走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学12-3


基础巩固强化 一、选择题 1.(2012· 安徽“江南十校”联考)已知集合 M={x||2x-1|<2},N x-2 ={x| <1},则 M∩N 等于( x-1 3 A.{x|1<x<2} 1 3 C.{x|-2<x<2} [答案] A x-2 1 3 [解析] 由|2x-1|<2 得-2<2x-1<2,则-2<x<2;由 <1 得 x-1 ?x-2?-?x-1? -1 3 <0,即 <0,则 x>1.因此 M∩N={x|1<x<2},选 A. x-1 x-1 2.不等式|x-2|-|x-1|>0 的解集为( 3 A.(-∞,2) 3 C.(2,+∞) [答案] A [解析] 3 x<2. 3.设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若 A?B,则实数 a、b 必满足( A.|a+b|≤3 ) B.|a+b|≥3 原不等式等价于|x-2|>|x-1|,则(x-2)2>(x-1)2,解得 ) ) 1 B.{x|2<x<1} 1 3 D.{x|-2<x<2,且 x≠1}

3 B.(-∞,-2) 3 D.(-2,+∞)

C.|a-b|≤3 [答案] D

D.|a-b|≥3

[解析] 由题意可得集合 A={x|a-1<x<a+1},集合 B={x|x<b -2 或 x>b+2},又因为 A?B,所以有 a+1≤b-2 或 b+2≤a-1, 即 a-b≤-3 或 a-b≥3.因此选 D. 4.(文)若不等式|ax+2|<4 的解集为(-1,3),则实数 a 等于( A.8 C.-4 [答案] D [解析] 由-4<ax+2<4,得-6<ax<2. ∴(ax-2)(ax+6)<0,其解集为(-1,3),∴a=-2. [点评] 可用方程的根与不等式解集的关系求解. (理)对于实数 x、y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大 值为( A.5 C.8 [答案] A [解析] 由题易得, |x- 2y+1|= |(x-1)- 2(y-2)-2|≤|x-1|+ ) B.4 D.7 B.2 D.-2 )

|2(y-2)|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为 5. 二、填空题 1 |a| 5. (2013· 天津)设 a+b=2, b>0, 则2|a|+ b 的最小值为________. 3 [答案] 4 1 |a| a+b |a| a [解析] 因为2|a|+ b = 4|a| + b ≥4|a|+2 b |a| a 4|a|· b =4|a|+1≥-

1 3 b |a| 1 + 1 = ,当且仅当 = , a <0 ,即 a =- 2 , b = 4 时取等号,故 4 4 4|a| b 2|a| |a| 3 + b 的最小值是4. 6.(文)不等式 log3(|x-4|+|x+5|)>a 对于一切 x∈R 恒成立,则 实数 a 的取值范围是________. [答案] (-∞,2) [解析] 由绝对值的几何意义知:|x-4|+|x+5|≥9,则 log3(|x- 4|+|x+5|)≥2,所以要使不等式 log3(|x-4|+|x+5|)>a 对于一切 x∈R 恒成立,则需 a<2. (理)(2013· 昆明重点中学检测)已知不等式 2 1 ≥5|a2-a|对于 x∈ x- 1

[2,6]恒成立,则实数 a 的取值范围是________. [答案] [-1,2] 2 2 2 [解析] 设 y= ,x∈[2,6],则 y′=- 2<0,则 y= x-1 ?x-1? x-1 2 2 2 1 在区间[2,6]上单调递减,则 ymin= =5,故不等式 ≥5|a2-a| 6-1 x-1
2 ? ?a -a-2≤0, 1 2 2 对于 x∈[2,6]恒成立等价于5|a -a|≤5成立,等价于? 2 ?a -a+2≥0. ?

