上海市16区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:函数

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上海市各区县 2017 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编

函数
一、填空、选择题 1、(宝山区 2017 届高三上学期期末) 若点 (8, 4) 在函数 f ( x) ? 1 ? loga x 图像上,则 f ( x) 的反函 数为

? ?log 2 x, x ? 0 2、(崇明县 2017 届高三第一次模拟)设函数 f ( x) ? ? x ,则 f ( f (?1)) ? ? ?4 , x ≤ 0



3、(虹口区 2017 届高三一模)定义 f ( x) ? ?x? (其中 ? x? 表示不小于 x 的最小整数)为“取上

整函数” , 例如 ?2.1? ? 3 , 以下关于 “取上整函数” 性质的描述, 正确的是 ( ?4? ? 4 .
① f (2 x) ? 2 f ( x) ; ②若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 ? 1 ;

) .

③任意 x1, x2 ? R , f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;④ f ( x ) ? f ( x ? ) ? f (2 x ) .

1 2

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ②④

4 、 ( 黄 浦 区 2017 届 高 三 上 学 期 期 终 调 研 ) 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , .若函数 y ? g ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数,则 g (?3) ? f ( x) ? l o g x? 1) 2 ( .

5、 (静安区 2017 届向三上学期期质量检测) 已知 y ? g ( x) 与 y ? h( x) 都是定义在 (??,0) ? (0,??)

? x 2 , 0 ? x ? 1, , h( x) ? k log2 x ( x ? 0 ) , 若 ? g ( x ? 1), x ? 1. y ? g ( x) ? h( x) 恰有 4 个零点,则正实数 k 的取值范围是 【 】 1 1 A. [ ,1] ; B. ( ,1] ; 2 2 1 1 C. ( , log 3 2] ; D. [ , log 3 2] . 2 2
上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , g ( x) ? ? 6、(闵行区 2017 届高三上学期质量调研)函数 f ? x ? ?

x ? 1 的反函数是_____________.
*

7、(浦东新区 2017 届高三上学期教学质量检测)已知定义在 N 上的单调递增函数 y ? f ? x ? ,对 于 任 意 的

n? N* , 都 有

f ? n? ? N * , 且

f? ? f

n3 ?? ?

恒n 成 立 , 则

f ? 2017? ? f ?1999? ? ____________.
8 、(普陀区 2017 届高三上学期质量调研)函数 f ( x) ? 1 ? log2 x ( x ? 1 )的反函数

f ?1 ( x) ?

.

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9、(青浦区 2017 届高三上学期期末质量调研)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若 P 处 有一棵树与两墙的距离分别是 4 m 和 am (0 ? a ? 12) ,不考虑树的粗细.现用 16m 长的篱笆,借助 墙角围成一个矩形花圃 ABCD .设此矩形花圃的最大面积为 u ,若将这棵树围在矩形花圃内,则函 数 u ? f (a) (单位 m )的图像大致是????????(
2

).

A.

B.

C.

D.

10、(松江区 2017 届高三上学期期末质量监控)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 的图像经过 (1,1) 点,则

f ?1 (3) ?


x ? x?0 ?2 , 的值域为 ? ??,1? , 2 ? x ? m , x ? 0 ? ?

11、(徐汇区 2017 届高三上学期学习能力诊断)若函数 f ( x) ? ? 则实数 m 的取值范围是____________

12、 (杨浦区 2017 届高三上学期期末等级考质量调研)若函数 f ( x) ? log 2

x?a 的反函数的图像过点 x ?1

(?2, 3) ,则 a ? ________.
13、(长宁、嘉定区 2017 届高三上学期期末质量调研)若函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ? a 的反函数的 图像经过点 (4 , 1) ,则实数 a ? __________. 14、(崇明县2017届高三第一次模拟)下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? tan x B. y ? 3 x C. y ? x 3
1

D. y ? lg x
?1

15、(浦东新区 2017 届高三上学期教学质量检测)已知函数 y ? f ? x ? 的反函数为 y ? f 函数 y ? f ? ?x ? 与 y ? ? f
?1

? x? ,则

? x ? 的图像(

).

