ( ? ? , c ) 和 (1, ? ) 内是增函数,在 ( ? c, 内是减函数.

? M ? f (? c) ?

?k

2

2(k ? 2) k 2

? 0 , m ? f (1) ?

k 2

?0

M ?m ?

?k

2

2(k ? 2)

?

? 1?

( k ? 1) ? 1
2

k ?2

≥ 1 恒成立.

? ? 综上可知,所求 k 的取值范围为 ( ? ? , 2 ) ? [ 2, ? ) .
3an 2an ? 1 1 a n ?1 2 3 1 3a
n

22.解法一: (Ⅰ)? a n ? 1 ?
? 1

,?

?

?

,?

1 a n ?1

?1 ?

? 1? 1 ? 1? , ? 3 ? an ?



1 an

?1 ?

2 3 2

,? ?

? 2 1 ? 1 ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3 ? an ?
n

?

1 an

?1 ?

3 1 2 ? n ? 1 ? n ,? a n ? n . 3 ?2 3 3 3 3
n n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a n ?

3 ?2

? 0,

1 1? x
1

?

? 2 ? ? n ? x? (1 ? x ) ? 3 ? 1
2

?

1? x

?

? 2 ? ? n ?1?1? x? (1 ? x ) ? 3 ? 1
2

?

1 1? x
1

?

? 1 ? ? (1 ? x ) ? ? (1 ? x ) ? a n ? 1
2

? ?

1 2 ? ? 2 a n (1 ? x ) 1? x
2

1 ? 1 ? ? ? ? a n ? ? a n ≤ a n ,? 原不等式成立. ? an ? 1 ? x ?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 x ? 0 ,有
a1 ? a 2 ? ? ? a n ≥ 1 1? x ? 1 1 1 1 ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? x ? ?? ? ? ? x? ? ? x?? 2 ? 2 2 ? n (1 ? x ) ? 3 1 ? x (1 ? x ) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x ) ? 3 ? ? 1
2

?

n 1? x

?

2 2 ?2 ? ? ? 2 ? ? ? n ? nx ? . (1 ? x ) ? 3 3 3 ? 1
2

2? 1 ? ?1 ? n ? 1?2 2 2 ? 1 ? 3? 3 ? 1? ? 取x ? ? ? 2 ?? ? n ? ? ? ?1 ? n ? , 1? n?3 3 3 ? n? 3 ? ? n ?1 ? ? 3? ?

则 a1 ? a 2 ? ? ? a n ≥

n 1? 1 ? 1 ? ?1 ? n ? n? 3 ?

?

n

2

n ?1?

1 3
n

?

n

2

n ?1



? 原不等式成立.

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 f ( x ) ?
1 1? x ? ? 2 ? ? n ? x?, (1 ? x ) ? 3 ? 1
2

则 f ?( x ) ? ?
? x ? 0,

1 (1 ? x )
2

?

? 2 ? 2 ? (1 ? x ) ? ? n ? x ? ?2 (1 ? x ) ?3 ? (1 ? x )
2

?

? 2 ? 2? n ? x? ?3 ? (1 ? x )
2

?当x ?

2 3
n

时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ?

2 3
n

时, f ?( x ) ? 0 ,

?当x ?

2 3
n

时, f ( x ) 取得最大值 f ?

1 ? 2 ? ? ? an . n ? ? 3 ? 1? 2 n 3

? 原不等式成立.

(Ⅲ)同解法一.

B 卷选择题答案: 1.D 2.C 8.C 9.C

3.A 10.B

4.B 11.B

5.C 12.D

6.A

7.D


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