解得-1≤a≤2,故 a 的取值范围是[-1,2]. 7.(2013· 陕西)设 a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数 x 的不等式|x -a|+|x-b|>2 的解集是________. [答案] (-∞,+∞) [解析] ∵|x-a|+|x-b|≥|a-b|>2, ∴|x-a|+|x-b|>2 恒成立,则解集为 R. 8.(2012· 陕西)若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a

的取值范围是________. [答案] -2≤a≤4 [ 解析 ] 2≤a≤4. a+b 9. 若 a>0, b>0, 则 p=(ab) 2 , q=ab· ba 的大小关系是________. [答案] p≥q a+b [解析] ∵a>0,b>0,∴p=(ab) 2 >0,q=ab· ba>0, a+b ?ab? 2 a-b b-a ?a?a-b p = = a b 2 =?b? 2 . b a q ab 2 · ? ? a-b ?a?a-b a 若 a>b,则b>1, 2 >0,∴?b? 2 >1; ? ? a-b ?a?a-b a 若 a<b,则 0<b<1, 2 <0,∴?b? 2 >1;
? ?

|x - a| + |x - 1|≥|a - 1| ,则只需要 |a - 1|≤3 ,解得-

a-b ?a?a-b a 若 a=b,则b=1, 2 =0,∴?b? 2 =1. ? ?
?a?a-b p ∴?b? 2 ≥1,即q≥1.∵q>0,∴p≥q. ? ?

[点评] 可运用特值法,令 a=1,b=1,则 p=1,q=1,有 p =q; 令 a=2,b=4,有 p=83=512,q=24×42=256,∴p>q,故填 p≥q. 三、解答题 10.(文)已知函数 f(x)=|x-7|-|x-3|. (1)作出函数 f(x)的图象; (2)当 x<5 时,不等式|x-8|-|x-a|>2 恒成立,求 a 的取值范围.

[解析]

4,?x≤3?, ? ? (1)∵f(x)=?10-2x,?3<x<7?, ? ?-4?x≥7?,

图象如图所示:

(2)∵x<5,∴|x-8|-|x-a|>2,即 8-x-|x-a|>2, 即|x-a|<6-x,对 x<5 恒成立. 即 x-6<x-a<6-x 对 x<5 恒成立,
? ?a<6, ∴? 对 x<5 恒成立. ?a>2x-6. ?

又∵x<5 时,2x-6<4,∴4≤a<6. ∴a 的取值范围为[4,6). (理)已知函数 f(x)=|x+1|+|x-3|. (1)作出函数 y=f(x)的图象; (2)若对任意 x∈R,f(x)≥a2-3a 恒成立,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)①当 x≤-1 时,f(x)=-x-1-x+3=-2x+2; ②当-1<x<3 时,f(x)=x+1+3-x=4; ③当 x≥3 时,f(x)=x+1+x-3=2x-2.

-2x+2,x≤-1, ? ? ∴f(x)=?4,-1<x<3, ? ?2x-2,x≥3. ∴y=f(x)的图象如图所示.

(2)由(1)知 f(x)的最小值为 4, 由题意可知 a2-3a≤4,即 a2-3a-4≤0, 解得-1≤a≤4.故实数 a 的取值范围为[-1,4]. 能力拓展提升 一、填空题 11.(文)(2013· 石家庄模拟)若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有 且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围为________. [答案] (5,7) b-4 b+4 [解析] ∵|3x-b|<4,∴ 3 <x< 3 . 4 ?0≤b- 3 <1, 由题意得? b+4 3< ? 3 ≤4, ∴b 的取值范围是(5,7).

