2015-2016学年高中数学 第3章 三角恒等变形章末归纳总结课件 北师大版必修4


第三章
三角恒等变形

第三章
章末归纳总结

1

知 识 结 构

3

专 题 探 究

2

知 识 梳 理

4

限 时 巩 固

知识结构

知识梳理

本章主要学习了同角三角函数的基本关系,两角和与差的 三角函数和二倍角的三角函数. 1.同角三角函数的基本关系: sinα sin α+cos α=1,tanα=cosα.
2 2

2.两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(Cα+β) cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(Cα-β) sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(Sα+β) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(Sα-β)

3.二倍角的三角函数 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 2tanα tan2α= 2 . 1-tan α 通过本章学习,重点掌握以下几个方面:

? ? ? ?

1.三角函数式求值 三角函数式的求值包括三种类型:给角求值,给值求值,给值求角. (1)给角求值 给角求值的解法规律是恰当地应用诱导公式,合理地进行角的变形,恰 当地应用和角与差角的三角函数公式、二倍角公式、半角公式,使其转 化为特殊角的三角函数值的求解问题.给角求值中要注意当角较大时, 应先利用诱导公式,这样能使角之间的关系更明确,这也是给角求值的 技巧之一.技巧之二是进行角变换,将其中一个角用另两个角(已知角或 特殊角)表示出来,减少未知角的个数.

? (2)给值求值 ? 给值求值这类问题的解法规律是将所给的一 个或几个三角函数式根据问题的需要进行恒 等变形,使其转化为所求函数式能够使用的 条件,然后用代入法求出三角函数式的 值.也可以将所求的函数式经过适当的变形 后,再利用条件,即给值求值的方法是代入 法或恒等变形法.

? (3)给值求角 ? 给值求角这类问题的解法规律是根据已知条件求出该角的某 种三角函数值,并根据已知条件判断出所求的角的范围,根 据三角函数值及角的范围确定出角的大小.给值求角的难点 是缩小角的范围,角的范围必须缩小到该三角函数的一个单 调区间内,或在所确定的范围内,满足条件的角只有一个. ? 2.三角函数式的化简 ? 三角函数式的化简是对给定的三角函数式通过适当的三角变 形,使之取得较简单的形式.化简三角函数式的常用方法有: (1)直接应用公式,(2)切化弦,(3)异角化同角,(4)特殊值与 特殊角的三角函数互化,(5)通分、约分,(6)配方去根号.

? 3.三角恒等式的证明 ? 三角恒等式的证明,就是应用三角公式,通 过适当的恒等变形,消除三角恒等式两端结 构上的差异,这些差异可从以下几方面入手: (1)角的差异,(2)三角函数名称的差异,(3)三 角函数式结构形式上的差异.针对上面的差 异,选择合适的方法进行等价转化. ? 证明三角恒等式的常用方法有:左右互推、 左右归一、恒等变形、分析法、综合法等.

? 三角恒等式的证明可分为两类:不附条件的三角恒等式的证 明和附条件的三角恒等式的证明.不附条件的三角恒等式证 明多用综合法、分析法、恒等变形等.附条件的三角恒等式 的证明关键在于恰当、合理地应用条件,或通过变形观察所 附条件与要证等式之间的联系,找到问题的突破口,常用代 入法或消元法证明.

? 4.注意的问题 ? (1)本章公式较多,学好本章的关键,在于清楚各公式的来 龙去脉,搞明白各式之间的内在联系,把握公式的结构,这 样才能准确应用公式,同时注意公式的逆用、变形应用. ? (2)转化思想是实施三角变形的主导思想,变形包括函数名 称的变形、角的变形、和与积的变形、幂的升降变形及“1” 的变形等. ? (3)恒等变形前需分析已知式中角和函数名称的差异,寻求 联系,实现转化. ? (4)掌握基本技巧,如切割化弦、异名化同名、异角化同角 等.

专题研究

? 三角函数式的化简与求值
? 三角函数求值问题主要有三种类型,给角求 值,给值求值和给值求角.给角求值一般是 利用和、差、倍角公式进行变换,使其出现 特殊角,若为非特殊角,则应变为可消去或 约分的情况,从而求出其值.给值求值一般 首先要先化简所求式子,弄清实际所求,或 变为已知的式子,寻找已知与所求的联系, 再求值.给值求角就是在给值求值的基础上, 借助角的范围,求出角的值.

[例1] 求sin220° +cos280° + 3sin20° cos80° 的值.

