【课时通】高一数学人教版必修2课件2.3.4 平面与平面垂直的性质3_图文

2.3.4 平面与平面垂直的性质 墙角线与地面有何位置关系? 迷宫的所有面都是与地面垂直的,每个拐角所 在直线与地面什么关系? 1.理解平面与平面垂直的性质定理.(重点) 2.能运用性质定理解决一些简单问题.(难点) 3.了解垂直关系间的相互转化关系. 思考1 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直, 你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直? 提示:作与墙角线垂直的交线。 思考2 如图,在长方体中,α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗? 解答:不一定 (2)什么情况下α里的直线和β垂直?解答:与AD垂直 D1 C1 B1 F A1 α E A D β B C 思考3 ? ? ? , ? ? ? C D, A B ? ? , A B ? C D , 垂足为B,那么直线AB与平面β 的位置关系如何? 为什么? Eβ D α C 提示:垂直 B A 证明:在平面β内作BE⊥CD, 垂足为B. 则∠ABE就是二面角α- CD -β 的平面角. 因为 ? ? ? , 所以AB⊥BE. 又由题意知AB⊥CD, α Eβ D B A 且BE CD=B, 所以AB⊥ ? . C 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直. 符号表示: ? C ? ? α∩ β = CD ? ? AB ? α ?? AB ⊥β AB ⊥ CD ? ? AB∩CD = B ? ? α ⊥β A B D ? 【提升总结】 关键点:①线在平面内. ? A B D ②线垂直于交线. C? 作用: ①它能判定线面垂直. ② 它能在一个平面内作与这个平面垂 直的垂线. 面面垂直 线面垂直 (线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线) 【即时训练】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB 上任取一 点 E, 作 EF⊥A1B1 于 F, 则 EF 与平面 A1B1C1D1 的关系是( D ) A.平行 C.相交但不垂直 B.EF?平面 A1B1C1D1 D.垂直 【解析】选D.因为平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1, EF?平面ABB1A1,平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1=A1B1, EF⊥A1B1,所以EF⊥平面A1B1C1D1. 思考4 设平面 ? ⊥平面 ? ,点P在平面 ? 内,过 点P作平面 ? 的垂线a,直线a与平面 ? 具有什么 位置关系? α a β α a β P P 提示:直线a在平面 ? 内 结论 两个平面垂直,则过某个平面内一点垂直于另一个 平面的直线在该平面内. 思考 5 已知平面 α ⊥β , α ∩β = AB ,直线 a ∥α , a ⊥ AB ,试判断直线 a 与 β 的位 置关系 . α b B l β A a 提示:垂直 【即时训练】 设两个平面互相垂直,则( B ) A.一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B.过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一 平面上 C.过交线上一点垂直于交线的直线,必垂直于 另一个平面 D.分别在两个平面内的两条直线互相垂直 例 如图,已知平面 ? , ? , ? ? ? ,直线 a满足 a ? ?, a ? ? ,试判断直线 a与平面 ? 的位置关系. 分析:寻找平面α内与a平行的直线. α b a l β A 解:在α内作垂直于 ?与? 交线的直线b, 因为 ? ? ?, 所以 b ? ?, 因为 a ? ?, b l β α a 所以a∥b. 又因为 a ? ?, 所以a∥α. 即直线a与平面α平行. A 结论:垂直于同一平面(β)的直线(l)和平面(α)平行 ( a ? ?). 【变式练习】 已知平面α ,β ,γ ,满足α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩ β = l, 求证:l ⊥γ . 分析:作出图形. (证法一) l β m b aα β n γ m b a n A (证法二) l α γ ∩ γ= n, β ∩ γ= m, 证法1:设 α 在α内作直线a⊥n 在β内作直线b⊥m l β b a n γ α ? a⊥ γ ? ? 同理b⊥ γ ? ? b //a ? ? a ? α ? ? b //α ? ? b ? β b ?α ? ? ? b //l ? α ∩ β= l ? ? m ? ? b⊥γ ? ? l ⊥γ. α ∩ β= l ? ? ∩ γ= n, β ∩ γ= m, 证法2:设 α 在γ内任取一点A(不在m,n上), 在γ内过A点作直线 a ⊥n, 在γ内过A点作直线 b⊥m, ? ? α ∩ γ= n ? ? a ? ? ? l ?? a⊥ n ? α⊥γ γ β l α a m b A n a?l ? 同理 b ? l a b? A ? l ? ?. 结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那 么这两个平面的交线垂直于这个平面. 如图: α l β γ 判断线面垂直的两种方法: ①线线垂直→线面垂直; ②面面垂直→线面垂直. 1.下列命题中,正确的是( C ) A.过平面外一点,可作无数条直线和这个平面垂直 B.若a,b异面,过a一定可作一个平面与b垂直 C.过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 D.a,b异面,过不在a,b上的点M,一定可以作一个平面 和a,b都垂直. 2.(2015 ·浙江高考 ) 设 α , β 是两个不同的平 面 , l,m 是两条不同的直线 ,且 l? α ,m ? β ( A ) A. 若 l⊥ β , 则 α ⊥ β C. 若 l∥ β , 则 α ∥ β B. 若 α ⊥ β , 则 l ⊥ m D. 若 α ∥ β , 则 l ∥ m 3.如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC, 求证:BC⊥平面PAB. P

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