重庆市一中高二数学下学期期末考试试题文

2018 年重庆一中高 2019 级高二下期期末考试 数学 试 题 卷(文科)
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ?x | log2 x ? 0? , B ? ? x ? ? ? 3? ,则 A
x ? ? ?1? ? ? ?3?

? ? ? ?

B?(



A. ?x | ?1 ? x ? 1? 2.复数 A.

B. ?x | 0 ? x ? 1 ?

C. ?x | x ? 0?

D. R

i 2 ? i 4 ? i3 ?( ) 1? i 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? i B. ? ? i C. ? i D. ? i 2 2 2 2 2 2 2 2


3.已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ,且满足 a1 ? 1 , an ? an?1 ? 2n ? 1 ,则 S10 ? ( A.45 B.95 C.110 D.55

4. 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)(ax ? b)为偶函数,且在 (0, ??) 单调递减,则 f ( x) ? 0 的解集为 ( )

(- ?, -1 ) ? (0, 1 ) (- ?, -1 ) ? ( 1, ? ?) A. B. C. (?1,1)
5.已知双曲线

(- 1, 0) ? ( 1, ? ?) D.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,焦点到渐近线的距离为 2 2 ,则此双 a 2 b2
) . B.

曲线的焦距等于( A. 3 6

3 2

C. 2

D.

6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视 图,俯视图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为( A. 64 ? )

32? B. 64 ? 8? 3

C. 64 ?

16? 3

D. 64 ?

8? 3
INPUT x,y,z m=x IF y>m m=y END IF IF z>m m=z END IF PRINT m END

7. 如图程序中,输入 x ? ln 2, y ? log3 2, z ? lg 10 ,则输出的结果为 ( A. x ) B. y

-1-

C. z

D.无法确定 )

8.函数 f ( x) ? x cos x 的导函数 f ?( x ) 在区间 [ ?? , ? ] 上的图像大致是(

A. 9.已知函数 f ( x ) ?

B.

C.

D.

x . x ?1

命题 p1 : f ( x) 的值域是 ?- ?, 1? ? ?1, ? ??;命题 p2 : f ( x) 在 ?- ?, 1? ? ?1, ? ?? 单调递减.则 在命题 q1 : p1 ? p2 ; q2 : ? ?p1 ? ? ? ?p2 ? ; q3 : ? ?p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ?p2 ? 中,真命题是 ( A. )

q1 , q3 B. q1 , q4 C. q2 , q3

D. q2 , q4

(2, 0) 10.对任意实数 x 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 2 f (2) ,若 f ( x ? 2) 的图像关于 成中心对称,

f (1) ? 3 ,则 f (2017 ) ? f (2018 )?(
A.0 B.3

) C.6 D.-3

2 2 11.对于实数 a、b、m ,下列说法:①若 am ? bm ,则 a ? b ;②若 a ? b ,则 a a ? b b ;③

若 b ? a ? 0, m ? 0 , 则 正确的个数为( A. 1 12.已知函数 f ( x) ? )

a?m a ? ; ④若 a ? b ? 0 且 ln a ? ln b , 则 2a ? b的 最 小 值 是 b?m b
C. 3 D. 4

2 2,

B. 2

a ?1 ? ? x ln x , g ( x) ? ? x3 ? x 2 ? 5 ,若对任意的 x1 , x2 ? ? , 2? ,都有 x ?2 ?
)

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 成立,则实数 a 的取值范围是 (
A. ?- ?, 2 - 4 ln 2? B. ?- ?, 1? C. ?2 - 4 ln 2,

? ?

1 1 ? ? ln 2? 2 4 ?

D. ? - ?, ?

? ?

1 2

1 ? ln 2? 第 4 ?

II 卷(非选择题,共 90 分)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知奇函数 f ( x) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,则 f (2) ?

-2-

14. 已知曲线 y ? x ln x 的一条切线为 y ? 2 x ? b ,则实数 b 的值为 15.通常,满分为 100 分的试卷,60 分为及格线.若某 次满分为 100 分的测试卷,100 人参加测试,将这 100 人的卷面分数按照 ?24,36?, ?36,48?,?, ?84,96? 分组后 绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少, 某位老师准备将每位学生的卷面得分采用 “开方乘以 10 取整”的方法进行换算以提高及格率(实数 a 的取整等
第 15 题图

于不超过 a 的最大整数) ,如:某位学生卷面 49 分,则换算成 70 分作为他的最终考试成绩, 则按照这种方式,这次测试的及格率将变为. (结果用小数表示) 16.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2, x ? a ? x ? 2, x ? a

x ,若 g ( x) ? f (2018 ? 2) ? a 有零点,则实

数 a 的取值范围是 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,且

a sin A ? b sin B ? (c ? b)sin c .
(1)求 A 的大小; (2)若 sin B ? 2sin C , a ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积. 18.(本小题满分 12 分) 近年来,某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念,2012 年年初至 2018 年 年初,该地区绿化面积 y (单位:平方公里)的数据如下表:

(1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,预测该地区 2022 年年初的绿化面积.

