广东省高州市第三中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题


2012—2013 学年度第一学期

高一数学期中测试试题
(满分 150 分,时间 120 分钟)

一、填空题(共 10 小题,每小题 5 分) 1、下列表示的关系中:① 3
2 7
2

? Q ;② {2} ? { x | x ? 2} ;③ ? 10 ? { x | x ? 3 k ? 1, k ? Z } ;

④ 2 ? R ;⑤ ? ? { x | x ? 1 ? 0} ,其中错误的个数为: .. A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

2、已知全集 U=R,则正确表示集合 M={0,2}和 N={x 3 x ? 6 ? 0 关系的韦恩(Venn)图 是:

3、已知函数 f ( x ) ? 3 x ? 5 x ? 2 ,则 f ( ? 2 ) 的值为:
2

A、 8 ? 5 2

B、0
| x | ? 2 ;② f ( x ) ?

C、 8 ? 5 2
x ? 2 ;③ f ( x ) ?

D、4
x?2 x?2

4、下列函数:① f ( x ) ?
2



④ f ( x ) ? x ? 2 x ,定义域相同的是: .. A、①② B、②③ C、③① D、④①

5、关于函数的单调性,下列说法正确的是: .. A、 f ( x ) ? x ? 1 是增函数;
2

B、 f ( x ) ? x ? 1 在 ( ? ? , ? 5) 上是减函数;
2

C、 f ( x ) ?

1 x
2

在 R 上是减函数;

D、 f ( x ) ? x ? 1 在 ( ? 5, ? ? ) 上是增函数. 6、下列运算结果中,正确的是: .. A、 a ? a ? a
2 3 6

B、 ( ? a ) ? ( ? a )
2 3 3

2

4

C、

a ?a ? a
3

a
D、

2

5

2

a ?

? a6
3

a

2

7、下列各题中两数的大小关系成立的是: .. A、 lo g 3 3 .4 ? lo g 3 8 .5 C、 lo g 0 .3 1 .8 ? lo g 0 .3 2 .7 8、若函数 y ? f ( x ) 是函数 且 f (2) ? 1 ,则 f ( x ) ?
1 2
x

B、 ? D、 0 .9 9
x

? 0 .7

??

? 0 .9

2 .7

? 0 .9 9

3 .5

y ? a ( a ? 0, 且 a ? 1) 的反函数,

A、 lo g 2 x

B、

C、 lo g

1 2

x

D、 2

x

9、函数 A、

f (x) ?
3 ? x ?1

lo g 1 ( 4 x ? 3)
2

的定义域是: B、
3 4 ? x ?1 3 4
2

4 3 C、 ( ,1] 4

D、 { x ? R |

? x ? 1}

10、已知函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? x ;当 x ? 0 , f ( x ) 等于 A、 ? x (1 ? x ) B、 x (1 ? x ) C、 ? x (1 ? x ) D、 x (1 ? x )

二、填空题(5 小题,每小题 6 分,共 30 分,把答案填在题中横线上. ) 11、已知 A ? { x | 3 ? x ? 7} , B ? { x ? N | x ? 10} , C ? { x | x ? 5} 则 A ? B ? __________________________________________________; CR

A?C ?

_________________________________________________.
2

12、若 f ( x ) ? x ? c ,且 f (1) ? 8 ,则 f ( ? 1) ? _____________.

(6 m ) ? m4
5

1

13、(1)

m ?

3

m ?

4

m

? __________________;

(2) lo g 4 (3) lg

8 ? __________________________;
2 ? lg
2

5 ? lo g 3 1 ? ___________.

14、 R 上 f ( x ) ? ? x ? 2 x ? 3, x ? ( ? 2,1) ,则函数 f ( x ) 的最小值是: 在 _________; 最大值是:__________.

