高二立体几何第一章章末习题含答案

1 章章末归纳总结

一、选择题 1.在下面四个命题中,真命题有( )

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱; ②斜三棱柱的侧面一定都不是矩形; ③底面为矩形的平行六面体是长方体; ④侧面是正方形的正四棱柱是正方体. A.1 个 C.3 个 [答案] A [解析] 由棱柱、直棱柱的概念可得④正确. 2.一长方体木料,沿图①所示平面 EFGH 截长方体,若 AB⊥CD 那么图②四个图形中 是截面的是( ) B.2 个 D.4 个

[答案] A [解析] 因为 AB、MN 两条交线所在平面(侧面)互相平行,故 AB、MN 无公共点,又 AB、MN 在平面 EFGH 内,故 AB∥MN,同理易知 AN∥BM. 又 AB⊥CD,∴截面必为矩形. 3.下列推理中,错误 的为( .. )

A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB C.l?α,A∈l?A?α D.A、B、C∈α,A、B、C∈β 且 A、B、C 不共线?α 与 β 重合 [答案] C [解析] A 是基本性质 1;B 是基本性质 3;D 是基本性质 2 的应用,故都正确,只有 C 不正确.

4.直线 l1∥l2,在 l1 上取 3 个点,l2 取 2 个点,由这 5 个点所确定的平面个数为( A.9 个 C.3 个 [答案] D [解析] ∵l1∥l2,∴l1,l2 确定惟一平面,而 5 个点均在该面内. B.6 个 D.1 个

)

5.(2010· 福建文,3)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积 等 ... 于( )

A. 3 C.2 3 [答案] D

B.2 D.6

[解析] 原几何体是一个底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱,

则 S 侧=3×2×1=6. 6.设 α、β 是两个平面,l、m 是两条直线,下列命题中,可以判断 α∥β 的是( A.l?α,m?α 且 l∥β,m∥β B.l?α,m?β 且 l∥m C.l∥α,m∥β 且 l∥m D.l⊥α,m⊥β 且 l∥m [答案] D [解析] A 中当 l 与 m 相交时,才能得出 α∥β,∴A 不能; B 中,α∩β=a,l∥a,m∥a,如图,∴B 不能; )

同样 C 也不能; D 中,当 l⊥α,l∥m 时,m⊥α,

又 m⊥β,∴α∥β,∴选 D. 7.(2010· 山东潍坊高一期末检测)将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球, 则该球的体积为( π A. 6 C. 3 π 2 ) B. 2 π 3

4 D. π 3

[答案] A [解析] 将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球,球的直径应等于正方体的 1 4 4 1 π 棱长,故球的半径为 R= ,∴球的体积为 V= πR3= π×( )3= . 2 3 3 2 6 8.如图(1),在正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别是边 G1G2、G2G3 的中点,D 是 EF 的中 点,现沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体(如图(2)),使 G1、G2、G3 三点重合于 点 G,这样,下面结论成立的是( )

A.SG⊥平面 EFG B.SD⊥平面 EFG C.GF⊥平面 SEF D.GD⊥平面 SEF [答案] A [解析] 在图(1)中,SG1⊥G1E,SG3⊥G3F, 在图(2)中,SG⊥GE,SG⊥GF,∴SG⊥平面 EFG. 二、填空题 S1 R1 9.(2009· 上海文)若球 O1、O2 表面积之比 =4,则它们的半径之比 =________. S2 R2 [答案] 2
2 [解析] ∵S1=4πR2 1,S2=4πR2,

S1 4πR2 R2 R1 1 1 ∴ = 2= 2 =4,∴ =2. S2 4πR2 R2 R2 10.下列关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;

④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱. 其中正确命题的序号是____________. [答案] ②④

[解析] 对于命题①,斜棱柱中的两个相对的侧面可以同时垂直于底面,故①错误;对 于命题②,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则它们的交线一定垂直于底面,又这一 交线是两对角面的平行四边形的中位线,所以四条侧棱都垂直于底面,棱柱为直四棱柱,即 ②正确;对于命题③,如图所示的斜四棱柱,它的所有棱长都相等,且∠AA1B1=∠AA1D= 60° ,这时它的四个侧面两两全等,故③错误,对于命题④,由四棱柱的四条对角线相等得 到两对角面是矩形,从而四棱柱是直四棱柱,故④正确. 11.如下图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a.将该正方体沿对角面 BB1D1D 切 成 两块 ,再将 这两 块拼接 成一 个不是 正方体 的四 棱柱 ,那么 所得四 棱柱 的全 面积为 ________________.

[答案] (4+2 2)a2 [解析] 由题意可知,组成新的四棱柱后的表面积是由原来的四个相同正方形的面积和 两个阴影部分的面积组成的,则所得四棱柱的全面积为 4a2+ 2a· a×2=(4+2 2)a2. 12.一块正方形薄铁片的边长为 4cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧,沿 弧剪下一个扇形 ( 如图 ) ,用这块扇形铁片围成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的容积等于 ________cm3.