[思路分析]

思路1——见到平方式就降幂;思路2——拆

角80° =60° +20° ;思路3——构造对偶式. 1 1 [规范解答] 解法1:原式= 2 (1-cos40° )+ 2 (1+cos160° )
3 1 3 3 + 2 (sin100° -sin60° )=1+2(cos160° -cos40° )+ 2 sin100° -4 1 3 1 =4-sin100° sin60° + 2 sin100° =4.

解法2:原式=sin220° +cos2(60° +20° )+ 3 sin20° · cos(60° 1 3 1 2 +20° )=sin 20° +( 2 cos20° - 2 sin20° ) + 3 sin20° · ( 2 cos20° -
2

3 1 2 1 2 1 )=4sin 20° +4cos 20° =4. 2 sin20°

解法3:令M=sin220° +cos280° + 3sin20° cos80° , 则其对偶式N=cos220° +sin280° + 3cos20° sin80° . 因为M+N=(sin220° +cos220° )+(cos280° +sin280° )+ (sin20° cos80° +cos20° sin80° )=2+ 3sin100° ,① M-N=(sin220° -cos220° )+(cos280° -sin280° )+ (sin20° cos80° -cos20° sin80° )=-cos40° +cos160° - 3sin60° 3 3 =-2sin100° sin60° -2=- 3sin100° -2,② 1 1 所以①+②得2M=2,M=4, 1 即sin 20° +cos 80° + 3sin20° cos80° 的值为4.
2 2

3 3

2cos2α-1 化简 . π π 2tan?4-α?sin2?4+α?

π cos?4+α? π [分析] 解答本题可先将tan( 4 -α)化为 ,最后求 π sin?4+α? 值.

[解析]

2cos2α-1 cos2α = π π π 2 2tan?4-α?sin ?4+α? cos?4+α? 2 π 2 sin ?4+α? π sin?4+α?

cos2α cos2α = π =cos2α=1. sin?2+2α?

? 三角函数式的条件求值
5 5 [例2] 已知sin(α-β)= 13 ,sin(α+β)=- 13 ,且α-β∈
?π ? ?3 ? ? ,π?,α+β∈? π,2π?,求cos2β的值. ?2 ? ?2 ?

[规范解答]

?π ? 5 ∵sin(α-β)=13,α-β∈?2,π?, ? ?

12 ∴cos(α-β)=-13.
?3π ? 5 又sin(α+β)=-13,α+β∈? 2 ,2π?, ? ?

12 ∴cos(α+β)=13, ∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) 12 ? 12? ? 5 ? 5 =13×?-13?+?-13?×13=-1. ? ? ? ?
[规律总结] 角的联系. (2)此类问题的解题步骤:①讨论角的范围;②求出指定 范围内的角的三角函数值;③根据已知角与未知角的联系,利 用和角公式与差角公式求值. (1)此类问题的解题思路是找出已知角与未知

4 已知cos(α-β)cosα+sin(α-β)sinα=- 5 ,且β是第三象限 β 角,则cos2等于( 10 A.- 10 10 C.± 10 ) 3 10 B.- 10 3 10 D.± 10

[答案]

C

4 [解析] cosβ=cos(-β)=cos[(α-β)-α]=-5, β ∴cos2=± 1+cosβ 10 2 =± 10 .

π β 3π ∵β是第三象限角,∴kπ+2<2<kπ+ 4 ,k∈Z, π β 3π β 当k=2n,n∈Z时,2nπ+ 2 < 2 <2nπ+ 4 ,n∈Z,cos 2 =- 10 10 ; 3π β 7π β 当k=2n+1,n∈Z时,2nπ+ 2 < 2 <2nπ+ 4 ,n∈Z,cos 2 10 = 10 .

11 [例3] 已知tanα=4 3 ,cos(α+β)=- 14 ,0° <α<90° , 0° <β<90° ,求β的值.
[规范解答] 解法一:∵0° <α<90° , sinα 且tanα=cosα=4 3,sin2α+cos2α=1, 1 4 3 ∴cosα=7,sinα= 7 ,显然0° <α+β<180° . 11 又∵cos(α+β)=-14, ∴sin(α+β)=
? 11? 5 3 2 ? ? 1- -14 = 14 , ? ?

? 求角的大小

∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=
? 11 ? 1 5 3 4 3 1 ?- ?× + 14 × 7 =2. ? 14? 7

又0° <β<90° ,∴β=60° . 11 解法二:由解法一知cos(α+β)=-14, 5 3 sin(α+β)= 14 , sin?α+β? 5 3 则tan(α+β)= =- 11 , cos?α+β?

tan?α+β?-tanα ∴tanβ=tan[(α+β)-α]= = 1+tan?α+β?tanα 5 3 - 11 -4 3 = 3. ? 5 3? ? 1 +? - ? ?×4 3 11 ? ? 又∵0° <β<90° ,∴β=60° .

