椭圆双曲线练习卷(含答案)

高二数学练习卷一 (椭圆、双曲线)

班级

姓名

一、填空题
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍,长、短轴都在坐标轴上,过点 A(3, 0) ,则椭圆的方

程是 x2 ? y2 ? 1或 x2 ? y2 ? 1.

9

9 81

2.双曲线的渐进线方程为 y ? ? 1 x ,且焦距为 10,则双曲线方程为 x2 ? y2 ? 1 或

2

20 5

y2 ? x2 ?1 5 20

3.与圆 (x ? 3)2 ? y2 ? 1 及圆 (x ? 3)2 ? y2 ? 9 都外切的圆的圆心轨迹方程为

x2 ? y2 ? 1? x ? ?1? .
8

4.过点(2,-2)且与双曲线 x 2 ? y2=1 有相同渐近线的双曲线方程是 y2 ? x2 ? 1

2

24

? ? 5.若椭圆长轴长与短轴长之比为 2,它的一个焦点是 2 15 ,0 ,则椭圆的标准方程是

x2 ? y2 ?1。 80 20

6.若方程 y 2 ? ?lg a?x2 ? 1 ? a 表示两个焦点都在 x 轴上的椭圆,则 a 的取值范围是
3

1 ?a?1.

10

3

7.已知椭圆 x2 ? y2 ? 1 的离心率 e ? 1 ,则 a 的值等于 4或- 5 .

a?8 9

2

4

8.椭圆 x2 12

?

y2 3

? 1的焦点为 F1, F2 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么

|

PF1

|=

7

3 2



9.已知点P在双曲线 x2 ? y2 =1上,满足|PF1| =12,则|PF2| =2或22. 25 9
10.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的离心率 e ? (1, 2) ,则 k 的取值范围是 (?4, 0) 4k

11.已知椭圆 x2 ? y2 ? 1和双曲线 x2 ? y2 ? 1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方

3m2 5n2

2m2 3n2

程是 y ? ? 3 x 4

? ? 12.曲线 C 的方程为 ?1 ? k ?x2 ? 3 ? k 2 y 2 ? 4 ( k ? R ),

? ? 当 k ? ?1 时 , 曲 线 C 为 圆 ; 当 k ? ? 3,?1 ? ??1,1? 时 , 曲 线 C 为 椭 圆 ; 当 k ?

? ? ? ? ? ?,? 3 ? 1, 3 时,曲线 C 为双曲线;当 k ? 1 或 k ? ? 3 时,曲线 C 为两直线.

13. P 是椭圆

x2 5

?

y2 4

? 1上的一点, F1 和 F2 是焦点,若 ?F1PF2

? 30

,则 ?F1PF2 的面

积等于 8 ? 4 3

14.双曲线 x2 ? y2 ? 1 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上.若 PF1⊥PF2 ,则点 P 到 x 轴的 9 16

距离为 16 . 5

15.过点 (0,3) 作直线 l ,如果它与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 有且只有一个公共点,则直线 l 的条 43
数是 4 条.
16.设 P 是直线 y ? x ? 4 上一点,过点 P 的椭圆的焦点为 F1(2, 0) , F2 (?2, 0) ,则当椭圆
长轴最短时,椭圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 10 6

17.以下同个关于圆锥曲线的命题中
①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,| PA| ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? 1 (OA ? OB), 则
2
动点 P 的轨迹为椭圆;
③方程 2x2 ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

④双曲线 x 2 ? y 2 ? 1与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1有相同的焦点.

25 9

35

其中真命题的序号为③④(写出所有真命题的序号)

18 . 若 椭 圆 x 2 ? y 2 ? 1(m ? n ? 0) 和 双 曲 线 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 有 相 同 的 焦 点

mn

ab

F1, F2 ,P 是两条曲线的一个公共点,则 PF1 ? PF2 的值是 m ? a 。

二、解答题

19.求经过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点且倾斜角为 ? 的直线教椭圆于 A、B 两点,求弦 AB 的 3
长度。
长度为: 16 7

20.一椭圆其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为 2 13 ,一双曲线和这椭圆有公共
焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小 4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为 7:3,求椭圆和双曲线的方程.

