2017年秋高一数学人教A版必修2课后导练:2.3.3直线与平面垂直的性质 Word版含解析

课后导练 基础达标 1 若 a、b 表示直线,α 表示平面,下列命题中正确的个数为( ) ①a⊥α,b∥α ? a⊥b ②a⊥α,a⊥b ? b∥α ③a∥α,a⊥b ? b⊥α ④a⊥α,b⊥α ? a∥b A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①正确,过 b 作平面 β∩α=b′,∵b∥α,∴b∥b′. 又∵a⊥α,b′ ? α,∴a⊥b′,∴a⊥b;②错, b 有可能在 α 内; ③b 与 α 关系有四种, b ? α,b∥α,b⊥α 或 b 与 α 斜交;④正确. 答案:B 2 下列说法中正确的是( ) ①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直 ②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直 ③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行 ④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直 A.①②③ B.①②③④ C.②③ D.②③④ 解析:由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确;④错,过直线外一点作平面与直 线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直. 答案:A 3 设 a、b 是异面直线,下列命题中正确的是( ) A.过不在 a、b 上的一点 P 一定可作一条直线和 a、b 都相交 B.过不在 a、b 上的一点 P 一定可作一个平面和 a、b 都垂直 C.过 a 一定可作一个平面与 b 垂直 D.过 a 一定可作一个平面与 b 平行 解析:A 项错,当点 P 在过 a 与 b 平行的平面内时不能作;B 项错,若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b 与 a、b 异面矛盾;C 项错,若有平面 α,使得 a ? α,b⊥α,则 a⊥b,但条件中的 a,b 不一定 是垂直的;D 项正确,过 a 上取一点 A,作 b′∥b,则 a 与 b′确定的平面与 b 平行. 答案:D 4 如图,BC 是 Rt△ABC 的斜边,过 A 作△ABC 所在平面 α 的垂线 AP,连结 PB、PC,过 A 作 AD⊥BC 于点 D,连结 PD,那么图中直角三角形的个数是( ) A.4 B.6 C.7 D.8 解析:∵PA⊥面 ABC,∴PA⊥BC,又 AD⊥BC, ∴BC⊥面 PAD,∴BC⊥PD. ∴直角三角形有:△PAB,△PAC,△PAD,△BAC,△ADB,△ADC,△PDB,△PDC. 答案:D 5 设 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确 命题的序号是……( ) ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 解析:①正确(前面已证) ;②正确,∵m⊥α,又 α∥β,∴m⊥β.又 β∥γ,∴m⊥γ.③错,m 与 n 可平行,可相交也可异面;④错,比如教室的墙角. 答案:A 6 对于四面体 ABCD,给出下列四个命题: ①若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD; ②若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥AD; ③若 AB⊥AC,BD⊥CD,则 BC⊥AD; ④若 AB⊥CD,BD⊥AC,则 BC⊥AD. 其中真命题的序号是___________________.(写出所有真命题的序号) 解析:①正确,取 BC 中点 O, ∵AB=AC,∴AO⊥BC, 又∵BD=DC,∴DO⊥BC, ∴BC⊥面 AOD,∴BC⊥AD. ④正确,过 A 作 AH⊥面 BCD, ∴AH⊥CD.又∵CD⊥AB,∴CD⊥面 ABH, ∴CD⊥BH,同理可证 CH⊥BD, ∴H 为△BCD 的垂心,连 DH,则 DH⊥BC.又 AH⊥BC,∴BC⊥面 ADH.∴BC⊥AD. 答案:①④ 7 直线 a 和 b 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两个不同平面内 , 使 a∥b 成立的条件是 ____________.(只填序号即可) ①a 和 b 垂直于正方体的同一个面 ②a 和 b 在正方体两个相对的面内,且共面 ③a 和 b 平 行于同一条棱 ④a 和 b 在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直 解析:由线面垂直的性质知①正确;由公理 4 知,③正确;由面面平行的性质知②正确;④ 错误. 答案:①②③ 8m、n 是空间两条相交直线,l1、l2 是与 m、n 都垂直的两条直线,直线 l 与 l1、l2 都相交, 则直线 l 与 l1、l2 所成的角的大小关系是___________________. 解析:设 m、n 确定平面为 α,由条件知 l1⊥α,l2⊥α,∴l1∥l2,由线线成角定义知,l 与 l1,l2 所成的角相等. 答案:相等 综合运用 11 与空间四边形 ABCD 四个顶点距离相等的平面共有( ) A.1 个于 B.5 个 C.6 个 D.7 个 解析: 每一个顶点到其余三点所确定的平面的垂线段是唯一的, 过中点的垂直平面是唯一的, 这个平面就是满足条件的平面,共有四个. 每两条对边都是异面直线,公垂线段是唯一的,过公垂线段的中点的垂面也是唯一的,这个 平面就是满足条件的平面,共有三个,所以与空间四边形 ABCD 四个顶点相等的平面共有 七个. 答案:D 10 五个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线,点 M、N、P 分别为其所在棱的中点,能 得出 l⊥面 MNP 的图形序号___________. 解析:①④易判断,⑤中△PMN 是正三角形且 AM=AP=AN,因此,三棱锥 A-PMN 是正三 棱锥,所以图⑤中 l⊥平面 MNP,由此法,还可否定③. ∵AM≠AP≠AN,也易否定②,∴应填①④⑤. 答案:①④⑤ 11 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中点. (1)求证:AM∥平面 BDE; (2)求证:AM⊥平面 BDF. 证明:(1)如图,设 AC∩BD=O,连结 OE. ∵O,M 分别是 AC,EF 的中点,ACEF 是矩形, ∴四边形 AO

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