-条件概率示范教案

2.2.1 条件概率(1)

教材分析
本节内容是数学选修 2-3 第二章 随机变量及其分布第二节 二项分布及其应用的起始课,是对概率知识 的拓展,为了导出二项分布需要条件概率和事件的独立性的概念,条件概率是比较难理解的概念,教材利 用“抽奖”这一典型案例,以无放回抽取奖券的方式,通过两个思考比较抽奖前和在第一名同学没有中奖 的条件下,最后一名同学的中奖概率,引出条件概率的概念,给出了两种计算条件概率的方法,给出了条 件概率的两个性质.本课题的重点是条件概率的概念,难点是件概率计算公式的应用.通过探究条件概率 的概念的由来过程,可以很好地培养归纳、推理,学生分析问题、解决问题的能力,要求学生有意识地运 用特殊与一般思想,在解决新问题的过程中,又要自觉的运用化归与转化思想,体现解决数学问题的一般 思路与方法.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解条件概率概念、性质及计算公式,并利用公式解决简单的概率 问题.

教学目标
重点: 条件概率的概念. 难点:条件概率计算公式的应用. 知识点:条件概率. 能力点:探寻条件概率的概念、公式的思路,归纳、推理、有特殊到一般的数学思想的运用. 教育点:经历由特殊到一般的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情. 自主探究点:如何理解条件概率的内涵. 考试点:求解决具体问题中的条件概率. 易错易混点:利用公式时 n( A) 易计算错. 拓展点:有放回.抽球时 P( B | A) 与 P ( B ) 的关系

教具准备 课堂模式

多媒体课件和三角板 学案导学

一、引入新课
在生活中我们有些问题不好解决时经常采用抽签的办法,抽签有先后,对每个人公平吗? 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小. 【师生活动】师:如果三张奖卷分别用 X1 , X 2 , Y 表示,其中 Y 表示那张中奖奖券,那么三名同学的抽 奖结果共有几种可能?能列举出来吗? 生:有六种可能: X1 X 2Y , X1YX 2 , X 2 X1Y , X 2YX1 , YX1 X 2 , YX 2 X1 . 师:用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 包含几个基本事件?
1

生:包含两个基本事件: X1 X 2Y , X 2 X1Y . 师:如何计算事件 B 的概率? 生:由古典概型计算公式可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 P( B) ? 师:每个同学抽到的概率一样吗? 生:每个同学抽到的概率一样,都是

1 3

1 3

请同学们思考下面问题 思考:如果已经知道第一名同学没抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少? 【师生活动】 师:因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券,所以可能出现的基本事件是什么? 生:可能出现的基本事件有 X1 X 2Y , X1YX 2 , X 2 X1Y , X 2YX1 , 师: “最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件是什么? 生: “最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件是 X1 X 2Y , X 2 X1Y , 师:由古典概率计算公式可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率是

2 1 ,即 . 4 2

若用 A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”则将“已知第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下,最 后一名同学抽到中奖奖券” 的概率记为 P( B | A) . 请同学们考虑:已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢? 在这个问题中,知道第一名同学没有抽到中奖奖券,等价于知道事件 A 一定会发生,导致可能出现的基本 事件必然在事件 A 中,从而影响事件 B 发生的概率,使得 P( B | A) ? P( B) 我们这节课就来研究在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率: P( B | A) 【设计意图】 通过学生身边的抽签问题引入两个事件的概率的求法,学生感到亲切,激发了学生主动探 究的学习兴趣.通过学生自己的计算发现不同,进而引出本节课的课题.

二、探究新知
对于刚才的问题请同学们回顾并思考: (1)求概率时均用了什么概率公式? (2)事件 A 的发生使得样本空间前后有何变化? (3)事件 A 的发生使得事件 B 有何变化 (4)对于上面的事件 A 和事件 B , P( B | A) 与它们的概率有什关系呢? 用 ? 表示三名同学可能抽取的结果全体,则它由六个基本事件组成, 即 ? ? {X1 X 2Y , X1YX 2 , X 2 X1Y , X 2YX1 , YX1 X 2 , YX 2 X1} 既然已知事件 A 必然发生,那么只需在 A ? {X1 X 2Y , X1YX 2 , X 2 X1Y , X 2YX1} 的范围内考虑问题,即 只有四个基本事件 X1 X 2Y , X1YX 2 , X 2 X1Y , X 2YX1 , 在事件 A 发生的情况下,事件 B 发生等价于事件 A

2

和事件 B 同时发生.而事件 AB 中含有 X1 X 2Y , X 2 X1Y 两个基本事件, 因此

P( B | A) ?

2 n( AB) , ? 4 n( A)

其中 n( A) 和 n( AB) 分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数.另一方面,根据古典概型的计算概 率的公式可知,

P( AB) ?

n( AB) n( A) , P( A) ? , n ( ?) n(?)

其中 n(?) 表示 ? 中包含的基本事件个数,所以

n( AB ) n( AB ) P ( AB ) n (? ) P ( B | A) ? ? ? n( A) n( A) P ( A) n (? )
因此,可以通过事件 A 和事件 AB 的概率来表示 P( B | A) . 条件概率定义 一般地,设 A , B 为两个事件,且 P( A) ? 0 ,称

P( B | A) ?

P( AB) P( A)

为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率, P( B | A) 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率. 条件概率性质: 1、 0 ? P( B | A) ? 1 . 2、如果 B 和 C 是两个互斥事件,则

P( B ? C | A) ? P( B | A) ? P(C | A) .
[设计意图] 给学生充分的思考,展示公式的发现过程, 通过学生计算发现共性,进而归纳出概念、公式, 培 养学生归纳、概括、提出数学问题的能力(一般性探究) .激发学生主动学习兴趣,体现学生的主体地位.

