广东省汕头市2012-2013学年高二下学期期末教学质量监测数学文试题 Word版含答案

绝密★启用前

试卷类型:A

汕头市2012~2013学年度普通高中教学质量监测
高二文科数学

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效.
4.作答选做题时.请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、 多涂的,答案无效.
5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

参考公式:

锥体的体积 V ? 1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.
3 球体的体积 V ? 4 ?R3 ,表面积 S ? 4?R2 .
3

如果事件A、B互斥,那么 P? A ? B? ? P? A? ? P?B? .

? ? ?
?

n

n

(xi ? x )( yi ? y)

xi yi ? nxy

? 回归直线方程式

?y

?

b? x

?

a? ,

其中

??b? ? ? ? ??a?

? ?

i ?1
y?

n
( xi
i ?1
b?x

?

x )2

? .? i

?1 n

xi2 ? nx 2

i ?1

第一卷 选择题
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在给出的四个选项中,只有一项 是符合要求的.
? ? 1.已知P= ? 2,0,1 ,Q=?x| ?1 ? x ? 1? ,则P Q=( )

? ? A. ? 2,0,1

B. ?0,1?

2.i是虚数单位,复数 1 ? 3i =( )
1?i

A.2+i

B.2-i

C. ? C.-1+2i

D.?0?
D.-1-2i

3.已知命题 p : ?x ? 0 , 2x ? 3 ,则(

)

A. ?p : ?x ? 0 , 2x ? 3

B. ?p : ?x ? 0 , 2x ? 3

C. ?p : ?x ? 0 , 2x ? 3

D. ?p : ?x ? 0 , 2x ? 3

4. x <0时,函数 y =4 x + 1 (

)

x

2

A.有最小值﹣4

B.有最大值﹣4

C.有最小值4

D.有最大值4

3

5.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得几何体的表面积是( )

A.22 ?

B.12 ?

2 主视图

2 左视图

C.4? +24

D.4? +32

6.若 m,n 是两条不同的直线,?,?,? 是三个不同的平面,
则下列命题中的真.命.题.是( )

俯视图

A.若 m ? ?,? ? ? ,则 m ? ? B.若 m ? ? , m∥? ,则? ? ?

C.若? ? ? ,? ⊥ ? ,则 ? ? ? D.若? ? ? m , ? ? ? n , m∥n ,则? ∥?

7.已知等比数列?an? 中, a1 ? 1,且 4a2 , 2a3, a4 成等差数列,则 a2 ? a3 ? a4 等于( )

A.1

B.4

C.14

D.15

8.已知函数 y ? 3x 的一些函数值的近似值如右表,则

方程 3x ? 3x ? 8 ? 0 的实数解 x0 属于区间(

)

A.(0.5,1) B.(1,1.25) C.(1.25,1.5) D.(1.5,2)

9.下面的程序框图输出的S值是(

)

A.2013

B. ? 1 2

C. 2 3

D.3

10.函数 f (x) ? 3sin(2x ? ?) 的图象为 C ,
3

①图象 C 关于直线 x ? 11 ? 对称;
12

②函数 f (x) 在区间(- ? , 5? )内是增函数;
12 12

③由 y ? 3sin 2x 的图象向右平移 ? 个单位长度.
3

可以得到图象 C .以上三个命题中,真.命.题.的个数是(

开始 S=3,k=0

k<2013?
是 S? 1
1? S


输出 S

k=k+1 )

结束 (第9题图)

A.0

B.1

C.2

D.3

第二卷 非选择题

二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分

11.已知向量 a =(1,2), b =(x,4),且 a ? b ,则x=



12.已知双曲线

x2 a2

?

y2 2

? 1 的一个焦点坐标为 (?

3, 0) ,则其渐近线方程为



13.若曲线 f (x) ? x ? sin x ?1在 x ? ? 处的切线与直线 ax ? 2 y ?1 ? 0 互相垂直,则实数
2

a 等于



选做题 在下列两道题中任选一道作答,若作答两道,则按作答前一道计分.

