高中数学暑期特献重要知识点数列、函数的极限

我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。 ⑴、数列:若按照一定的法则,有第一个数 a1,第二个数 a2,…,依次排列下去,使得 任何一个正整数 n 对应着一个确定的数 an,那末,我们称这列有次序的数 a1,a2,…,an,… 为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第 n 项 an 叫做数列的一般项或通项. 注:我们也可以把数列 an 看作自变量为正整数 n 的函数,即:an= 体正整数 ⑵、极限:极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。 例:我们可通过作圆的内接正多边形,近似求出圆的面积。 设有一圆,首先作圆内接正六边形,把它的面积记为 A1;再作圆的内接正十二边形,其 面积记为 A2;再作圆的内接正二十四边形,其面积记为 A3;依次循下去(一般把内接正 6×2
n-1

,它的定义域是全

边形的面积记为 An)可得一系列内接正多边形的面积:A1,A2, A3,…,An,…,它们就构成 一列有序数列。我们可以发现,当内接正多边形的边数无限增加时,An 也无限接近某一确定 的数值(圆的面积),这个确定的数值在数学上被称为数列 A1,A2,A3,…,An,… 当 n→∞(读 作 n 趋近于无穷大)的极限。 注:上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。 ⑶、数列的极限:一般地,对于数列 论其多么小),总存在正整数 N,使得对于 n>N 时的一切 就称常数 a 是数列 记作: 的极限,或者称数列 或 才能表达出 与 a 无限接近 收敛于 a . 来说,若存在任意给定的正数 ε (不 不等式 都成立,那末

注:此定义中的正数 ε 只有任意给定,不等式

的意思。且定义中的正整数 N 与任意给定的正数 ε 是有关的,它是随着 ε 的给定而选定的。 ⑷、数列的极限的几何解释:在此我们可能不易理解这个概念,下面我们再给出它的一 个几何解释,以使我们能理解它。数列 极限为 a 的一个几何解释:将常数 a 及数列

在数轴上用它们的对应点表示出来,再在数轴上作点 a 的 ε 邻域即开区间 (a-ε ,a+ε ),如下图所示:

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因不等式

与不等式

等价,故当 n>N 时,所有的点

都落

在开区间(a-ε ,a+ε )内,而只有有限个(至多只有 N 个)在此区间以外。 注:至于如何求数列的极限,我们在以后会学习到,这里我们不作讨论。 ⑸、 数列的有界性: 对于数列 则称数列 , 若存在着正数 M, 使得一切 都满足不等式│ │≤M,

是有界的,若正数 M 不存在,则可说数列 收敛,那末数列 一定有界。

是无界的。

定理:若数列

注:有界的数列不一定收敛,即:数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件。 例:数列 1,-1,1,-1,…,(-1) ,…
n+1

是有界的,但它是发散的。

函数的极限 前面我们学习了数列的极限,已经知道数列可看作一类特殊的函数,即自变量取 1→∞ 内的正整数,若自变量不再限于正整数的顺序,而是连续变化的,就成了函数。下面我们来 学习函数的极限. 函数的极值有两种情况:a):自变量无限增大;b):自变量无限接近某一定点 x0,如果 在这时, 函数值无限接近于某一常数 A, 就叫做函数存在极值。 我们已知道函数的极值的情况, 那么函数的极限如何呢 ? 下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念! ⑴、函数的极限(分两种情况) a):自变量趋向无穷大时函数的极限 定义:设函数 使得对于适合不等式 ,若对于任意给定的正数 ε (不论其多么小),总存在着正数 X, 的一切 x,所对应的函数值 都满足不等式

那末常数 A 就叫做函数

当 x→∞时的极限,记作:
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下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下: 数列的极限的定义 函数的极限的定义

存在函数 存在数列 与常数 A,任给一正数

与常数 A,任给一

正数 ε >0, 总可找到一正数 X, 对于适合 ε >0, 总可找到一正整数 N, 对于 n>N 的所有 的一切 x,都满足 都满足 <ε 则称数列 敛于 A 记: ,当 x→∞时收 。 。 函数 ,

当 x→∞时的极限为 A, 记:

从上表我们发现了什么 ??试思考之 b):自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.

例:函数

,当 x→1 时函数值的变化趋势如何?函数在 x=1 处无定义.我们

知道对实数来讲,在数轴上任何一个有限的范围内,都有无穷多个点,为此我们把 x→1 时函 数值的变化趋势用表列出,如下图:

从中我们可以看出 x→1 时, 或说: 只要

→2.而且只要 x 与 1 有多接近,

就与 2 有多接近. <δ 时满足

与 2 只差一个微量 ε , 就一定可以找到一个 δ , 当

<δ 定义:设函数

在某点 x0 的某个去心邻域内有定义,且存在数 A,如果对任意给定的 <δ 时, 。 <ε 则称函数 当

ε (不论其多么小), 总存在正数 δ , 当 0< x→x0 时存在极限,且极限为 A,记:

注:在定义中为什么是在去心邻域内呢?这是因为我们只讨论 x→x0 的过程,与 x=x0 出的 情况无关。此定义的核心问题是:对给出的 ε ,是否存在正数 δ ,使其在去心邻域内的 x 均 满足不等式。

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有些时候,我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A,其证明方法是怎样的呢? a):先任取 ε >0; b):写出不等式 <ε ; <δ ,若能; <δ 时, <ε 成立,

c):解不等式能否得出去心邻域 0<

d):则对于任给的 ε >0,总能找出 δ ,当 0< 因此

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