高一数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题 (1)

高一数学必修 2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题
第 1 题. 已知: ? ? ? ? b , a//? , a//? ,则 a 与 b 的位置关系是( A. a//b C. a , b 相交但不垂直 B. a ? b D. a , b 异面 )

答案:A. 第 2 题. 如图, 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点,E ,F 分别是 PA ,BD 上的点且 PE∶EA ? BF ∶FD ,求证: EF// 平面 PBC .

P

E
D F

C

A

B

答案:证明:连结 AF 并延长交 BC 于 M .连结 PM ,

BF MF PE BF PE MF ? ? ? ,又由已知 ,∴ . FD FA EA FD EA FA 由平面几何知识可得 EF// PM ,又 EF ? PBC , PM ? 平面 PBC , ∴ EF// 平面 PBC .
∵ AD//BC ,∴
第 6 题. 如图,正方形 ABCD 的边长为 13 ,平面 ABCD 外一点 P 到正方形各顶点的距离 都是 13 , M , N 分别是 PA , DB 上的点,且 PM ∶MA ? BN∶ND ? 5∶8 . (1) 求证:直线 MN // 平面 PBC ; (2) 求线段 MN 的长.

P

M
D

C
N

E

A

B

(1) 答案:证明:连接 AN 并延长交 BC 于 E ,连接 PE ,

BN NE ? . ND AN BN PM NE PM ∵ ? ? ,∴ . ND MA AN MA ∴ MN //PE ,又 PE ? 平面 PBC , MN ? 平面 PBC , ∴ MN // 平面 PBC . ?; (2) 解:由 PB ? BC ? PC ? 13 ,得 ?PBC ? 60 BE BN 5 5 65 ? ? ,知 BE ? ? 13 ? 由 , AD ND 8 8 8 91 8 PE ? 7 . 由余弦定理可得 PE ? ,∴ MN ? 8 13 第 7 题. 如图,已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 为 PB 的中点, 求证: PD// 平面 MAC .
则由 AD//BC ,得

P

M

B A

C
D
答 案 : 证 明 : 连 接 AC 、 BD 交 点 为 O , 连 接 MO , 则 MO 为 △BDP 的 中 位 线 ,

∴ PD//MO . ∵ PD ? 平面 MAC , MO ? 平面 MAC ,∴ PD// 平面 MAC .
P

M

B
A

C

O
D

E F 分别是棱 BC ,C1D1 的中点,求证: 第 8 题. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, ,

EF // 平面 BB1D1D .

D1 A1

F

C1
B1

D

C
B

A

E

答案:证明:如图,取 D1 B1 的中点 O ,连接 OF , OB ,

1 1 ∵ OF 平行且等于 B1C1 , BE 平行且等于 B1C1 , 2 2 ∴ OF 平行且等于 BE ,则 OFEB 为平行四边形, ∴ EF // BO .
∵ EF ? 平面 BB1D1D , BO ? 平面 BB1D1D ,
∴ EF // 平面 BB1D1D .

D1 A1
O

F

C1
B1

D

C
B

A

E

第 9 题. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,试作出过 AC 且与直线 D 1 B 平行的截面,

并说明理由.

D1 A1 B1

C1

D

C
B

A

答案: 解: 如图, 连接 DB 交 AC 于点 O , 取 D1 D 的中点 M , 连接 MA ,MC , 则截面 MAC 即为所求作的截面.

D1 A1
M
D

C1
B1

C

A

O
B

∵ MO 为 △D1DB 的中位线,∴ D1B//MO .

∵ D1B ? 平面 MAC , MO ? 平面 MAC , ∴ D1B// 平面 MAC ,则截面 MAC 为过 AC 且与直线 D1B 平行的截面.
第 10 题. 设 a , b 是异面直线, a ? 平面 ? ,则过 b 与 ? 平行的平面( A.不存在 B.有 1 个 C.可能不存在也可能有 1 个 D.有 2 个以上 答案:C. 第 11 题. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,求证:平面 A 1 BD// 平面 CD 1B 1. )

D1 A1 B1

C1

C

答案:证明: ?