14.(坐标系与参数方程选做题)过点 (2, ? ) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为



3

C

15.(几何证明选讲选做题)如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD

和割线 ABC ,已知 AD ? 4 2, AC ? 8 ,圆心 O 到直线 AC 的

B

O

距离为 5 ,则圆 O 的面积为



A

D

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

在 ?ABC 中,内角A,B,C的对边分别是 a, b, c , cos(C ? ?) ? cos(C ? ?) ? 2 .

4

42

(1)求角C的大小;

(2)若 c ? 2 3, a ? 2b ,求边 a, b 的长.

17.(本小题满分12分) 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他
们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数,得 到如下资料:

日期

3月1日

3月2日

3月3日

3月4日

3月5日

温差 x (℃)

10

11

13

12

9

发芽数 y (颗)

23

25

30

26

16

(1)从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为m,n,求事件“m,n均小于26”

的概率; (2)请根据3月1日至3月5日的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程.

(参考数据:

?
x

?

1

(10

?

11

?

13

?

12

?

9)

?

11



?
y

?

1

(23

?

25

?

30

?

26

?

16)

?

24

)

5

5

18.(本小题满分 14 分)

A1

C1

如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱为2,底面是边长

为2的等边三角形, D, E 分别是线段 BC, B1C1 的中点.

(1)证明: A1E // 平面 AC1D ;

A

(2)证明:平面 AC1D ? 平面 BCC1B1 ;

(3)求三棱锥 B ? AC1D 的体积.

E B1
C D B

19.(本小题满分14分)

数列?an? 的前 n

项和为 Sn

, a1

?

2 , Sn

?

1 2

an?1

?1

(n ?

N*)



(1)求 a2 , a3 ;
(2)求数列?an? 的通项 an ; (3)求数列?nan?的前 n 项和Tn .

20.(本小题满分14分)

? y?0

已知可行域

? ?

x

?

y

?

? ?

x

?

y?

2 ? 0 的外接圆 C1 与 x 轴交于点 A1 、 A2 ,椭圆 C2 以线段 A1 A2 为长
2 ?0

轴,离心率e= 2 . 2

(1)求圆 C1 及椭圆 C2 的方程;

(2)设椭圆 C2 的右焦点为 F ,点 P 为圆 C1 上异于 A1 、 A2 的动点,过原点 O 作直线 PF 的

垂线交直线x=2于点 Q ,判断直线 PQ 与圆 C1 的位置关系,并给出证明.

21.(本小题满分14分)
已知函数f(x)= mx (m,n?R)在x=1处取得极值2.
x2 ? n
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意的x1?R,总存在x2? ??1,1? ,使得g(x2) ? f(x1),求

实数 a 的取值范围.

汕头市2012~2013学年度普通高中教学质量监测

高二文科数学
非选择题答题纸
注意事项:1. 第二部分答题纸共6页,用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案直接写在答题纸上. 2.答题前将密封线内的项目填写清楚,并在答题纸右上角填上座位号.

题 号 11~15

16

17

18

19

20

21

总分

得分

以下为非选择题答题区,必须用黑色字迹的签字笔或钢笔在指定的区域内作答,否则答案无效 在 14,15 两道题中任选一道作答,若作答两道,则按作答前一道计分。

二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20 分

11._______________________; 12._______________________; 13.____________________;14. _____________________;15.___________________. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)

17.(本小题满分12分)

18.(本小题满分14分)

A1

C1

E B1

A

C

D

B

19.(本小题满分14分)

20.(本小题满分14分)

21.(本小题满分14分)

汕头市 2012-2013 学年高中二年级质量检测试题答案
数学(文科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 B

B

B

B

D

B

C

C

D

C

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

11. ? 8

.12. y ? ? 2x .13. 2 .

14. ? s i n? ? 3

. 15.

9? .