三、理解新知
(1)

P( B | A) ?

P( AB) P( A) n( AB) n( A)

(2). P( B | A) ?

(3) 条件概率的性质 [设计意图]梳理、回顾条件概率的定义、公式、性质,为下面例题的教学,作必要的准备.
3

四、运用新知
例 1 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题。如果不放回地依次抽取 2 道题,求: (1)第 1 次抽到理科题的概率; (2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率; (3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率。 解:设第 1 次抽到理科题为事件 A ,第 2 次抽到理科题为事件 B ,则第 1 次和第 2 次都抽到理科题为 事件 AB . (1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为
2 n(?) ? A5 ? 20 . 1 1 根据分步乘法计数原理, n( A) ? A3 ? A4 ? 12 .于是

P( A) ?

n( A) 12 3 ? ? . n(?) 20 5

2 (2)因为 n( AB) ? A3 ? 6 ,所以

P( AB) ?

n( AB) 6 3 ? ? . n(?) 20 10

(3)解法 1 :由( 1 ) ( 2 )可得,在“第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题”的概 率

3 P( AB) 10 1 P( B | A) ? ? ? . 3 2 P( A) 5
解法 2 :因为 n( AB) ? 6 ,

n( A) ? 12 ,所以

P( B | A) ?

P( AB) 6 1 ? ? P( A) 12 2

小结:条件概率的计算方法有两种: (1) :利用定义计算,先分别计算 P( AB), P( A) ,然后代入公式:

P( B | A) ?

P( AB) P( A)

(2) :利用缩小样本空间计算,即将原来的样本空间 ? 缩小为已知的事件 A ,原来的事件 B 缩小为 事件 AB ,利用古典概型计算概率:

P( B | A) ?

n( AB) n( A)

练习: P54 1 , 2 例 2 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可以从 0~9 中任选一个.某人在银行自动提款机上取 钱时,忘记了密码的最后一位数字.求:
4

(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率. (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率. 解:设第 i 次按对密码为事件 Ai (i ? 1, 2) ,则 A ? A ? ( A A2 ) 表示不超过 2 次就按对密码”. 1 1 (1)因为事件 A 与事件 A1 A2 互斥,由概率的加法公式得 1

P( A) ? P( A1 ) ? P( A1 A2 ) ?

1 9 ?1 1 ? ? . 10 10 ? 9 5

(2)用 B 表示最后一位按偶数的事件,则

1 4 ?1 2 ? . P( A | B) ? P( A1 | B) ? P( A1 A2 | B) ? ? 5 5? 4 5
注意:利用公式 P( B ? C | A) ? P( B | A) ? P(C | A) 可以使求有些条件概率较为简洁,但应注意公式的前 提: B 和 C 是两个互斥事件”. “ 练习.掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 6 点, 问“掷出点数之和不小于 10”的概率是多少? 小结:求条件概率的步骤: (1) 用字母表示有关的事件. (2) 求 P( AB) , P( A) 或 n( AB) , n( A) (3) 利用条件概率的公式求概率, P( B | A) ?

P( AB) n( AB) ? P( A) n( A)

[设计意图]通过两个例题的教学强化条件概率的概念及两种计算方法,体现了条件概率的性质在解题中的 应用,配以几道练习让学生不仅听得明白,还要会自己做!有利于学生全面而系统地掌握条件概率的相关 知识.

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答: 1.知识: (1)条件概率的定义 (2)条件概率的性质 (3)条件概率的计算方法 2.思想:类比、归纳、推理、数形结合的思想、由特殊到一般的思想. 教师总结:条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位, 这节课我们只是简单的介绍了条件概率的定 义、性质,常见的两种计算方法.同学们要注意体会、理解条件概率的深刻内涵,注意条件概率与事件的 概率的区别、联系. [设计意图] 让学生梳理每节课的知识方法,体现学生的主体地位,教会学生归纳、总结的学习方法.

六、布置作业
1.阅读教材 P51—53; 2.书面作业 必做题:1. P59 习题 2.2 A 组 2 2. 已知 100 件产品中有 4 件次品,无放回地从中抽取 2 次,每次抽取 1 件,求下列事件的概率: (1)两次都取到正品; (2) 第一次取到正品,第二次取到正品; (3)在第一次取到正品条件下,第二次取到正品 选做题:1. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次。
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(1)两次都是正面的概率是多少? (2)在已知第一次出现正面向上的条件下,两次都是正面向上的概率是多少? 2. 考虑恰有两个小孩的家庭,已知这个家庭有一个是男孩,问这时另一个小孩是女孩的概率是多少? (假定生男生女为等可能). 3.课外思考 条件概率与事件的概率有什么区别、联系? [设计意图]设计作业 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置,是为 了让学生能够运用条件概率的定义、性质,解决简单的概率问题;课外思考的安排,是让学生理解新旧知 识之间的联系,从而让学生深刻地体会到条件概率的内涵,培养学生用整体的观点看问题.

七、教后反思
1.本教案的亮点是新课引入,利用“抽奖”这一典型案例,以无放回抽取奖券的方式,通过两个思考比较 抽奖前和在第一名同学没有中奖的条件下,最后一名同学的中奖概率,引出条件概率的概念,易激发学生 的兴趣,易于接受条件概率的概念,较好的突破了教学中的难点 2.例题教学中两种方法较好的回归了条件概率的概念,学生接受的较好,但有些学生在计算 P ( A) 时易出 现错误.

八、板书设计
2.2.1 条件概率 1.条件概率定义: 例 1.

P( B | A) ?

P( AB) P( A)
例 2.

2.条件概率的性质 3.条件概率的求法 4.求条件概率的步骤

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