人教版高中(必修一)数学1.3.2_第1课时_函数奇偶性的概念ppt课件

1.3.2 奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念 一、偶函数、奇函数的定义 1.偶函数: x∈A f(-x)=f(x) 2.奇函数: x∈A f(-x)=-f(x) 思考:对于定义在R上的函数f(x),若f(-3)=f(3),则函数f(x)一定是偶函数吗? 提示:不一定,仅有f(-3)=f(3)不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任 意”,故不一定是偶函数. 二、偶函数、奇函数图象的特征 1.偶函数图象的特征:关于__轴对称; y 2.奇函数图象的特征:关于_____对称. 原点 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数f(x)=x2的图象关于y轴对称.( ) ) (2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.( (3)如果一个函数的图象关于原点对称,则有f(x)-f(-x)=0. ( ) 提示:(1)正确.因为函数f(x)=x2是偶函数,故图象关于y轴对称. (2)正确.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),即f(-0)=f(0)=-f(0),所 以f(0)=0. (3)错误.因为函数的图象关于原点对称,则该函数是奇函数,故 f(-x)=-f(x),则有 f(x)+f(-x)=0. 答案:(1)√ (2)√ (3)× 【知识点拨】 1.函数的奇偶性与单调性的区别 (1)奇偶性是反映函数在定义域上的对称性,是相对于函数的整个定义域来说的,奇偶 性是函数的“整体”性质. (2)单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势,此区间是定义域的子集,因 此单调性是函数的“局部”性质. 2.奇函数、偶函数在x=0处的定义 若奇函数f(x)在原点处有意义,则由奇函数定义 f(-0)=-f(0),可得f(0)=0,偶函数则不一定. 3.奇函数、偶函数的图象特征 (1) (2)由奇、偶函数的图象特征可知:偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反, 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 . 类型 一 判定函数的奇偶性 【典型例题】 1.设定义在R上的函数f(x)= 则f(x)( ) A.是奇函数,又是增函数 C.是奇函数,又是减函数 B.是偶函数,又是增函数 D.是偶函数,但不是减函数 x, 2.判断下列函数的奇偶性 (1)y=x3+ (2)y= 1 . x (3)y=x4+x. (4) 2x- 1? 1 -2x. ? x 2 ? 2, x ? 0, ? y ? ?0, x ? 0, ?-x 2-2, x ? 0. ? 【解题探究】1.函数的定义域应具备怎样的特点,才讨论函数的奇偶性? 2.判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点? 探究提示: 1.函数的定义域必须关于原点对称. 2.把握好两个关键点,一是看定义域是否关于原点对称,二看 f(x)与f(-x)的关 系. 【解析】1.选D.定义域关于原点对称,且f(-x)=|-x|= |x|=f(x),所以是偶函数,但是它既有减区间也有增区间, 故不是减函数. 2.(1)定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且f(-x)= -f(x),奇函数. (2)定义域为{ },不关于原点对称,该函数不具有奇偶性. 1 2 (3)定义域为R,关于原点对称,但 f(-x)=x4-x≠x4+x, f(-x)=x4-x≠-(x4+x),故其不具有奇偶性. (4)方法一:定义域为R,关于原点对称,当x>0时, f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x<0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时,f(0)=0;故该函数为奇函数. 方法二:画出函数图象如下: 由图象关于原点对称知为奇函数. 【拓展提升】 1.判断函数奇偶性的两个方法 方法一,定义法:利用函数奇偶性的定义判断. 方法二,图象法:利用奇、偶函数图象的对称性来判断 . 2.定义法判断函数奇偶性的步骤 (1)首先看定义域是否关于原点对称. (2)判定f(x)与f(-x)的关系. (3)利用定义下结论. 【变式训练】函数y=x|x|+px,x∈R是( A.偶函数 C.非奇非偶函数 B.奇函数 D.与p有关 ) 【解析】选B.由题意定义域关于原点对称, f(-x)=-x|-x|+p(-x)=-x|x|-px=-f(x),所以是奇函数. 类型 二 利用奇函数、偶函数图象的对称性解题 【典型例题】 1.已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实根 之和是( A.0 ) B.1 C.2 D.4 2.如果奇函数f(x)在区间[-5,-3]上是增函数,且最大值为-4,那么f(x)在区 间[3,5]上是( ) B.增函数且最小值为4 D.减函数且最小值为4 A.增函数且最大值为4 C.减函数且最大值为4 【解题探究】1.奇函数、偶函数的图象各具有怎样的特征? 2.奇函数在对称区间内的单调性和最值有什么关系? 探究提示: 1.(1)函数是奇函数?函数的图象是以坐标原点为对称中心的 对称图形,即图象关于原点对称. (2)函数是偶函数?函数的图象是以y轴为对称轴的对称图 形,即图象关于y轴对称. 2.奇函数在对称区间内具有相同的单调性,且最值互为相反数 . 【解析】1.选A.偶函数的图象关于y轴对称,f(x)图象与x轴的4个交点也关于y轴 对称,所以f(x)=0的4个根的和为0. 2.选B.作一个符合条件的图象,如下: 由图象知,f(x)在区间[3,5]上是增函数且最小值为4. 【拓展提升】奇、偶函数图象对称性的两大应用 应用一:巧作函数图象 ①奇函数图象关于原点对称;偶函数图象关于y轴对称. ②根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇偶函数在某区间的部分 图象,画出其关于原点或y 轴对称的另一部分的图象问题. 应用二:求函数最值、单调性问题 函数的奇偶性反

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