[答案]

15 π 3

[解析] 据已知可得圆锥的母线长为 4,设底面半径为 r, π 则 2πr= · 4?r=1, 2 故圆锥的高为 h= 42-1= 15,

1 15π 故其体积 V= π·12 15= . 3 3 三、解答题 13.如图,PA⊥平面 ABC,AE⊥PB,AB⊥BC,AF⊥PC,PA=AB=BC=2.

(1)求证:平面 AEF⊥平面 PBC; (2)求三棱锥 P-AEF 的体积. [解析] (1)∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,∴PA⊥BC. 又 AB⊥BC,PA∩AB=A,

∴BC⊥平面 PAB,而 AE?平面 PAB, ∴BC⊥AE. 又 AE⊥PB,PB∩BC=B, ∴AE⊥平面 PBC. 而 AE?平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 PBC. (2)由(1)知 AE⊥平面 PBC, ∴AE 就是三棱锥 A-PEF 的高. ∵AE⊥平面 PBC,∴AE⊥PC, 又 AF⊥PC,AE∩AF=A,∴PC⊥平面 AEF,∴PC⊥EF. 又 PA=AB=BC=2, PA· AC 2×2 2 2 6 ∴AE= 2,AF= = = . PC 3 2 3 ∴PF= PA2-AF2= ∴EF= PE2-PF2= 2 62 2 3 22-( )= . 3 3 2 32 6 ( 2)2-( )= , 3 3

1 1 1 2 3 6 2 ∴VP-AEF=VA-PEF= ×AE×S△PEF= × 2× × × = . 3 3 2 3 3 9 14.如图,S 为矩形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别是 SD、BC 的中点.

求证:EF∥平面 SAB. [解析] 解法一:转化为证明面面平行.

如图所示,取 AD 的中点 G,连结 EG、FG, ∵E、F 分别为 SD、BC 的中点, ∴EG∥SA,GF∥AB,EG?面 EFG,GF?面 EFG, EG∥∩GF=G,∴面 EFG∥面 SAB, ∴EF∥面 SAB. 解法二:利用线面平行的判定定理. 如图所示,取 SA 的中点 H, 连结 EH、HB,∵E、F 分别为 SD、BC 的中点, 1 1 ∴EH 綊 AD,BF= BC, 2 2 BC 綊 AD,∴EH 綊 BF, ∴四边形 EHBF 为平行四边形, ∴EF∥BH,又 BH?面 SAB,EF?面 SAB, ∴EF∥面 SAB. 15.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边 三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

[解析] (1)在△ABD 中,

∵AD=4,BD=8,AB=4 5, ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD?平面 ABCD, ∴BD⊥平面 PAD,又∵BD?平面 MBD, ∴平面 MBD⊥平面 PAD. (2)如图过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,∴PO⊥平面 ABCD. ∴PO 的长度为四棱锥 P-ABCD 的高, 又∵△PAD 是边长为 4 的等边三角形, ∴PO= 3 ×4=2 3. 2

在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, 4×8 8 5 ∴四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 = ,此即为梯形 5 4 5 ABCD 的高,

2 5+ 4 5 8 5 ∴四边形 ABCD 的面积为 S= × =24. 2 5 1 即 VP-ABCD= ×24×2 3=16 3. 3 16. (2009· 宁夏海南)如图, 在三棱锥 P-ABC 中, △PAB 是等边三角形, ∠PAC=∠PBC =90°

(1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC=4,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P-ABC 的体积.

[解析] (1)∵△PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90° ,∴Rt△PBC≌Rt△PAC,可 得 AC=BC. 如图,取 AB 中点 D,连结 PD、CD, 则 PD⊥AB,CD⊥AB,∴AB⊥平面 PDC,∴AB⊥PC. (2)作 BE⊥PC,垂足为 E,连结 AE.

∵Rt△PBC≌Rt△PAC,∴AE⊥PC,AE=BE, 由已知,平面 PAC⊥平面 PBC, 故∠AEB=90° . ∵Rt△AEB≌Rt△PEB, ∴△AEB,△PEB,△CEB 都是等腰直角三角形. 由已知 PC=4,得 AE=BE=2,△AEB 的面积 S=2. ∵PC⊥平面 AEB, 1 8 ∴三棱锥 P-ABC 的体积 V= ×S×PC= . 3 3


相关文档

2019年人教A版选修2-1高中数学同步习题第三章空间向量与立体几何 章末总结及答案
立体几何章末练习题(学生用卷)
苏教版2019年高中数学选修2-1同步习题:第3章_空间向量与立体几何 章末复习_含答案
高二数学北师大版选修2-1章末综合测评(二) 空间向量与立体几何 Word版含答案
苏教版2019年高中数学选修2-1同步习题:第3章_空间向量与立体几何 章末检测试卷(三)_含答案
最新高中数学(苏教版选修2-1)习题:第3章 空间向量与立体几何 章末检测
最新高中数学(苏教版选修2-1)习题:第3章 空间向量与立体几何 章末复习提升
2018版必修二课后作业:第一章 立体几何初步 章末复习课 含答案 精品
高中数学(苏教版选修2-1)习题:第3章 空间向量与立体几何 章末检测
高中数学(苏教版选修2-1)习题:第3章 空间向量与立体几何 章末复习提升
电脑版