[规律总结]

(1)解答此类题目的步骤为:第一步:求角的

某一个三角函数值;第二步:确定角所在的范围;第三步:根 据角的范围写出所求的角.特别注意选取角的某一三角函数 值,是取正弦,还是取余弦,应先缩小所求角的范围,最好把 角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内. π (2)选择求角的三角函数值的方法:若角的范围是(0, 2 ), π π 有时选正弦函数,有时选余弦函数;若角的范围是(- 2 , 2 ), 选正弦函数比余弦函数好;若角的范围是(0,π),则选余弦函 数比正弦函数好.

5 10 已知α,β均为锐角,sinα= 5 ,cosβ= 10 ,求α-β的 值.

[分析] 解本题应先求出sin(α-β)或cos(α-β),再由条件 确定α-β的范围,从而求得α-β.

5 10 [解析] ∵α,β均为锐角,sinα= 5 ,cosβ= 10 , 3 10 2 5 ∴sinβ= 10 ,cosα= 5 . ∵sinα<sinβ,∴α<β. π ∴-2<α-β<0. ∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 5 10 2 5 3 10 2 = 5 × 10 - 5 × 10 =- 2 . π ∴α-β=-4.

? 三角函数最值问题的解题技巧
? 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的 综合应用,它往往与二次函数、三角函数图 像、函数的单调性等知识联系在一起,有一 定的综合性.在求解时,一要注意三角函数 式的变形方向;二要注意正弦、余弦函数本 身的有界性,还要注意灵活选用方法.

1+cos2x+8sin2x cosx π [例4] 当0<x≤4时,求函数f(x)= - sinx sin2x 的最大值.
[规范解答] π ∵0<x≤4,则0<tanx≤1,

2cos2x+8sin2x cosx 4sin2x+cos2x cosx ∴f(x)= 2sinxcosx - sinx = sinxcosx - sinx 4tan2x+1 1 1 1 = tanx -tanx=4tanx+tanx-tanx=4tanx. ∴0<f(x)≤4,∴f(x)max=4.

[规律总结]

一般地遇到高次就降幂,个别情况也不一
2 2 2

1-cos2x 定,常见的降幂公式有:sin x+cos x=1,sin x= , 2 1+cos2x cos x= ,分子分母约分等. 2
2

π π 当-2≤x≤2时,函数f(x)=sinx+ 3cosx的( A.最大值是1,最小值是-1 1 B.最大值是1,最小值是-2 C.最大值是2,最小值是-2 D.最大值是2,最小值是-1

)

[答案]

D

π [解析] 对于f(x)=2sin(x+3), π π ∵-2≤x≤2, π π 5π ∴-6≤x+3≤ 6 . π 当x=6时,f(x)max=2; π 当x=-2时,f(x)min=-1.

? 三角与向量的综合问题
[例5] 已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(- 1,0). π (1)若x=3,求向量a,c 的夹角;
? 3π π? (2)若x∈?- 8 ,4?,求函数f(x)=a· b的最值. ? ?

π [规范解答] (1)∵x=3,∴|a|= π 3 又|c|=1,a· c=-sin3=- 2 . 设a,c的夹角为α∈[0,π], a· c 3 5π ∴cosα=|a||c|=- 2 ,∴α= 6 .

sin 3+cos 3=1,





(2)f(x)=a· b=(sinx,cosx)· (sinx,sinx) 1-cos2x 1 =sin x+sinxcosx= +2sin2x 2
2

π? 1 1 1 1 2 ? =2sin2x-2cos2x+2= 2 sin?2x-4?+2, ? ?
? 3π π? π π ? ? ∴x∈ - 8 ,4 ,∴-π≤2x-4≤4, ? ?

π ∴当x=4时,f(x)max=1, 1- 2 π 当x=-8时,f(x)min= 2 .

? [规律总结] 三角函数与向量结合是近几年高 考的热点,主要从两方面考查:(1)利用向量 的定义、公式,通过向量的运算,将向量条 件转化为三角函数的条件,然后通过三角函 数变换解决问题;(2)在三角函数与向量的关 联点(角与距离)处设置问题,把三角函数中 的角与向量的夹角统一为一类问题.

? 已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2). ? (1)若a∥b,求tanθ的值; ? (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求θ的值.

[解析] (1)因为a∥b,所以2sinθ=cosθ-2sinθ, 1 于是4sinθ=cosθ,故tanθ=4.