解得 5<b<7,

2 a2 b2 ?a+b? (理)若 a、 b 是正常数, a≠b, x, y∈(0, +∞), 则x+y≥ , x+ y

a b 2 当且仅当x=y时上式取等号. 利用以上结论, 可以得到函数 f(x)=x+ 9 1 (x∈(0,2))的最小值为________. 1-2x [答案] 25 ?2+3?2 4 9 [解析] 依据给出的结论可知 f(x)=2x+ ≥ =25 1-2x 2x+?1-2x? 2 3 1 等号在2x= ,即 x=5时成立. 1-2x 12. (文)(2013· 山东师大附中三模)不等式|2x+1|+|x-1|<2 的解集 为________. 2 [答案] (-3,0) 1 [解析] 当 x≤-2时,原不等式等价为-(2x+1)-(x-1)<2,即 2 2 1 1 -3x<2,x>-3,此时-3<x≤-2.当-2<x<1 时,原不等式等价为(2x 1 +1)-(x-1)<2,即 x<0,此时-2<x<0.当 x≥1 时,原不等式等价为 2 (2x+1)+(x-1)<2,即 3x<2,x<3,此时不等式无解.综上,不等式 2 的解集为-3<x<0. (理)不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集为________. [答案] {x|0<x<1} [解析] 由对数函数定义得 x>0, 又由绝对值不等式的性质知,|x +log3x|≤|x|+|log3x|,当且仅当 x 与 log3x 同号时等号成立,∵x>0, ∴log3x>0,∴x>1,故原不等式的解集为{x|0<x<1}.

二、解答题 13.(文)(2013· 福建理,21)设不等式|x-2|<a(a∈N*)的解集为 A, 3 1 且2∈A,2?A. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值. 3 1 3 1 [解析] (1)因为2∈A,且2?A,所以|2-2|<a,且|2-2|≥a, 1 3 解得2<a≤2.又因为 a∈N*,所以 a=1. (2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2 时取到等号.所以 f(x) 的最小值为 3. (理)(2013· 福建龙岩模拟)已知函数 f(x)=|x-3|,g(x)=-|x+4|+ m. (1)已知常数 a<2,解关于 x 的不等式 f(x)+a-2>0; (2)若函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方, 求实数 m 的取值 范围. [解析] (1)由 f(x)+a-2>0 得|x-3|>2-a, ∴x-3>2-a 或 x-3<a-2,∴x>5-a 或 x<a+1. 故不等式的解集为(-∞,a+1)∪(5-a,+∞) (2)∵函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方, ∴f(x)>g(x)恒成立,即 m<|x-3|+|x+4|恒成立. ∵|x-3|+|x+4|≥|(x-3)-(x-4)|=7, ∴m 的取值范围为 m<7. 14.(2013· 新课标Ⅱ理,24)设 a、b、c 均为正数,且 a+b+c=1, 证明:

1 (1)ab+bc+ac≤3; a 2 b 2 c2 (2) b + c + a ≥1. [解析] (1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca 得, a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤3. a2 b2 c2 (2)因为 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c, a 2 b 2 c2 故 b + c + a +(a+b+c)≥2(a+b+c), a 2 b 2 c2 a 2 b 2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c.所以 b + c + a ≥1. 15.(文)设不等式|2x-1|<1 的解集是 M,a、b∈M. (1)试比较 ab+1 与 a+b 的大小;
2 2 2 a +b 2 (2)设 max 表示数集 A 中的最大数.h=max{ , , }, a ab b

求证:h≥2. [解析] 由|2x-1|<1 得-1<2x-1<1,解得 0<x<1. 所以 M={x|0<x<1}. (1)由 a、b∈M,得 0<a<1,0<b<1, 所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0. 故 ab+1>a+b.
2 2 2 a +b 2 (2)由 h=max{ , , },得 a ab b

a2+b2 2 2 h ≥ ,h ≥ ,h≥ , a ab b
2 2 2 2 2 a +b 2 4?a +b ? 所以 h ≥ · · = ab ≥8,故 h≥2. a ab b 3