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A.关于 y 轴对称 C.关于直线 x ? y ? 0 对称

B.关于原点对称 D.关于直线 x ? y ? 0 对称
2

16、(普陀区 2017 届高三上学期质量调研)设 m?R,若函数 f ( x) ? ?m ? 1?x 3 ? mx ? 1 是偶函数, 则 f ( x) 的单调递增区间是 .

17 、(普陀区 2017 届高三上学期质量调研)方程 log2 9x ? 5 ? 2 ? log2 3x ? 2 的解

?

?

?

?

x?

.

18、 (普陀区 2017 届高三上学期质量调研) 已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,
2 且 ? 1 ? x ? 1 时 , f ( x) ? 1 ? x ; 函 数 g ( x ) ? ?

?lg x , x ? 0, ?1, x ? 0.

, 若 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) , 则

x ? ?? 5,10? ,函数 F ( x) 零点的个数是

.

19、(奉贤区 2017 届高三上学期期末)方程 lg( x ? 3) ? lg x ? 1 的解 x ? ____________ 20、(金山区 2017 届高三上学期期末)函数 f ( x) ? 2 x ? m 的反函数为 y ? f ?1 ( x) ,且 y ? f ?1 ( x) 的图像过点 Q(5, 2) ,那么 m ?

二、解答题 1、(崇明县 2017 届高三第一次模拟)设 f ( x ) ? (1)当 a ? b ? 1 时,证明: f ( x) 不是奇函数; (2)若 f ( x) 是奇函数,求 a 与 b 的值; (3)当 f ( x) 是奇函数时,研究是否存在这样的实数集的子集 D,对任何属于 D 的 x 、c, 都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立?若存在试找出所有这样的 D;若不存在,请说明理由.
?2 x ? a ( a , b 为实常数). 2 x ?1 ? b

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2、(虹口区 2017 届高三一模)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4 x ? c 的值域为 ?0, (1)判断此函数的奇偶性,并说明理由; (2)判断此函数在

??? .

?2 ? , ?? ? 的单调性,并用单调性的定义证明你的结论; ? ?a ?

(3)求出 f ( x) 在 [1,

??) 上的最小值 g (a) ,并求 g (a) 的值域.

3、(黄浦区 2017 届高三上学期期终调研)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的全体:在定义域 内存在实数 t ,使得 f (t ? 2) ? f (t ) ? f (2) . (1)判断 f ( x) ? 3x ? 2 是否属于集合 M ,并说明理由; (2)若 f ( x) ? lg

a 属于集合 M ,求实数 a 的取值范围; x ?2
2

(3)若 f ( x) ? 2 x ? bx 2 ,求证:对任意实数 b ,都有 f ( x) ? M .

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4、(静安区 2017 届向三上学期期质量检测)设集合 M a ? { f ( x) | 存在正实数 a ,使得定义域内任 意 x 都有 f ( x ? a) ? f ( x)}. (1) 若 f ( x) ? 2 x ? x 2 ,试判断 f ( x) 是否为 M 1 中的元素,并说明理由;

1 x ? 3 ,且 g ( x) ? M a ,求 a 的取值范围; 4 k (3) 若 h( x) ? log 3 ( x ? ), x ? [1,?? ) ( k ? R ),且 h( x) ? M 2 ,求 h( x) 的最小值. x
(2) 若 g ( x) ? x ?
3

5、(普陀区 2017 届高三上学期质量调研)已知 a ? R,函数 f ( x) ? a ? (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 2 x ;

1 |x|

(2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 2 x ? 0 在区间 ?? 2,?1? 上有解,求实数 a 的取值范围.

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6、(青浦区 2017 届高三上学期期末质量调研)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax(a ? 0) . (1)当 a ? 2 时,解关于 x 的不等式 ?3 ? f ( x) ? 5 ; (2)对于给定的正数 a ,有一个最大的正数 M (a) ,使得在整个区间 [0, M (a)] 上,不等式 | f ( x) |? 5 恒成立. 求出 M (a) 的解析式; (3)函数 y ? f ( x) 在 [t, t ? 2] 的最大值为 0 ,最小值是 ?4 ,求实数 a 和 t 的值.

7、(松江区 2017 届高三上学期期末质量监控)已知函数 f ( x) ?

a ? 2x ? 1 (a 为实数 ) . 2x ? 1

(1)根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)若对任意的 x ? 1 ,都有 1 ? f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围.

