习题课重积分的计算与应用_图文

习题课 重积分的 计算 及应用
一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用

第十章

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一、重积分计算的基本方法 — 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序

积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法 图示法
列不等式法 P182 练习

(从内到外: 面、线、点)
2 (3) ; 7 ; 8 (1), (3)
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解答提示: P180 2 (3). 计算二重积分 其中D 为圆周
提示: 利用极坐标 所围成的闭区域.

0 ? r ? R cos ? D: π ?π ? ? ? 2 2

y O

r ? R cos ?

D

Rx

原式

2 3 ? ? R ? 2 (1 ? sin 3 ? ) d? 0 3
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P183 7. 把积分
其中? 由曲面

化为三次积分,
及平面

所围成的闭区域 .
提示: 积分域为

?:
1
1
x2 ? y2 0

O

1

原式 ? ? d x ? d y
?1
x2

? f ( x , y , z )d z
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P181 8 (1) .计算积分

其中? 是两个球
D2z
D1 z

( R > 0 )的公共部分.
提示: 由于被积函数缺 x , y ,

z

R

R 2

利用“先二后一” 计算方便 . 原式 =

x

O

y

?

??

?

R 2 d xd y ? d xd y z d z R D1 z D2 z 0 2 R R 2 2 2 2 z 2 ? π (2 R z ? z 2 ) d z ? z ? π (R ? z ) dz R 0 2 59 5 2 z 2 dz

R

??

?

??

?

480

πR

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P181 8 (3).计算三重积分
xOy平面上曲线

其中? 是由

绕 x 轴旋转而成的曲面与平面

所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标
1 r2 2

x?x y ? r cos ? z ? r sin ?

z O
x
5 y

? x?5 ? : 0 ? r ? 10 0 ?? ? 2π
原式 ? ?
2π 0

d?

?0

10 3

250 r dr ?r 2 d x ? π 3 2
5
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二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或质心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 4. 利用扩展积分域进行计算 *5. 利用重积分换元公式 练习题 P180 1, 4, 8 (2), 11 答案提示: (见下页)
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分块积分法 利用对称性

1(1). 设



确定 , 所确定 , 则



x2 ? y2 ? z 2 ? R2 , x ? 0 , y ? 0, z ? 0

C

上半球

( B)

???? ????

1

y dv ? 4 ???

?2

y dv

第一卦 限部分

z R

( D)

1

x yz dv ? 4 ???

?2

x yz dv

提示: 利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 ,

?1 ? 2 O x

y

右边为正 ,

显然不对 , 故选 ( C )
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1(2). D ? {( x, y ) ? a ? x ? a, x ? y ? a}, D ? {( x, y ) 1 0 ? x ? a, x ? y ? a}, 则

?? D( x y ? cos x sin y ) dx d y ?
( A) 2?? cos x sin y d x d y
D1

A
D1

( B) 2??

x y dx d y

(C ) 4?? ( x y ? cos x sin y ) d x d y
D1

提示: 如图 , D ? D1 ? D2 ? D3 ? D4 由对称性知

y a D2 D1 DD 3 ? a D4 O a x




上是关于 y 的奇函数

上是关于 x 的偶函数
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P181 4. 证明:

?0 d y ?

a

y m( a ? x ) e 0

f ( x)d x ? ? (a ? x) e
0

a

m( a ? x )

f ( x)d x

提示: 左端积分区域如图,
交换积分顺序即可证得.
2 2 2

y a

D y?x

x O z ln( x ? y ? z ? 1) P181 8(2). 求 ???? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 d v, 其中? 是 由球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 所围成的闭区域 .
提示: 被积函数在对称域 ? 上关于 z 为奇函数 , 利用

对称性可知原式为 0.
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11. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 , 问接上去的均匀矩形薄片 的另一边长度应为多少? 提示: 建立坐标系如图. 由已知可知 y ? 0 , 即有

0 ? ?? yd x d y ? ?
D

R

?R

d x?

R2 ? x2

?b

yd y

2 3 ? R ? R b2 3 2 由此解得 b ? R 3

y
b??
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y ? R2 ? x2

R O D
?b
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R x

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例1. 计算二重积分 I ? ?? ( x ? x ye
2 D

x2 ? y2

) d xd y , 其中:

(1) D为圆域

(2) D由直线
解: (1) 利用对称性.

围成 .
x2 ? y2

I ? ?? x d x d y ? ?? x y e
2 D
D

d xd y

1 2 2 ? ?? ( x ? y ) d xd y ? 0 2 D 1 3 π 1 2π ? ? d? ? r d r ? 0 4 2 0
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y

D
O

1x

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I ? ?? ( x ? x ye
2 D

x2 ? y2

) d xd y

(2) 积分域如图: 添加辅助线 y ? ? x, 将D 分为 D1 , D2 , 利用对称性 , 得

? ?? x y e
D1

x2 ? y2

d xd y

y y?x D O 2 1x D1 ?1 y ? ?x

? ??
1 2 ?1

D2

xye

x2 ? y2

dxd y

? ? x d x? d y ? 0 ? 0
?1

x

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例2. 计算二重积分
线
D D

其中D 是由曲
所围成的平面域 .