(理)已知 a、b 为正实数. a2 b2 (1)求证: b + a ≥a+b; ?1-x?2 x2 (2)利用(1)的结论求函数 y= x + (0<x<1)的最小值. 1-x [解析] (1)证法一:∵a>0,b>0, a2 b2 a3 b3 2 2 ∴(a+b)( b + a )=a +b + b + a ≥a2+b2+2ab=(a+b)2. a2 b 2 ∴ b + a ≥a+b,当且仅当 a=b 时等号成立. a3+b3-a2b-ab2 a2 b2 证法二:∵ b + a -(a+b)= ab a3-a2b-?ab2-b3? a2?a-b?-b2?a-b? = = ab ab ?a-b?2?a+b? = . ab ?a-b?2?a+b? 又∵a>0,b>0,∴ ≥0, ab a2 b2 当且仅当 a=b 时等号成立.∴ b + a ≥a+b. (2)解:∵0<x<1,∴1-x>0, ?1-x?2 x2 由(1)的结论,函数 y= x + ≥(1-x)+x=1. 1-x 1 当且仅当 1-x=x 即 x=2时等号成立.

?1-x?2 x2 ∴函数 y= x + (0<x<1)的最小值为 1. 1-x

考纲要求 1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义 及取等号的条件: (1)|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R). (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R). 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-c|+|x-b|≥a. 3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并 会证明. 4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综 合法、分析法、反证法. 补充说明 1.证明不等式常用的方法 (1)比较法:依据 a>b?a-b>0,a<b?a-b<0 来证明不等式的方 法称作比较法. 其基本步骤:作差→配方或因式分解→判断符号→得出结论. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等, 经过一系列的推理论证得出命题成立的方法.它是由因导果法. (3)分析法:从要证明结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证 明过的定理、性质等),从而得出要证明的命题成立的方法,它是执 果索因的方法.

分析法与综合法常常结合起来运用, 看由已知条件能产生什么结 果,待证命题需要什么条件,两边凑一凑找出证明途径. 常常是分析找思路,综合写过程. (4)反证法:证明不等式时,首先假设要证明的命题不成立,把 它作为条件和其它条件结合在一起,利用已知定义、定理、公理、性 质等基本原理进行正确推理, 逐步推证出一个与命题的条件或已证明 过的定理、性质,或公认的简单事实相矛盾的结论,以此说明原假设 不正确,从而肯定原命题成立的方法称为反证法. (5)放缩法:证明不等式时,根据需要把需证明的不等式的值适 当放大或缩小,使其化繁为简,化难为易,达到证明目的,这种方法 称为放缩法. 2.柯西不等式 (1)一般形式:
2 2 2 设 a1、a2、?、an、b1、b2、?、bn 为实数,则(a1 +a2 2+?+an)(b1 2 2 +b2 +?+b2 n)≥(a1b1+a2b2+?+anbn) .

当且仅当 bi=0,或存在一个实数 k,使得 ai=kbi(i=1、2、?、 n)时,等号成立. (2)二维形式的柯西不等式: ①代数形式:设 a、b、c、d 均为实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 上式等号成立?ad=bc. ②向量形式:设 α、β 为平面上的两个向量,则 |α||β|≥|α· β|. 当且仅当 β 是零向量或存在实数 k,使 α=kβ 时,等号成立.
2 2 2 ③ 三 角 形 式 : 设 x1 、 x2 、 y1 、 y2 ∈ R , 则 x2 1+y1 + x2+y2

≥ ?x1-x2?2+?y1-y2?2,其几何意义是三角形两边之和大于第三边. 3.排序不等式 设 a1≤a2≤?≤an,b1≤b2≤?≤bn 为两组实数,c1、c2、?、cn 为 b1、b2、?、bn 的任一排列,则有 a1bn+a2bn-1+?+anb1≤a1c1+ a2c2+?+ancn≤a1b1+a2b2+?+anbn,且反序和等于顺序和?a1=a2 =?=an 或 b1=b2=?=bn. 即反序和≤乱序和≤顺序和. 4.贝努利不等式 设 x>-1,且 x≠0,n 为大于 1 的自然数,则(1+x)n>1+nx. 备选习题 1.设 a、b、c 为正数,且 a+2b+3c=13,则 3a+ 2b+ c的 最大值为( 169 A. 3 13 3 C. 3 [答案] C [解析] (a+2b+3c)[( 3)2+12+( ≥( 3a+ 2b+ c)2, 169 ∵a+2b+2c=13,∴( 3a+ 2b+ c)2≤ 3 , 13 3 ∴ 3a+ 2b+ c≤ 3 , 当且仅当 a 2b 3c = 1 = 1 取等号, 3 3 1 2 )] 3 ) 13 B. 3 D. 13