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8、(徐汇区 2017 届高三上学期学习能力诊断)某创业团队拟生产 A、B 两种产品,根据市场预测, A 产品的利润与投资额成正比(如图 1),B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图 2). (注: 利润与投资额的单位均为万元) (1)分别将 A、B 两种产品的利润 f ( x ) 、 g ( x) 表示为投资额 x 的函数; (2)该团队已筹集到 10 万元资金,并打算全部投入 A、B 两种产品的生产,问:当 B 产品的投资 额为多少万元时,生产 A、B 两种产品能获得最大利润,最大利润为多少?

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参考答案:
一、填空、选择题 1、解析:1+ loga 8 =4, loga 8 =3,化为指数: a =8,所以,a=2
3

y ? 1 ? log2 x ,即: x ? 2 y ?1 ,所以反函数为 y ? 2x?1
2、-2 6、 f
?1

3、C

4、-7

5、C

? x ? ? ? x ? 1?

2

( x ? 1)

7、54

8、 【解析】∵x≥1,∴y=1+ log 2 x ≥1, 由 y=1+ log 2 x ,解得 x=2
﹣1

y﹣1



故 f (x)=2 (x≥1) . x﹣1 故答案为:2 (x≥1) . 9、B 10、2 11、 0 ? m ? 1 12、 a ? 2

x﹣1

13、 【解析】函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ? a 的反函数的图象经过点(4,1) , 即函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ? a 的图象经过点(1,4) , ∴4=log2(1+1)+a ∴4=1+a, a=3. 故答案为:3. 14、C 15、D 16、 【解析】由题意:函数 f ( x) ? ?m ? 1?x 3 ? mx ? 1 是偶函数, 则 mx=0,故得 m=0, 那么:f(x)= x 3 +1, 根据幂函数的性质可知: 函数 f(x)的单点增区间为(0,+∞) . 故答案为: (0,+∞) . 17、 【解析】由题意可知:方程 log2(9 ﹣5)=2+log2(3 ﹣2) x x 化为:log2(9 ﹣5)=log24(3 ﹣2) x x 即 9 ﹣5=4×3 ﹣8 解得 x=0 或 x=1; x=0 时方程无意义,所以方程的解为 x=1. 故答案为 1. 18、 【解析】定义域为 R 的函数 y=f(x) 满足 f(x+2)=f(x) , 可得 f(x)的周期为 2,
x x
2

2

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F(x)=f(x)﹣g(x) , 则令 F(x)=0,即 f(x)=g(x) , 分别作出 y=f(x)和 y=g(x)的图象, 观察图象在[﹣5,10]的交点个数为 14. x=0 时,函数值均为 1,则函数 F(x)零点的个数是 15. 故答案为:15.

19、5

20、1

二、解答题

? 2 ?1 1 ? ? , f (?1) ? 1、解:(1)证明: f (1) ? 2 5 2 ?1

?

1 ?1 1 2 ? ,所以 f (?1) ? ? f (1) ,所 2 4

以 f ( x) 不是奇函数............................3 分 (2) f ( x) 是奇函数时, f (? x) ? ? f ( x) , 即
? 2?x ? a ? 2x ? a ? ? 对定义域内任意实数 x 都成立 2 ? x ?1 ? b 2 x ?1 ? b

即 (2a ? b) ? 2 2 x ? (2ab ? 4) ? 2 x ? (2a ? b) ? 0 , 对 定 义 域 内 任 意 实 数 x 都 成 立...........................................5 分

?2a ? b ? 0, ?a ? ?1 ?a ? 1 所以 ? 所以 ? 或? . ?2ab ? 4 ? 0 ?b ? ?2 ?b ? 2
经检验都符合题意........................................8 分

?a ? 1 ? 2x ?1 1 1 f ( x ) ? ?? ? x (2)当 ? 时, , x ?1 2 2 ?1 2 ?2 ?b ? 2
因为 2 x ? 0 ,所以 2 x ? 1 ? 1 , 0 ? 所以 ?
1 ? 1, 2 ?1
x

1 1 ? f ( x) ? .......................................10 分 2 2

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3 3 3 而 c 2 ? 3c ? 3 ? (c ? ) 2 ? ? 对任何实数 c 成立; 2 4 4

所以可取 D = R 对任何 x 、c 属于 D ,都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立........12 分