(附:回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为:b ? ?

?x y
i ?1 i

n

i

? n x? y


_

_

?x
i ?1

n

2 i

? nx

2

a ? y ? b x .其中 ? xi yi ? 134.4 )
i ?1

?

?

7

-3-

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P? A B C D 中,底面 ABCD 是梯形,

AB // CD , ?BAD ? 60? , AB ? 2 AD , AP ? BD .
(1)证明:平面 ABD ? 平面 PAD ; (2)若 PA 与平面 ABCD 所成 的角为 60 , AD ? 1, PA ? PD ,求点 C 到平面 PAB 的距离.
?

20.(本小题满分 12 分) 已知动点 M 到定点 F (0, ) 的距离与 M 到定直线 y ? ?

1 2

1 的距离相等. 2

(1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)直线 l 交 C 于 A, B 两点, kOA ? kOB ? ?2 且 ?OAB 的面积为 16 ,求 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? ax , a 为正实数. (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求证: f ( ) ≤ 0 ; (3)若函数 f ( x) 有且只有 1 个零点,求 a 的值.

1 a

选考题:请考生在第 22,23 题中任选一题作答。如果多选,则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的普通方程为 x ? y ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 .在以坐标原点为极点,
2 2

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?
(1)写出圆 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程;

?
4

) ? 2.

(2)设直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A 、 B , P 为圆 C 上的任意一点,求 PA ? PB 的取 值范围.

23.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2a , a ? R .
-4-

(1)若对于任意 x ? R , f ( x ) 都满足 f ( x) ? f (3 ? x) ,求 a 的值; (2)若存在 x ? R ,使得 f ( x) ? ? 2x ?1 ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

2018 年重庆一中高 2019 级高二下期期末考试 数学参考答案(文科) 一.选择题 1-5 BCDBD 二.填空题 13.0 6-10 CAABB 11-12 CA 16. ?4, ? ??

14.- e

15.0.82

三.解答题。 17. A ? 3 , b ? 4, c ? 2, S ? 2 3 18.(1) t ? 4, y ? 4.3 , b ? 0.5, a ? 2.3 , 线性回归方程为 y ? 0.5t ? 2.3 (2)将 2022 年年号 11 代入,预测绿化面积为 7.8 平方公里. 19.解: (1)证明:在△ABD 中,由余弦定理得 BD =AB +AD -2AB·ADcos ∠BAD, ∵∠BAD=60°,AB=2AD, ∴BD =4AD +AD -2·2AD·ADcos 60°=3AD , ∴AB =AD +BD ,即 BD⊥AD. 又∵AP⊥BD,AD∩AP=A, ∴BD⊥平面 PAD. ∵BD? 平面 ABD, ∴平面 ABD⊥平面 PAD. (2)解:取 AD 的中点 O,连接 PO,BO, ∵PA=PD,∴PO⊥AD. 由(1)知平面 ABD⊥平面 PAD,交线为 AD,∴PO⊥平面 ABD, 由 AD=1,得 AB=2,BD= 3,OB=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?

?

?

?

13 , 2
3 ,∴PB=2,PA=1. 2
-5-

∵PA 与平面 ABCD 所成的角为 60°,∴∠PAO=60°,得 OP=

∵AB∥CD,∴CD∥平面 PAB,故点 C 到平面 PAB 的距离即为点 D 到平面 PAB 的距离 d, 在三棱锥 P-ABD 中,VD-PAB=VP-ABD, 即 ?

1 1 1 1 1 3 15 ,求得 d= ,∴点 C 到平面 PAB 的距离 ?1? 22 - ( ) 2 ? d ? ? ?1? 3 ? 5 3 2 2 3 2 2
15 . 5



20.解: (1)由抛物线定义可知, M 的轨迹方程是: x 2 ? 2 y (2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l : y ? kx ? b, A( x1 ,

x12 x2 ), B( x2 , 2 ) , 2 2

由?