3 1 又∵a+2b+3c=13,∴a=9,b=2,c=3时, 3a+ 2b+ c取 13 3 最大值 3 . 2. (2013· 陕西检测)若不等式|x+1|+|x-m|<6 的解集为?, 则实数 m 的取值范围为________. [答案] [5,+∞)∪(-∞,-7] [解析] ∵不等式的解集为空集,|x+1|+|x-m|≥|m+1|,∴只

需|m+1|≥6,∴m 的取值范围为[5,+∞)∪(-∞,-7]. 3.(2013· 云南玉溪一中月考)已知函数 f(x)=|x+1|+|x-2|-m. (1)当 m=5 时,求 f(x)>0 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥2 的解集是 R,求 m 的取值范围. [解析] (1)由题设知|x+1|+|x-2|>5,
? ? ?x≥2, ?-1≤x<2, ? 或? ?x+1+x-2>5, ? ? ?x+1-x+2>5, ?x<-1, ? 或? ? ?-x-1-x+2>5.

解得原不等式的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞). (2)不等式 f(x)≥2 即|x+1|+|x-2|≥m+2, ∵x∈R 时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 不等式|x+1|+|x-2|≥m+2 的解集是 R, ∴m+2≤3,m 的取值范围是(-∞,1]. 4.(1)解关于 x 的不等式 x+|x-1|≤3; (2)若关于 x 的不等式 x+|x-1|≤a 有解,求实数 a 的取值范围.
?2x-1?x≥1?, ? [解析] 设 f(x)=x+|x-1|,则 f(x)=? ? ?1 ?x<1?.

(1)当 x≥1 时,2x-1≤3,∴1≤x≤2, 又 x<1 时,不等式显然成立, ∴原不等式的解集为{x|x≤2}. (2)由于 x≥1 时,函数 y=2x-1 是增函数,其最小值为 f(1)=1; 当 x<1 时,f(x)=1,∴f(x)的最小值为 1. 因为 x+|x-1|≤a 有解,即 f(x)≤a 有解,所以 a≥1. 5.(2013· 辽宁理,24)已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集; (2) 已 知 关 于 x 的 不 等 式 |f(2x + a) - 2f(x)|≤2 的 解 集 为 {x|1≤x≤2},求 a 的值. [解析] (1)当 a=2 时,f(x)+|x-4| -2x+6,x≤2, ? ? =?2,2<x<4, ? ?2x-6,x≥4. 当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|得 2x-6≥4,解得 x≥5; 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}. (2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x),则 -2a,x≤0, ? ? h(x)=?4x-2a,0<x<a. ?2a,x≥a. ? ∵a>1, ∴x≤0 时,h(x)=-2a<-2,x≥a 时,h(x)=2a>2, 而已知不等式|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},

? ?-2≤4x-2a≤2, ∴不等式|h(x)|≤2 化为? ?0<x<a, ?

?a-1≤x≤a+1, 2 即? 2 ?0<x<a,
a-1 a+1 ∵a>1,∴ 2 >0, 2 <a, a-1 a+1 ∴由|h(x)|≤2,解得 2 ≤x≤ 2 . 又∵|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}, 1 ?a- 2 =1, ∴? a+1 ? 2 =2,

于是 a=3.

[点评] 第(2)问是求解的难点,可借助图象帮助理解.作出 h(x) 的图象如图.

∵a>1,|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}, ∴|h(x)|≤2,即|4x-2a|≤2. 此不等式的解集为{x|1≤x≤2}.


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