解: I ? 5?? x d xd y ? 3?? y d xd y
积分区域 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 32

其形心坐标为: x ? ?1 , y ? 2
面积为:

? 5? x A ? 3? y A
? [5 ? (?1) ? 3 ? 2] A ? 9 π

形心坐标 1 x ? ?? x d xd y A D 1 y ? ?? y d xd y A D
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例3. 计算二重积分

(1) I ? ?? sgn( y ? x 2 )d xd y, D : ? 1 ? x ? 1, 0 ? y ? 1; D
(2) I ? ?? ( x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 2) d xd y, 其中D 为圆域
D

在第一象限部分.

解: (1) 作辅助线 y ? x 把D 分成

2

D1 , D2 两部分, 则
I ? ?? d xd y ? ??
D1
1 1 ?1 x

1 D1 ?1

y

D2

d xd y
x2 0

O D2

1 x

? ? d x ? 2 d y ? ? d x?
?1

1

2 dy ? 3
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(2) 提示:

I ? ?? ( x ? y ? 2 xy ? 2) d xd y
2 2 D

y 1 O

作辅助线 y ? x 将D 分成

D1 D2

y?x

D1 , D2 两部分
? 2??
D2

1 x

( x ? y )d xd y ? 2?? d xd y
D

2 π ? ? ? ( 2 ? 1) ? 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
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例4. 求抛物线

3 解:如图所示 D ? D2 \ D1 , 1 O D1 D 2 D A ? ?? d ? ? ?? d ? ?2 D2 D1 ?4 1 12 ? y 2? y 3 ? ? dy ? 2 d x ? ? dy ? 2 d x
?4
y
?2

所围区域 D 的面积A . y

y2 ? x

x

y

2 ? ?? ? ? 52 ?? y y 3 ?4 ?2 注: 计算 ?? f ( x, y ) d ? 时, 若 f ( x, y ) 可扩展到 D1
12 y ? 1 2
2 3 ?1 y 3

3

2y ? 1 2

2

3 ?1 y 3

1

D

上可积 , 则也可利用上述方法简化计算.
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y 例5. 交换积分顺序计算 I ? ?0 d x ?0 e d y ? ?1 d x ?0 e d y y

1

x

3

3? x 2

解. 积分域如图.

I ? ?? e y d x d y ? ?? e y d x d y
D1
1

D2

? ? d y?
0

3? 2 y y

y
e dx
y
y

y?x
O

D1

? 3? (1 ? y) e d y
0

1

1

D2

1 y ? (3 ? x) 2

3 x

? 3 ( e? 2 )
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三、重积分的应用
1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 2. 物理方面 质量, 质心, 3. 其它方面 证明某些结论等

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例7.

证明

证:左端 ? ? f ( x) dx ? f ( y ) d y
a a

b

b

? ?? f ( x) f ( y ) dxd y
D

2 2 ?1 [ f ( x ) ? f ( y )] dxd y 2 ?? D
2 f = ?? D ( x) dxd y ?

?a ? x ? b D:? ?a ? y ? b

利用 2uv ? u 2 ? v 2

? (b ? a) ? f 2 ( x) dx = 右端 a
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b

例8. 设函数 f (x) 连续且恒大于零,

???? (t ) F (t ) ? 2 2 f ( x ? y ) d? ??D(t ) 2 2 f ( x ? y ) d? ?? D(t )
G (t ) ?

f (x2 ? y2 ? z 2 ) d v

z

D(t )

其中

? (t ) ? {( x, y, z ) x 2 ? y 2 ? z 2 ? t 2 },
D(t ) ? {( x, y ) x ? y ? t }.
2 2 2

??t

t

f (x2 ) d x

x

O t y ? (t )

(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性; 2 (2003考研) (2) 证明 t > 0 时, F (t ) ? G (t ) . π
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解: (1) 因为

F (t ) ?

?0



d ? ? sin ? d ? ? f (r )r d r

π

t

2

2

?0

0 2π

0

d ? ? f (r 2 )r d r
0

t

?

2? f (r 2 )r 2 d r

t

?0

0 t

f (r 2 )r d r

两边对 t 求导, 得

F ?(t ) ? 2

t f (t ) ? f (r )r (t ? r ) d r
2 2 0

t

? ?0 f (r 2 )r d r ?2

t

? f (x) 恒大于零, ? 在 (0,??) 上 F ?(t ) ? 0,

故 F (t ) 在 (0,??) 上 单调增加 .
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(2) 问题转化为证

G (t ) ?
t

?0
2



d ? ? f (r )r d r
2 0 t 2 0

t

2? f (r ) d r
2 t 2 t

?

? ? f (r 2 )r d r

t

?0 f (r
t 2

0 t

2

)dr
2

即证 g (t ) ??0 f (r )r d r ?0 f (r ) d r ? ? ?0 f (r )r d r ? ? 0

2 2 ? g (t ) ? f (t ) ? f (r )(t ? r ) d r ? 0 2 0

故 g (t ) 在 (0, ? ?) 单调增 , 又因 g (t ) 在 t ? 0 连续, 故有 g (t ) ? g (0) ? 0 (t ? 0) 2 因此 t > 0 时, F (t ) ? G (t ) ? 0 . π
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例9. 试计算椭球体

的体积 V.

解法1 利用“先二后一”计 算.
c

V ? ??? d x d y d z ? 2 ? d z ??
?
c

4 ? ? π ab(1 ? 2 ) d z ? π abc 0 3 c

z

2

0

Dz

d xd y

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作业
P155 *21, P174 P182 *22(1) 4 , 9 , 11 12 , 13

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