? y ? kx ? b ?x ? 2 y
2

得: x ? 2kx ? 2b ? 0
2

x1 ? x2 ? 2k , x1 x2 ? ?2b
由 kOA ? kOB ?

y1 y2 x1 x2 b ? ? ? ? ? ?2,? b ? 4 , x1 x2 4 2

? 直线方程为: y ? kx ? 4 ,所以直线恒过定点 R(0,4)
? S ?AOB ? 1 ? OR ? x1 ? x2 ? 16, ? x1 ? x2 ? 8 2

即 (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 64,?4k 2 ? 32 ? 64

k 2 ? 8, k ? ?2 2
所以直线方程为: y ? ?2 2 ? 4 21.解: (1) 当 a ? 2 时,f ( x) ? ln x ? 2 x2 ? 2 x , 则 f () 'x

1 ? 4 ? x2 ? x

1 ( 0? , , 所以 f '(1) ? ?1 , 又 f)

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (2)因为 f ( ) ? ln

1 a

1 1 1 1? x , ? ? 1 ,设函数 g ( x) ? ln x ? x ? 1 ,则 g '( x) ? ? 1 ? a a x x

令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,列表如下:

x
g '( x )

(0,1)

1
0

(1 ? ?)

?

?
-6-



g ( x)



大 值



所以 g ( x) 的极大值为 g (1) ? 0 .所以 f ( ) ? ln (3) f '( x ) ?

1 a

1 1 ? ? 1≤ 0 . a a

1 2ax 2 ? ax ? 1 ? 2ax ? a ? ? ,x?0, x x

令 f '( x) ? 0 ,得

a ? a 2 ? 8a a ? a 2 ? 8a a ? a 2 ? 8a ?x? ? 0, ,因为 4a 4a 4a

所以 f ( x) 在 (0,

a ? a 2 ? 8a a ? a 2 ? 8a ) 上单调增,在 ( , ??) 上单调减. 4a 4a

所以 f ( x) ≤ f (

a ? a 2 ? 8a ). 4a

设 x0 ?

a ? a 2 ? 8a ,因为函数 f ( x) 只有 1 个零点,而 f (1) ? 0 , 4a

所以 1 是函数 f ( x) 的唯一零点. 当 x0 ? 1 时, f ( x) ≤ f (1) ? 0 , f ( x) 有且只有 1 个零点, 此时

a ? a 2 ? 8a ? 1 ,解得 a ? 1 . 4a

下证,当 x0 ? 1 时, f ( x) 的零点不唯一. 若 x0 ? 1 ,则 f ( x0 ) ? f (1) ? 0 ,此时

a ? a 2 ? 8a 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 1 ,则 ? 1 . 4a a

由(2)知, f ( ) ? 0 ,又函数 f ( x) 在以 x 0 和 所以在 x 0 和

1 a

1 为端点的闭区间上的图象不间断, a

1 之间存在 f ( x) 的零点,则 f ( x) 共有 2 个零点,不符合题意; a
a ? a 2 ? 8a 1 ? 1 ,即 a ? 1 ,则 0 ? ? 1 . 4a a

若 x0 ? 1 ,则 f ( x0 ) ? f (1) ? 0 ,此时 同理可得,在

1 和 x 0 之间存在 f ( x) 的零点,则 f ( x) 共有 2 个零点,不符合题意. a

因此 x0 ? 1 ,所以 a 的值为 1 .

22.解: (Ⅰ)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? cos ? ( ? 为参数). ? y ? 3 ? sin ?
-7-

直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)由直线 l 的方程 x ? y ? 2 ? 0 可得点 A(2, 0) ,点 B(0, 2) .设点 P ( x, y ) ,则

PA ? PB ? (2 ? x, ? y) ? (? x, 2 ? y) . ? x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 x ? 4 y ? 12 .
由(Ⅰ)知 ?

? x ? 2 ? cos ? ,则 PA ? PB ? 4sin ? ? 2 cos ? ? 4 ? 2 5 sin(? ? ? ) ? 4 . y ? 3 ? sin ? ?

因为 ? ? R ,所以 4 ? 2 5 ? PA ? PB ? 4 ? 2 5 . 23.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? f (3 ? x) , x ? R ,所以 f ( x ) 的图象关于 x ? 又 f ( x) ? 2 | x ?

3 对称. 2

a a a 3 | ?2a 的图象关于 x ? ? 对称,所以 ? ? ,所以 a ? ?3 . 2 2 2 2

(Ⅱ) f ( x) ? ? 2x ?1 ? a 等价于 2x ? a ? 2x ?1 ? a ? 0 . 设 g ( x) ? 2x ? a ? 2x ?1 ? a ,则 g ( x)min ? (2x ? a) ? (2x ?1) ? a ? a ? 1 ? a . 由题意 g ( x)min ? 0 ,即 a ? 1 ? a ? 0 . 当 a ? ?1 时, a ? 1 ? a ? 0 , a ? ?

1 1 ,所以 ?1 ? a ? ? ; 2 2 1 . 2

当 a ? ?1 时, ?(a ? 1) ? a ? 0 , ?1 ? 0 ,所以 a ? ?1 ,综上 a ? ?

-8-


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