? ? B1B ∥ A1 A ? B1B ∥D1D ∥D D A A ? 1 ? 1

? 四边形 BB1D1D 是平行四边形
? D1 B1//DB ? ? ? DB ? 平面A1 BD ? D B ? 平面A BD 1 ? 1 1 ? D1 B1//平面A1 BD ? ? ?同理B1C //平面A1 BD ?D B ? B C ? B 1 1 ? 1 1

? 平面B1CD1//平面A1BD .
第 12 题. 如图, M 、 N 、 P 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB , BC , CD 上的点,且 AM ∶MB ? CN∶NB ? CP∶PD . 求证: (1) AC// 平面 MNP , BD// 平面 MNP ; (2)平面 MNP 与平面 ACD 的交线 //AC .

A

M

E

B

D

N
C
答案:证明: (1)

P

AM CN ? ? ? MN //AC ? MB NB ? AC ? 平面MNP ? ? AC //平面MNP . ? MN ? 平面MNP ? ? CN CP ? ? ? PN //BD ? NB PD ? BD ? 平面MNP ? BD//平面MNP . ? PN ? 平面MNP ? ?

(2)

设平面MNP ? 平面ACD ? PE ? ? AC ? 平面ACD ? ? PE //AC, ? AC //平面MNP ?
即平面MNP与平面ACD的交线//AC

第 16 题. 若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC ,BD 的长分别是 8, 12, 过 AB 的中点 E 且平行于 BD 、 AC 的截面四边形的周长为 . 答案:20. 第 17 题. 在空间四边形 ABCD 中, E , F , G , H 分别为 AB , BC , CD , DA 上的 一点, 且 EFGH 为菱形, 若 AC// 平面 EFGH ,BD// 平面 EFGH ,AC ? m ,BD ? n , 则 AE:BE ? . 答案: m∶n . 第 19 题. P 为 △ ABC 所在平面外一点,平面 ? // 平面 ABC , ? 交线段 PA , PB , PC 于 A'B'C' , PA'∶A'A ? 2∶3 ,则 S△AB ' 'C' ∶S△ABC ? 答案: 4∶25 .

第 20 题. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 是平行四边形,M ,N 分别是 AB ,PC 的中点. 求证: MN // 平面 PAD .

P

N

D

C

A

M

B

答案:证明:如图,取 CD 的中点 E ,连接 NE , ME

∵ M , N 分别是 AB , PC 的中点, ∴ NE//PD , ME//AD , 可证明 NE// 平面 PAD , ME// 平面 PAD . 又 NE ? ME ? E , ∴ 平面 MNE// 平面 PAD , 又 MN ? 平面 MNE ,∴ MN // 平面 PAD . P

N

D

E A

C

M

B

第 21 题. 已知平面 ? // 平面 ? , AB , CD 是夹在两平行平面间的两条线段, A , C 在 ? 内, B , C 在 ? 内,点 E , F 分别在 AB , CD 上,且 AE∶EB ? CF∶FD ? m∶n . 求证: EF // 平面 ? . 答案:证明:分 AB , CD 是异面、共面两种情况讨论. (1) 当 AB , CD 共面时,如图( a )

∵? //? ,∴ AC//BD ,连接 E , F .
∵ AE∶EB ? CF∶FD ,∴ EF //AC//BD 且 EF ? ? , AC ? ? ,∴ EF // 平面 ? .

A

C

?

E

F D ?
图( a )

B

A

C

?

G
E

F

H
B

D ?
图( b )

(2) 当 AB , CD 异面时,如图( b ) ,过点 A 作 AH //CD 交 ? 于点 H .
∶ n 在 H 上 取 点 G , 使 AG∶ GH ? m , 连 接 EF , 由 ( 1 ) 证 明 可 得 GF// HD , 又

AG∶ GH ? AE ∶ EB 得 EG//BH .∴ 平面 EFG// 平面 ? // 平面 ? .
又 EF ? 面 EFG ,∴ EF // 平面 ?

第 27 题. 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1, 求证:平面 AB1D1// 平面 C1BD .

D1 A1 B1

C1

D

C
B

A

答案:证明:因为 ABCD ? A 1B 1C1D 1 为正方体, 所以 D1C1//A 1B 1, D 1C1 ? A 1B 1. 又 AB//A 1B 1, 1B 1 , AB ? A 所以 D1C1//AB , D1C1 ? AB , 所以 D1C1BA 为平行四边形.

所以 D1 A//C1B .由直线与平面平行的判定定理得

D1 A// 平面 C1BD .
同理 D1 B1// 平面 C1BD ,又 D1 A ? D1B1 ? D1 , 所以,平面 AB1D1// 平面 C1BD .


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