?a ? ?1 ? 2x ?1 1 1 ?? ? (x ? 0) , 当? 时, f ( x) ? x ?1 2 1? 2x 2 ?2 ?b ? ?2
所以当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ;当 x ? 0 时, f ( x) ?
1 2 1 .............14 分 2

1)因此取 D ? (0,??) ,对任何 x 、c 属于 D ,都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立. 2 ) 当 c ? 0 时 , c 2 ? 3c ? 3 ? 3 , 解 不 等 式 ?
1 1 5 ? ?3 得: x ? log .所以取 2 x 2 1? 2 7

5 D ? (?? , l o g ] ,对任何属于 D 的 x 、c,都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立.....16 分 2 7 4ac ? 16 2 ? 0 ,解得 2、解:(1)由二次函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? c 的值域为 ?0, ??? ,得 a ? 0 且 4a
ac ? 4 .????????2 分
从而 f ( ?1) ? f (1) , f ( ?1) ? ? f (1) , ? f (1) ? a ? c ? 4 , f ( ?1) ? a ? c ? 4 ,a ? 0 且 c ? 0 ,

?此函数是非奇非偶函数.????????6 分
(2)函数的单调递增区间是

2 ?2 ? , ?? ? .设 x1 、 x2 是满足 x2 ? x1 ? 的任意两个数,从而有 ? a ?a ?

x2 ?

2 2 2 2 2 2 ? x1 ? ? 0 ,? ( x2 ? ) 2 ? ( x1 ? ) 2 .又 a ? 0 ,? a ( x2 ? ) 2 ? a ( x1 ? ) 2 , a a a a a a 2 2 4 2 4 ) ? c ? ? a ( x1 ? ) 2 ? c ? , a a a a

从而 a ( x2 ?

2 即 ax2 ? 4 x2 ? c ? ax12 ? 4 x1 ? c ,从而 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,

?2 ? ?函数在 ? , ?? ? 上是单调递增.????????10 分 ?a ?
2 (3) f ( x) ? ax ? 4 x ? c ,又 a ? 0 , x0 ?

2 , x ??1, ??? a

2 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,最小值 g (a) ? f ( x0 ) ? 0 a 2 4 当 x0 ? ? 1 ,即 a ? 2 时,最小值 g (a ) ? f (1) ? a ? c ? 4 ? a ? ? 4 a a
当 x0 ?

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0 0?a?2 ? ? 综上,最小值 g (a) ? ? ????????14 分 4 a? ?4 a?2 ? a ?
当 0 ? a ? 2 时,最小值 g (a) ? 0 当 a ? 2 时,最小值 g (a ) ? a ?

4 ? 4 ? (0, ??) a

综上 y ? g (a) 的值域为 [0, ??) ????????16 分 3、解:(1)当 f ( x) ? 3x ? 2 时,方程 f (t ? 2) ? f (t ) ? f (2) ? 3t ? 8 ? 3t ? 10 ??2 分 此方程无解,所以不存在实数 t ,使得 f (t ? 2) ? f (t ) ? f (2) , 故 f ( x) ? 3x ? 2 不属于集合 M . ???????????4 分

a (2)由 f ( x) ? lg 2 属于集合 M ,可得 x ?2 a a a ? lg 2 ? lg 有实解 方程 lg 2 ( x ? 2) ? 2 x ?2 6
? a[( x ? 2)2 ? 2] ? 6( x2 ? 2) 有实解 ? (a ? 6) x2 ? 4ax ? 6(a ? 2) ? 0 有实解,???7 分
若 a ? 6 时,上述方程有实解; 若 a ? 6 时,有 ? ? 16a2 ? 24(a ? 6)(a ? 2) ? 0 ,解得 12 ? 6 3 ? a ? 12 ? 6 3 , 故所求 a 的取值范围是 [12 ? 6 3, 12 ? 6 3] . ???????????10 分 (3)当 f ( x) ? 2 x ? bx 2 时,方程 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ?