15、若 f ( x ) ?
2

e ?e
x

?x

2

, g (x) ?
2

e ?e
x

?x

2

,那么

[ g ( x )] ? [ f ( x )] ? _____________________________________
三、解答题: (本大题共 8 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 .............. ) 16、计算题: (每小题 2 分,共 8 分) (1)
2

(? a ) (a ? 0)
2

(2) lo g 5 2 5

(3) 2 3 ?

3

1 .5 ? 1 2
6

(4) lg

1 4

? lg 2 5

17、比较下列两数大小(每小题 3 分,共 6 分) (1)

0 .6

lo g 2 3

, 0 .6

lo g 2 5

(2)

lo g a a , a ( a ? 0, 且 a ? 1)
2

18、已知函数 f ( x ) ?

x?6 x?2

, (共 8 分)

(1)点(3,14)在 f ( x ) 的图象上吗?(2 分)

(2)当 x ? 1 4 时,求 f ( x ) 的值; 分) (3

(3)当 f ( x ) =3 时,求 x 的值(3 分)

19、根据下图说出函数的单调区间,以及在每一区间上函数的单调性.(10 分)

20、 分)已知幂函数 y ? f ( x ) 的图象过点 ( 2, ) ,求出此函数的解析式,并判断并证明 (8
2
f ( x ) 的奇偶性。

1

21、 分)已知 f ( x ) ? lg (8

1? x 1? x

, a , b ? ( ? 1,1) ,求证:
a?b 1 ? ab )

f ( a ) ? f (b ) ? f (

22、 (10 分) “学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的学习时间.假设“学习曲线” 符合函数

t ? 5 lo g 2 (

N B

)( A , B 为 常 数 )

N (单位:字)表示某一英文词汇量水平, t (单位:天)表示达到这一英文词汇量所需
要的学习时间. (1)已知某人练习达到 40 个词汇量时需要 10 天,求该人的学习曲线解析式(4 分)

(2)如果他学习几天能掌握 160 个词汇量?(3 分)

(3)如果他学习时间大于 30 天,他的词汇量情况如何?(3 分)

23、 (12 分)已知函数

f ( x) ? 2

ax ? bx ? c

2

(1)已知函数 f ( x ) 经过(0,8)(-1,1)(1,16)三点,求 f ( x ) 的解析式 , , (4 分)

(2)求函数 f ( x ) 的定义域和值域(4 分)

(3)确定函数的单调区间. (4 分)

2012—2013 学年度第一学期高一数学期中测试试题答案 一、每小题 5 分 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 B 6 D 7 A 8 A 9 C 10 B

二、每小题 6 分 11、{3,4,5,6,7,8,9};{x|x<5 或 x ? 7} (每空 3 分) (每空 3 分) 12、8 15、1

3
13、1;

2



1 2

(每空 2 分)

14、0;4

三、解答题 16、每小题 2 分 (1)解:原式=|-a|=a (2)解:原式= log 5 5 =2
2

1 1 3 1 1 1 1 1 1 2 2 ? 3 2 ? ( ) 3 ? (3 ? 2 ) 6 = 2 1 ? 3 ? 3 ? 3 2 ? 3 ? 6 = 2 ? 3 = 6 (3)解:原式= 2

(4)解:原式= lg 2 17、每小题 5 分

?2

? lg 5 = ? 2 ? lg 2 ? 2 ? lg 5 = ? 2 ? (lg 2 ? lg 5) = ? 2
2

? y ? lo g 2 x (0, ? ? ) (1)解: 在 为增函数
又? 3 ? 5
x

? log 2 3 ? log 2 5

? y ? 0.6 又 在 R 为减函数
lo g a a ? 1 a ? 0 且 a ? 1 (2)解:? ,

? 0 .6

lo g 2 3

? 0 .6

lo g 2 5

2 ? lo g a a ? a ①当 a ? 1 时, a ? 1

2

2 ? lo g a a ? a ②当 0 ? a ? 1 时, a ? 1

2

3?6 3 ? f (3) ? ? ? ? 14 2?3 5 18、解(1)
? (3,14)
不在函数 f ( x ) 的图象上 (2 分)

f (1 4 ) ?
(2)

14 ? 6 14 ? 2

?