椭圆和双曲线的方程为: x 2 ? y 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? 1 或 y 2 ? x 2 ? 1, y 2 ? x 2 ? 1

49 36

94

49 36

94

21.已知定圆 C 的方程是 (x ? 4)2 ? y 2 ? 100 ,定点 A 的坐标是(4,0),P 为圆 C 上的一
个动点,线段 AP 的垂直平分线与半径 CP 交于点 Q,求点 Q 的轨迹方程。 解答:如图,设 Q 点的坐标是(x,y)。连接 QA。
∵QM 垂直平分线段 AP, ∴|QP|=|QA|, ∴|QC|+|QA|=|CP|=10, ∴Q 点的轨迹是以 C、A 为焦点的椭圆,
轨迹方程是 x 2 ? y 2 ? 1。 25 9

22.如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流的没岸 PQ(曲线) 上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km.现要在曲 线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运货物. 经测算,从 M 到 B、M 到 C 修建公路的费用分别是 a 万元 /km、2a 万元/km,求修建这两条公路的总费用最低是多 少?
此题因需用到圆锥曲线第二定义可暂时不做

23.已知 F1, F2 是椭圆 4x2 ? 5 y2 ? 20 ? 0 的两个焦点,过原点作弦 AB ,求 ?F2AB 面积的
最大值 。

解:方程化为

x2 5

?

y2 4

?1. S

?

1 ?c? 2

y1

?

y2



因为 y1 ? y2 的最大值就是当 A, B 分别在短轴端点时取到,所以 y1 ? y2 的最大值就是4.

所以 S max ? 2 .

24.点 A、B 分别是椭圆 x 2 ? y 2 ? 1长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭 36 20
圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。
(1)求点 P 的坐标;
(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于| MB | ,求椭圆上的点
到点 M 的距离 d 的最小值。
[解](1)由已知可得点 A(-6,0),F(4,0)
设点 P( x , y ),则 AP ={ x +6, y }, FP ={ x -4, y },由已知可得

? x2 ?

?

y2

?1

?36 20

??(x ? 6)(x ? 4) ? y2 ? 0

则 2 x2 +9 x -18=0, x = 3 或 x =-6. 2

由于 y >0,只能 x = 3 ,于是 y = 5

3
.

2

2

∴点 P 的坐标是( 3 , 5

3
)

22

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0.

m?6

设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

.

2

m?6

于是

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2.

2

椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有

d 2 ? ( x ? 2 )2 ? y2 ? x ?4 x2 ?4 ?2 05 ? x2 4 ? 99
由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 9 时,d 取得最小值 15 2

(x9 ? 2) 2

, ?1 5

25.椭圆

x2 m2

?

y2

? 1?m

?

1?

与双曲线

x n

2 2

?

y2

? 1?n

?

0? 有公共焦点 F1, F2 ,P

是两曲线

的一个交点,求 ?F1PF2 的面积。

解答:由椭圆和双曲线的对称性,不妨设点 P 在第一象限,F1 是左焦点,F2 是右焦点, 由椭圆和双曲线的定义可知

?? PF1 ? PF2 ? 2m, ? ?? PF1 ? PF2 ? 2n

解得??? PF1 ? m ? n, ?? PF2 ? m ? n.

? ? ? PF1 2 ? PF2 2 ? 2 m2 ? n2 。

?椭圆

x2 m2

?

y2

? 1?m

?

1?

与双曲线

x n

2 2

?

y2

? 1?n

?

0? 有公共焦点,

? ? ? ? ∴ m2 ? 1 ? n2 ? 1 ? c2 ∴| F1F2 |2 ? 4c 2 ? 2 m2 ? 1 ? n2 ? 1 ? 2 m2 ? n2 ? PF1 |2 ? | PF2 2 ,



?F1PF2

?

? 2

, 又m2

?1?

n2

? 1,即 m2

?

n2

?

2



? ? ∴

?F1

PF2

的面积

?

1 2

PF1

? PF2

?1 2

m2 ? n2

?1。

26.直线 y ? ax ?1与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A、B 两点,

(1)当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上? (2)当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?

? ? ?y ?
解:由 ??3x 2

ax ?1
得:
? y2 ?1

3?

a2

x2 ? 2ax ? 2 ? 0

(※),



??3 ? a 2 ? 0 ? ??? ? (?2a)

2

?

8(3 ?

a2)

?


0

得当 ? 6 ? a ? 6 且 a ? ? 3 时,直线与双曲线交于两点,

设 A(x1, y1 ) 、 B(x2 , y2 )

(1)由 x1x2

?

?2 3? a2

? 0 ,得: ?

3?a?

3.

(2)以 AB 为直径的圆过原点 ? OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,

∴ x1x2 ? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? 0 , ∴ (1 ? a 2 )x1x2 ? a(x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,

由(※)得,

? ?? ? ? ??

x1 x1

? x2

x2 ?

? 2a 3?a
?2 3? a2

2

,∴ ?

2(1 ? a 2 ) 3? a2

? a ? 2a 3? a2

?1? 0,

解得 a ? ?1.