2x +2 ? b( x ? 2)2 ? 2x ? bx2 ? 4 ? 4b ? 3 ? 2 x ? 4bx ? 4 ? 0 ,
令 g ( x) ? 3 ? 2x ? 4bx ? 4 ,则 g ( x) 在 R 上的图像是连续的,

??????12 分

当 b ? 0 时, g (0) ? ?1 ? 0 , g (1) ? 2 ? 4b ? 0 ,故 g ( x) 在 (0,1) 内至少有一个零点;

1 1 当 b ? 0 时, g (0) ? ?1 ? 0 , g ( ) ? 3 ? 2 b ? 0 ,故 g ( x) 在 ( ,0) 内至少有一个零点; b b
故对任意的实数 b , g ( x) 在 R 上都有零点,即方程 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) 总有解, 所以对任意实数 b ,都有 f ( x) ? M . 4、解:(1)∵ f (1) ? f (0) ? 1 , ∴ f ( x) ? M 1 .
3 3 (2)由 g ( x ? a) ? g ( x) ? ( x ? a) ? x ? ( x ? a) ?

1

?????????16 分 ……………………………4 分

1 4

1 1 x ? 3ax 2 ? 3a 2 x ? a 3 ? a ? 0 …2 分 4 4
……………………………3 分 ……………………………1 分

∴ ? ? 9a ? 12 a(a ?
4 3

1 a) ? 0 , 4

故 a ?1. (3)由 h( x ? 2) ? h( x) ? log 3 [( x ? 2) ?

k k ] ? log 3 ( x ? ) ? 0 , ………………1 分 x?2 x k k ] ? log 3 ( x ? ) 即: log 3 [( x ? 2) ? x?2 x

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∴ x?2? ∴ ?

k k ? x ? ? 0 对任意 x ?[1,??) 都成立 x?2 x
2

? k ? x ( x ? 2) ?k ? ? x

?k ? 3 ?? ? ?1 ? k ? 3 ? k ? ?1

……………………………3 分

当 ? 1 ? k ? 0 时, h( x) min ? h(1) ? log3 (1 ? k ) ; 当 0 ? k ? 1 时, h( x) min ? h(1) ? log3 (1 ? k ) ; 当 1 ? k ? 3 时, h( x) min ? h( k ) ? log3 (2 k ) . 综上: h( x) min ? ?

……………………………1 分 ……………………………1 分 ……………………………1 分 ……………………………1 分

?log3 (1 ? k ), ? 1 ? k ? 1, ? ? ?log3 (2 k ), 1 ? k ? 3.

5、【解】(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? ①若 x ? 0 ,则(*)变为,

1 1 ? 2 x ……(*) ,所以 f ( x) ? 2 x ? 1 ? |x| |x|

(2 x ? 1)( x ? 1) 1 ? 0 ? ? ? x ? 0 或 x ? 1 ,所以 x ? 1 ; x 2

2x2 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 0 ,所以 x ? ? ②若 x ? 0 ,则(*)变为, x
由①②可得,(*)的解集为 ?1,??? 。 (2) f ( x) ? 2 x ? 0 ? a ? 令 g ( x) = 2 x ?

1 1 ? 2 x ? 0 ,即 a ? 2 x ? 其中 x ? ?? 2,?1? x |x|

1 ,其中 x ? ?? 2,?1? ,对于任意的 x1 、 x 2 ? ?? 2,?1?且 x1 ? x2 x
? ? 1? ? 1 ? ?x1 ? x2 ??2 x1 x2 ? 1? ? ?? 2 x2 ? ? ? ? ? x1 ? ? x2 ? x1 x2 ?

则 g ? x1 ? ? g ( x2 ) ? ? ? 2 x1 ?

由于 ? 2 ? x1 ? x2 ? ?1,所以 x1 ? x2 ? 0 , x1x2 ? 0 ,1 ? x1x2 ? 4 ,所以 2 x1 x2 ? 1 ? 0 所以 数 所以 ?

?x1 ? x2 ??2 x1x2 ? 1? ? 0 ,故 g ?x ? ? g ( x ) ,所以函数 g ( x) 在区间 ?? 2,?1? 上是增函
x1 x2
1 2

9 ? 9 ? ? 9 ? ? g ?? 2? ? g ( x) ? g ?? 1? ? ?3 ,即 g ( x) ? ?? ,?3? ,故 a ? ?? ,?3? 2 ? 2 ? ? 2 ?

6、解:(1) a ? 2 时, ?3 ? f ( x) ? 5 ?