8 16

?

1 2
(5 分)

f (x) ?
(3)当
x?6

x?6 x?2

?3
时,

解x?2

?3

得 x ? ?6

(8 分) (2 分) (4 分) (6 分) (8 分) (10 分)
a

19、解: ( ? ? , ? 0 .7 ] 上为增函数

( ? 0.7, 0] 上为减函数 (0,1.1] 上为增函数 (1.1, 2] 上为减函数 (2, ? ? ) 上为增函数
20、解:设 f ( x ) ? x 将 ( 2,
a

1 2

) 代入得 2 ?

1 2

(2 分)

解方程得: a ? ? 1

? f (x) ? x

?1

?

1 x

(4 分) (5 分)

定义域为 { x | x ? 0}

? f (? x) ?

1 ?x

? ?

1 x

? ? f (x)
(8 分)

? f ( x ) 为奇函数
21、证明:

f ( a ) ? f ( b ) ? lg

1? a 1? a

? lg

1? b 1? b

? lg (

1? a 1? b ? ) 1? a 1? b

? lg

1 ? a ? b ? ab 1 ? a ? b ? ab

f(

a?b 1 ? ab

1? ) ? lg ( 1?

a?b 1 ? a b ) ? lg 1 ? a ? b ? a b a?b 1 ? a ? b ? ab 1 ? ab

?左边 ? 右边
原等式成立.

22、解: (1)

t ? 10, N ? 40

t ? 5 lo g 2 (
代入

N B

)
得:

1 0 ? 5 lo g 2 (
解得:B=10

40 B

)

? t ? 5 lo g 2 (
(2)当 N=160 时

N 10

)

? t ? 5 lo g 2 (
(3)当 t>30 时

160 10

) ? 5 lo g 2 1 6 ? 2 0

5 lo g 2 (

N 10

) ? 30

解得 N>640 答: (略) 23、解: (1)将(0,8)(-1,1)(1,16)三点代入 , , 得:

f ( x) ? 2

ax ? bx ? c

2

? 8 ? 2c c ? lo g 2 8 ? 3 ? ? a?b?c ? ?1 6 ? 2 ? a ? b ? c ? lo g 2 1 6 ? 4 ? 1 ? 2 a?b?c ? a ? b ? c ? lo g 1 ? 0 2 ? 即: ?
?a ? ?1 ? ? b ? 2 ? c ?3 解方程组得: ?

? f ( x) ? 2

? x ?2 x?3

2

(2)对于 f ( x ) ? 2 以 f ( x) ? 2
2

? x ?2 x?3

2

,对于任意 x ? R 都有意义,所

? x ?2 x?3

2

的定义域为 R
u

设 u ? ? x ? 2 x ? 3 ,则 f ( x ) ? 2

当 x ? R 时,由二次函数性质知 u ? ( ?? , 4] 所以 f ( x ) ? 2 , u ? ( ?? , 4]
u

根据 f ( x ) ? 2 为指函数性质可知:
u

f ( x )? ? ? (
u

, 1 6 ]

(3)由(2)知:设 u ? ? x ? 2 x ? 3 ,则 f ( x ) ? 2 , u ? ( ?? , 4]
2

①当 x ? ( ? ? ,1] 时,随 x 增大, u 增大, 从指数函数性质知: u 增大, f ( x ) ? 2 也增大, 随 所以 f ( x ) ? 2
u

? x ?2 x?3

2

在 ( ?? ,1] 上为增函数; ②当 x ? [1, ? ? ) 时,随 x 增大, u 减小, 从指数函数性质知: u 减小, f ( x ) ? 2 也减小, 随 所以 f ( x ) ? 2
u

? x ?2 x?3

2

在 ( ?? ,1] 上为减函数.

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