27.设椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是坐标原点, 4

点 P 满足 OP ? 1 (OA ? OB) ,点 N 的坐标为 (1 , 1) ,当 l 绕点 M 旋转时,求:

2

22

(1)动点 P 的轨迹方程;

(2)| NP | 的最小值与最大值.

可暂时不做

28.已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,右准线的方程为 x=1,倾斜角为 ? 的直 4
线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点,且线段 PQ 的中点坐标为 (? 1 , 1) . 24
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设 A 为椭圆 C 的右顶点, M、N 为椭圆 C 上两点,且|OM| 、 3 |OA|、|ON|三 2
者的平方成等差数列,则直线 OM 和 ON 斜率之积的绝对值是否为定值?如果是,请求出定

值;若不是,请说明理由.

分析 第(1)可以利用待定系数法,首先设椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,通过条 a2 b2
件右准线的方程为 x=1 和倾斜角为 ? 的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点,且线段 PQ 的中点 4
坐标为 (? 1 , 1) ,列出方程组,解出 a,b;第(2)问可以先设出 M,N 点的坐标,将条件 24
“|OM| 、 3 |OA|、|ON|三者的平方成等差数列”作适当转化,即可。 2

解答:(1)设椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1 (a ? b ? 0) ① a2 b2

直线 l 的方程为 y ? 1 ? x ? 1 ,即 y ? x ? 3



4

2

4

由①②得: (a2 ? b2 )x2 ? 3 a2 x ? 9 a 2 ? a2b2 ? 0 2 16



A( x1 ,

y1), B(x2 ,

y2 )

,则

x1

?

x2

?

3a 2 ?
2(a2 ? b2 )

?

?1

即a2

? 2b2



又由 C 的准线方程为 x ? 1得 a 2 ? 1 即 c ? a2 c

④ 又a2 ? b2 ? c2 ⑤

由③④⑤解得 a 2 ? 1 , b2 ? 1 。∴椭圆 C 的方程为 2x 2 ? 4 y 2 ? 1.

2

4

(2)法一:设 M (x3, y3 ), N (x4 , y4 ) ,则 2x32 ? 4y32 ? 1, 2x42 ? 4y42 ? 1

两式相加整理得: x32 ? x42 ? 2( y32 ? y42 ) ? 1



∵|OM| 、 3 |OA|、|ON|三者的平方成等差数列, 2

∴|OM| 2+|ON| 2= 3 |OA|2,又 A 为椭圆 C 的右顶点,∴|OA|2= 1 ,

2

2

∴|OM|

2+|ON|

2= 3 4

,∴ (x32

? x42 ) ? ( y32

?

y42 ) ?

3 4



由⑥⑦解得: x32

?

x4 2

?

1, 2

y32

?

y42

?

1 4

∵ x32

? x42

?

1 2

(1

?

4

y3

2

)

?

1 2

(1

?

4

y4

2

)

?

1 4

[1

?

4(

y3

2

?

y42 ) ? 16y32 y42 ] ?

4y32 y42

∴ y32 y42 ? 1 x32 x42 4

,即|KOP·KOQ|= |

y3 y4 x3 x4

|?

1 为定值. 2

法二:设 M (x3,

y3), N (x4,

y4)

,则

k1=

y3 x3

, 2x32

? 4 y32

? 1,

于是

2x

2 3

+4k

2 1

x

2 3

=1,x

2 3



2

1 ? 4k12

,y

2 3



2

k12 ? 4k12

,同理,x

2 4



2

1

?

4k

2 2

,y

2 4



2

k22 ? 4k22



由|OM| 2+|ON|

2= 3 2

|OA|2,得 x32

?

y32

?

x42

?

y42

?

3 ,于是 4

1 + k12 + 1 + k22 = 3 ,即 1 ? k12 + 1 ? k22 = 3 ,

2 ? 4k12 2 ? 4k12 2 ? 4k22 2 ? 4k22 4

2 ? 4k12 2 ? 4k22 4

解得

k

2 1

k

2 2



1 4

,|k1k2|=

1 2

,为定值.

法三:设 M( 1 cosα ,1 sinα ),N( 1 cosβ ,1 sinβ ),则由|OM| 2+|ON| 2= 3 |OA|2,

2

2

2

2

2

得 x32

?

y32

?

x42

?

y42

?

3 ,于是 1

4

2

cos2α + 1 4

sin2α

1
+

2

cos2β + 1 4

sin2β = 3 , 4

所以,cos2α - sin2β =0,也是 cos2β - sin2α =0,

于是

1 tan2α 4

tan2β

=1 4

sin2 ? sin2 ? cos2 ? cos2 ?

= 1 ,所以|k1k2|= 1 ,为定值.

4

2


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