4 x ? 5 ? 0?① ?xx ? ? 4 x ? 3 ? 0?②
2 2

由①得, ?1 ? x ? 5 ,由②得, x ? 1 或 x ? 3 ,∴不等式的解集为 (?1 , 1) ? (3, 5) ;

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(2) f ( x) ? ( x ? a)2 ? a 2 (t ? x ? t ? 2) ,显然 f (0) ? f (2a) ? 0 ①若 t ? 0 ,则 a ? t ? 1 ,且 [ f ( x)]min ? f (a) ? ?4 ,或 [ f ( x)]min ? f (2) ? ?4 , 当 f (a) ? ?a 2 ? ?4 时, a ? ?2 , a ? ?2 不合题意,舍去 当 f (2) ? 22 ? 2a ? 2 ? ?4 时, a ? 2 , ②若 t ? 2 ? 2a ,则 a ? t ? 1 ,且 [ f ( x)]min ? f (a) ? ?4 ,或 [ f ( x)]min ? f (2a ? 2) ? ?4 , 当 f (a) ? ?a 2 ? ?4 时, a ? ?2 ,若 a ? 2 , t ? 2 ,符合题意; 若 a ? ?2 ,则与题设矛盾,不合题意,舍去 当 f (2a ? 2) ? (2a ? 2)2 ? 2a(2a ? 2) ? ?4 时, a ? 2 , t ? 2 综上所述,

?ta??02 ?ta??22


符合题意.

(2)∵ a ? 0 ,当 ? a 2 ? ?5 ,即 a ? 5 时, M (a) ? a ? a2 ? 5 当 ?5 ? ?a 2 ? 0 ,即 0 ? a ? 5 时, M (a) ? a ? a2 ? 5 ∴ M ( a) ? ?

?a ? a 2 ? 5 2 ?a ? a ? 5

a? 5 0?a ? 5

7、解:(1)函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,且 f (? x) ?

a ? 2? x ? 1 a ? 2 x ? ……………2 分 2? x ? 1 1 ? 2x ①若 y ? f ( x) 是偶函数,则对任意的 x 都有 f ( x) ? f ( ?x) ,
x a ? 2x ? 1 a ? 2 ? 即 即 2x (a ? 1) ? a ? 1 ∴ a ? ?1 ……………3 分 x x 2 ?1 1 ? 2 ②若 y ? f ( x) 是奇函数,则对任意的 x 都有 f ( x) ? ? f (? x) ,

x a ? 2x ? 1 a? 2 ? ? 即 2x (a ?1) ? 1 ? a ∴a ?1 ……………4 分 2x ? 1 1 ? x2 ∴当 a ? ?1 时, f ( x ) 为偶函数,当 a ? 1 时, f ( x ) 为奇函数, 当 a ? ?1 时, f ( x ) 既非偶函数也非奇函数 ……………6 分 2 x x ? a ?1 (2)由 f ( x ) ? 1 可得 2 ? 1? a ? 2 ? 1 即 ……………8 分 2x 2 ∵当 x ? 1 时, y1 ? x 单调递减,其最大值为 1 ∴ a ? 2 ……………10 分 2 4 x ? x2? 3 即 a ? 3 ? x 同理,由 f ( x) ? 3 可得 a ? 2 ? 1? 3 2 4 ∵当 x ? 1 时, y1 ? x 单调递减,且无限趋近于 0,∴ a ? 3 ……………13 分 2 ∴2 ? a ? 3 ………………………14 分 1 8、解:(1) f ( x ) ? x ( x ? 0) .??3 分, 4 5 g ( x) ? x ( x ? 0) .???6 分 4



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(2)设 B 产品的投资额为 x 万元,则 A 产品的投资额为( 10 ? x )万元, 创业团队获得的利润为 y 万元,

5 1 x ? (10 ? x)(0 ? x ? 10) .???10 分 4 4 1 2 5 5 1 5 2 65 (0 ? t ? 10) , 令 x ? t , y ? ? t ? t ? 0 ? t ? 10 ,即 y ? ? (t ? ) ? 4 4 2 4 2 16 5 当 t ? ,即 x ? 6.25 时, y 取得最大值 4.0625 ???13 分 2
则 y ? g ( x) ? f (10 ? x) ?

?

?

答:当 B 产品的投资额为 6.25 万元时,创业团队获得的最大利润为 4.0625 万元.??14 分


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