7.选 C.解析: 4a3 ? 4a2 ? a4 ,可化为 q 2 ? 4q ? 4 ? 0 ,即 q ? 2 。

8. 选 C.解析:令 f (x) ? 3x ? 3x ? 8 ,则有 f (0.5) ? 0, f (1.25) ? 0, f (1.5) ? 0, f (2) ? 0

10.选 C.解析:①②正确,③应为 f (x) ? 3sin(2x ? 2? ) 3
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)

16.解:



1



?cos(C ? ? ) ? cos(C ? ? ) ? cosC cos? ? sin C sin ? ? cosC cos? ? sin C sin ? … … 2

4

4

4

4

4

4



(1 个公式 1 分) ? 2 cosC ………3 分
?cosC ? 1 ……………4 分 2
?C ? (0,? ) ,………5 分?C ? ? ……………6 分 3
( 2 ) 由 余 弦 定 理 得 , c2 ? a2 ? b2 ? 2abc o?s , … … … 8 分 即 3
a2 ? b2 ? ab ? 12 ,……………9 分

代入 a ? 2b 得,3b2 ? 12, ……10 分,b ? 2 ,……11 分,因此 a ? 4 ……………12 分
17.解:(1)

(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),

(25,30),(25,26),(25,16), 用数对 (m, n) 表示基本事件:
(30,26),(30,16),

……2 分基本事件总数为

(26,16)

10 ……3 分
记 “m,n 均小于 26”为事件 A,事件 A 包含的基本事件:

(23,25),(23,16),(25,16)

………………4 分

事件 A 包含的基本事件数为 3 ,…………5 分,所以 P( A) ? 3 10

………………6 分

(2)

b

?

(?1) ?

(?1)

? 0?1? 2? 6 ?1? 2 ? 12 ? 02 ? 22 ?12 ? 22

(?2) ? (?8)

?

3.1,……………10



(分子写对 1 分,分母写对 1 分,结果 2 分)

?

?

…………9 分 a ? y? b x ? 24 ? 3.1?11 ? ?10.1……………11 分

^

因此,回归直线方程为 y ? 3.1x ?10.1……………12 分

A1

18.(1)证明:连接 ED,则 ED // BB1 // AA1 ,且 ED ? BB1 ? AA1 …1 分

∴四边形 ADEA1 是平行四边形,…2 分, A1E // AD …3 分

∵ AD ? 平面 AC1D , A1E ? 平面 AC1D ………4 分

∴ A1E // 平面 AC1D ………5 分

A

(2)证明:∵ ?ABC是等边三角形

∴ AD ? BC …6 分

∵ CC1 ? 平面 ABC, AD ? 平面 ABC

∴ CC1 ? AD …7 分

∵ BC ? CC1 ? C …8 分

∴ AD ? 平面 BCC1B1 …9 分

∵ AD ? 平面 AC1D

∴平面 AC1D ? 平面 BCC1B1 ………10 分

(3)解: BD ?1,三棱锥 B ? AC1D 的体积

VB? AC1D ? VC1? ABD ……11 分

C E B1
D B

?

1 3

?

1 2

BD?

AD

?

CC1

…12



? 1 ? 1 ?1? 3 ? 2 …13 分 32

? 3 …14 分 3

19.解:(1) n

? 1, S1

?

1 2

a2

?1 ?

a1

?

a2

?

6 ;……………1 分

n

?

2, S2

?

1 2

a3

?1 ?

a1

?

a2

?

a3

? 18……………2



(2) n

?

2, Sn

?

1 2

an?1

?1, Sn?1

?

1 2

an

? 1 ,…3



相减得

an

?

Sn

? Sn?1

?

1 2 an?1

?

1 2

an

,…4

分,即

a n ?1

? 3an ……………5 分

对于 a2 ? 3a1 也满足上式……………6 分

?数列{an } 是首项为 2,公比为 3 的等比数列,…7 分 an ? 2 ? 3n?1 (n ? N * ) .……….8

(3) nan ? 2n ? 3n?1

Tn ? 2 ?1 ? 4 ? 3 ? 6 ? 32 ? 8 ? 33 ? ... ? 2n ? 3n?1 ……………9 分

3Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? 6 ? 33 ? 8 ? 34 ? ... ? 2n ? 3n ……………10 分

相减得, ? 2Tn ? 2(1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ... ? 3n?1 ) ? 2n ? 3n …11 分

? 2 ? 1? 3n ? 2n ? 3n ………12 分 1?3

? 3n ?1? 2n ?3n …13 分

? Tn

?