(2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5, 所以1-2sin2θ+4sin2θ=5.从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)= 4,即sin2θ+cos2θ=-1,
? π? 于是sin?2θ+4?=- ? ?

2 2.

π π 9π 又由0<θ<π知,4<2θ+4< 4 , π 5π π 7π 所以2θ+4= 4 ,或2θ+4= 4 . π 3π 因此θ=2,或θ= 4 .

限时巩固

一、选择题 2sin2α cos2α 1. · 等于( 1+cos2α cos2α A.tanα C.1 [答案] ) B.tan2α 1 D.2

B

2sin2α cos2α 2sin2α cos2α [解析] · = =tan2α. 2 · 1+cos2α cos2α 2cos α cos2α

5 1 2.已知sinα-cosα=- 2 ,则tanα+tanα的值为( A.-4 C.-8 [答案] C B.4 D.8

)

1 sinα cosα 1 [解析] tanα+tanα=cosα+ sinα =sinαcosα. 1-?sinα-cosα?2 1 ∵sinαcosα= =-8, 2 1 ∴tana+tanα=-8.

x 3.若2sinx=1+cosx,则tan2的值等于( 1 A.2 C.2 1 B.2或不存在 1 D.2或2

)

[答案]

B

sinx 1 x x [解析] tan2= = ,当sinx=0时,tan2不存在. 1+cosx 2

2 4.已知sinα=3,则cos(π-2α)=( 5 A.- 3 1 B.-9

)

1 5 C.9 D. 3 [答案] B [解析] 本题考查了诱导公式、三角恒等变形及倍角公式

的应用. 由诱导公式得cos(π-2α)=-cos2α, 4 1 ∴cos2α=1-2sin α=1-2×9=9,
2

1 ∴cos(π-2α)=-9.

? 5.设A,B,C是△ABC的三个内角,且 tanA,tanB是方程 3x2-5x+1=0的两个实 数根,则△ABC是( ) ? A.等边三角形 B.等腰直角三角形 ? C.锐角三角形 D.钝角三角形 ? [答案] D

5 1 [解析] 由题意知,tanA+tanB=3,tanAtanB=3. tanA+tanB ∴tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=- = 1-tanAtanB 5 - 1=-2<0. 1-3 π ∴2<C<π. ∴△ABC为钝角三角形. 5 3

10 6.已知α∈R,sinα+2cosα= 2 ,则tan2α=( 4 A.3 3 B.4

)

3 4 C.-4 D.-3 [答案] C [解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系.

10 将sinα+2cosα= 2 两边平方可得, 5 sin α+4sinαcosα+4cos α=2,
2 2

3 ∴4sinαcosα+3cos α=2.
2

将左边分子分母同除以cos2α得, 3+4tanα 3 1 = ,解得tanα=3或tanα=-3, 1+tan2α 2 2tanα 3 ∴tan2α= 2 =- . 4 1-tan α

二、填空题 cosα-sinα π 7.若 =4+ 5,则tan(4+α)=________. cosα+sinα
4- 5 [答案] 11 1-tanα [解析] =4+ 5, 1+tanα
1+tanα π 代入tan(4+α)= , 1-tanα 4- 5 π 得tan(4+α)= 11 .

3 8.函数y= 2 sin2x+cos2x的最小正周期为________. [答案] π

[解析] 此题考查降幂公式,辅助角公式,最小正周期的 计算公式. 1+cos2x 3 π 1 y= 2 sin2x+ =sin(2x+6)+2. 2 2π ∴T= 2 =π.

9.已知3sin

2

A+B 2 A-B +cos =2(cosAcosB≠0),则 2 2

tanA· tanB=________.

[答案]

1-cos?A+B? 1+cos?A-B? [解析] 由已知得3 + =2,化 2 2 简得cos(A-B)=3cos(A+B),即2cosAcosB=4sinAsinB,即 1 tanAtanB=2.

1 2

? 三、解答题 ? 10.设一元二次方程mx2+(2m-1)x+(m+1) =0的两根为tanα,tanβ,求tan(α+β)的取 值范围. [解析] ∵方程为一元二次方程,
∴m≠0.又方程的两根为tanα,tanβ, 1 则Δ=(2m-1) -4m(m+1)≥0,解之得m≤8.
2

1 ∴m∈(-∞,0)∪(0,8].

2m-1 由韦达定理得tanα+tanβ=- m , m+1 tanα· tanβ= m , 2m-1 tanα+tanβ - m 于是有tan(α+β)= = =2m-1. 1-tanαtanβ m+1 1- m 1 3 ∵2m-1≤2×8-1=-4,且2m-1≠-1, 3 ∴tan(α+β)的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,-4].


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