2016届安徽师范大学附属中学高三最后一卷数学(理)试题_图文

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合

,则





A. D. 2. 已知复数 A. 3. 面 A. ,直线

B.

C.

,则
B. , B. 与 ,且 斜交



) C. D. ( ) D.位

,则 与 C.

置关系不确定
4. 已知命题

函数

的图象恒过定点 的图象关于直线
B.

; 命题

函数

为偶


函数,则函数
A. D. 5. 已知数列 中,

对称,则下列命题为真命题的是(
C.

利用如图所示的程序框图计算该数列的第


项,则判断框中应填的语句是(

A. D.

B.

C.

6. 如图是一个多面体三视图, 它们都是斜边长为

的等腰

, 则这个多面体最长一

条棱长为(



A. D. 7. 设

B.

C.

,其正态分布密度曲线如图所示,且

,那么向 )

正方形

中随机投掷

( 个点, 则落入阴影部分的点的个数的估计值为

附:( 随机变量 服从正态分布

,则



A. 8. 已知

B.

C.

D.

为函数 最小值=(
) B.

图象上的一个动点,

为函数

图象上一个动

点,则
A. 9. 已知 A. C.

C. ,则 B. D.

D. )

大小关系为(

10. 设

是椭圆

上一点,

是其左,右顶点,

,则离心率





A.

B.

C.

D.

11. 定义

设 实 数

满 足 约 束 条 件 :



,则
A. C. 12. 已 知 函 数

的取值范围为(
B. D.



是 定 义 域 为

的 偶 函 数 ,当

时,

,若关于

的方程



有且仅有 个不同实数根,则实数
A.

的取值范围是(
B.



C.

D.

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 命题“ 14. ” 的否定是 . .

展开式中

的系数为

15. 如图,半径为 的扇形的圆心角为

分别为半径


的中点,

为弧

上任意一点,

则的取值范围是

16. 已知数列

满足 ,不等式

数列 恒成立,则

满足 的值为


,存在

,使得对

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分)在 中,内角 所对的边分别为

,
(1)求角 (2)设函数

. 的大小; ,且 图像上相邻两最高点间的

距离为

,求

的取值范围.

18. (本小题满分12分)2014 年12 月初,南京查获了一批问题牛肉,滁州市食药监局

经民众举报获知某地 个储存牛肉的冷库有个冷库牛肉被病毒感染,需要通过对库存牛 肉抽样化验病毒 来确定感染牛肉, 以免民众食用有损身体健康.下面是两种化验方

案:方案甲:逐个化验样品,直到能确定感染冷库为止.方案乙:将样品分为两组,每 组三个,并将它们混合在一起化验,若存在病毒 ,则表明感染牛肉在这三个样品当 ,则在另外一组样

中,然后逐个化验,直到确定感染冷库为止;若结果不含病毒 品中逐个进行化验.
(1)求依据方案乙所需化验恰好为 次的概率. (2)首次化验化验费为

元,第二次化验化验费为

元,第三次及其以后每次化验费

都是 元,列出方案甲所需化验费用的分布列,并估计用方案甲平均需要化验费多少 元? (3)试比较两种方案,估计哪种方案有利于尽快查找到感染冷库.说明理由.
19. (本小题满分 12 分)已知四棱锥

中,

平面

,底面



边长为 的菱形,

.
(1)求证:平面 (2)设 与

平面
交于点 为

; 中点,若二面角 的正切值为 ,



的值.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆的焦点坐标是

,过点

垂直与长轴

的直线交椭圆与

两点, 且

.

(1)求椭圆的方程; (2)过

的直线与椭圆交与不同的两点

,则

的内切圆面积是否存在最

大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
21. (本小题满分 12 分)定义 在

上 的 函 数

满 足

,

.

(1)求函数 (2)求函数

的解析式; 的单调区间; 满足 ,那么称 比更靠近 .当 ,并说明理由. 且 时,试比较

(3) 如果 和

哪个更靠近

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,四边形
(1)证明:

内接于 是 的切线;



的直径

于点

平分

.

(2)如果

,求

.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知在直角坐标平面内,以坐标原点 点 的极坐标是 ,曲线

为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,

的极坐标方程为 的直角坐标方程; 交于 两点,求

.

(1)求点

的直角坐标和曲线 的直线与曲线

(2)若经过点

的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 ,且 ,求证: .

安徽师范大学附属中学 2016 届高三最后一卷数学(理) 试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5.CBDDD 6-10.BBBDD 11-12.BC

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 16. 三、解答题 14. 15.

(2)

,由已知

,则

,因为

,所以

,整理得

,因为

,所以

,所以



.②

,



的取值范围是

.

18. 解: (1)方案乙所需化验恰好为 次的事件有两种情况:第一种,先化验一组,结

果不含病毒

,再从另一组中任取一个样品进行化验,则恰含有病毒的概率为 ,第二种, 先化验一组,结果含病毒 ,再从中逐个化验,恰第一个样

品含有病毒的概率为

.

所以依据方案乙所需化验恰好为 次的概率为 (2)设方案甲化验的次数为 ,则 可能的取值为

.
,对应的化验费用为 元,则 , ,

. 则其化验费用 的分布列为

所以 所以甲方案平均需要化验费 元.

(元).

(3) 由(2) 知方案甲平均化验的次数为 设方案乙化验的次数为 ,则 可能的取值为 ,所以 .则

.

,所以

,所以方案乙化验的次数的期望值较小,可以尽快查找到感染冷库. 19. 解: (1) 因为

平面 ,从而平面
交 于

, 所以 平面
,连 ,因为

, 又 . 平面

为菱形, 所以



所以
(2)过

平面


,可以推出 ,

, 所以 且



的平面角, 又

,

,
所以 ,即 .

20. 解: (1)设椭圆的方程是

,由焦点的坐标得:

,由

,可得
(2)设

,解得
,不妨设

,故椭圆的方程是
,设

. 的内切圆半径是 ,因此 ,则

的周长是 最大,

, .

最大, 就

由题知,直线的斜率不为 ,可设直线的方程为

,由

得,

, 解得

,



,令

,则

,

=

,

设 所以, 的面积最大值是
21. 解: (1)

在 因为 ,故直线方程为 时,

上单调递增, 所以 此时所求内切圆 .

内切圆面积最大值是
,令 解得



,令 .







所以,

(2)因为

,所以

=



①当

时,总有

,函数



上单调递增;②当

时,由 得函数 在 上单调递增,由 得函数 在

上单调递减; 综上,当 时,总有 上单调递增, (3)设 当 时 当 ,函数 在 在 上单调递增;当 时, 在

上单调递减. , 时, 所以 在 得 而 上递增, ①当 , 时, 在 在 上递减,所以



在 在

上递增,

上递减, ,所以 时, ,所以 , 时, 比 更靠近
则 所以 是 的切线. ,所以 ,即 ,则 ,所以 所以 所以, 因为



更靠近 ,

②当

递减, 更靠近 综上所述,当 且



22. 解: (1)连接 又 所以

(2)由(1) 知可得

,从而

,所以

.由切割线定理,得

, 所以

.

23. 解: (1)点

的直角坐标是 ,

,

,即

化简得曲线

的直角坐标方程是

. ,代入 ,得

(2)设直线的倾斜角是

,则的参数方程变形为

,设其两根为 则 ,当

, 时, 取得最小值 .

24. 解: 证明:显然

是方程
由 得 ,同理可得 ,

的两个实根,
.


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