(2n ?1) ? 3n 2

? 1 ……………14 分

20.解:(1)由题意可知,可行域是以 A1 (? 2,0), A2 ( 2,0)及点M(0, 2)为顶点的三角
形…1 分
因为 k A1M ? k A2M ? ?1, 所以A1M ? A2 M ……2 分
∴ ?A1 A2 M 为直角三角形

∴外接圆 C1 是以原点 O 为圆心,线段 A1 A2 = 2 2 为直径的圆……3 分 故其方程为 x 2 ? y 2 ? 2 ……………4 分

设椭圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 a2 b2

∵ 2a ? 2 2 ∴ a ? 2 ……5 分

又 e ? 2 ∴ c ? 1,可得 b ? 1 2

故椭圆 C2 的方程为

x2 2

?

y2

? 1………………6



(2)设 P(x0 , y0 )(x0 ? ? 2),则y02 ? 2 ? x02 当 x0 ? 1 时, P(1,1)或P(1,-1),此时 Q(2,0)ks5u

若 P(1,1)时,kOP

? 1, kPQ

?

1? 0 1? 2

?

?1

kOP ? k PQ ? ?1 ∴ OP ? PQ ……7 分



P(1,?1)时,kOP

?

?1, kPQ

?

?1? 0 1? 2

?1

kOP ? k PQ ? ?1

∴ OP ? PQ ……8



即当 x0 ? 1 时, OP ? PQ ,直线 PQ 与圆 C1 相切

当 x0

? 1时,k PF

?

y0 x0 ?1



kOQ

?

?

x0 ?1 ……9 y0



所以直线 OQ 的方程为,y ? ? x0 ? 1 x ,因此点 Q 的坐标为(2, ,? 2x0 ? 2 ) …10 分

y0

y0

∵ kPQ

?

?

2x0 ? 2 ? y0 2 ? x0

y0

?

2x0 ? 2 ? y02 y0 (x0 ? 2)

?

x0 (2 ? x0 ) y0 (2 ? x0 )

??

x0 y0

……………………11 分

证法一:

∴当 x0 ? 0时,kPQ ? 0 , OP ? PQ ……12 分

∴当 x0

? 0时,kOP

?

y0 x0





kOP ? k PQ ? ?1

OP ? PQ……13 分

证法二:直线 PQ 的方程为:y

?

y0

?

?

x0 y0

(x

?

x0 ) ,即

x0 x ?

y0 y ? (x02

?

y02 )

?

0 ……12



圆心 O 到直线 PQ 的距离 d ? | x02 ? y02 | ? x02 ? y02

x02 ? y02 ?

2 ……13 分

综上,当 x0 ? ? 2 时, OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 C1 相切……………………14 分

21. 解:(1) f ?(x) ? m(n ? x2 ) ,依题意有:……………1 分 (x2 ? n)2
f ?(1) ? m(n ?1) ? 0, ……2 分 f (1) ? m ? 2 ,……………3 分 1? n
解得 m ? 4, n ? 1;……4 分 f (x) ? 4x ……………5 分 x2 ?1
(2)要使得对于任意的 x1 ? R ,总存在 x2 ?[?1,1], 使得 g(x2 ) ? f (x1) ,

只需 gmin (x) ? f min (x) ……………6 分

f

?( x)

?

4(1? x)(1? (x2 ?1)2

x)

?

0

,得到

x

?

?1 ……7

分,列表

x

(??,?1)

?1

f ' (x)

-

0

(?1,1)

1

+

0

(1,??)
-

f (x)



极小值 ? 2



极大值 2




∵ x ? 0时, f (x) ? 0 ……9 分

……8

∴ fmin (x) ? f (?1) ? ?2 ,……………10 分故只需 gmin (x) ? ?2 g(x) 的图像开口向上,对称轴为 x ? a

当 a ? ?1时, gmin (x) ? g(?1) ? 1 ? 3a ? ?2 ,得 a ? ?1;……………11 分 当 ?1 ? a ? 1 时 , gm i (n x) ? g(a) ? a ? a 2 ? ?2 , 得 a ? ?1 或 a ? 2 , 不 符 题
意;……………12 分
当 a ? 1时, gmin (x) ? g(1) ? 1 ? a ? ?2 ,得 a ? 3。……………13 分

综上, a 的取值范围是 a ? ?1或 a ? 3……………14 分


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