高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义课件新人教a必修1

第一章

集合与函数概念 合

1.1 集

1.1.1

集合的含义与表示 集合的含义

第1课时

主题1

元素与集合的含义及集合相等

观察下列实例,回答下面的问题: ①某集团的所有员工;
1, ? x-2 ? - ②不等式组 ? 的整数解; ?x ? 2

③一元二次方程x2-3x+2=0的实数根.

1.上述实例中的研究对象各是什么?这些研究对象都是 确定的吗?

提示:它们的研究对象分别是员工、整数解、实数根.
这些实例中的研究对象都是确定的.

2.若把实例中的研究对象称为元素,每个实例中元素的

总体分别称为一个集合,那么实例②③表示的集合有什
么关系? 提示:实例②③中的元素分别只有1和2,是一样的,称这

两个集合相等.

结论:集合的有关概念 研究对象 (1)元素:_________.

总体 (2)集合:一些元素组成的_____.
确定 的并且 (3)特性:对于给定的集合,它的元素是_____

互不相同 的. 是_________
a,b,c …表示元素,用______ A,B,C …表示集合. (4)表示:用______

【微思考】 1.某中学高一(1)班“所有聪明的同学”能否组成一个 集合?为什么? 提示:不能组成一个集合,因为“聪明”这个标准不明 确,而集合中的元素必须是确定的,即给定一个集合,任 何元素是不是这个集合中的元素是确定的.

2.由元素1,1,2能否组成一个集合?为什么? 提示:不能.因为集合中的元素是不能重复的,即集合中

的元素具有互异性.

主题2

元素与集合的关系及常用数集

1.结合教材P3中间阴影部分内容,完成下面填空: 常用的 数集 符号 自然 数集 正整 数集
* N N+ __或__

整数 集

有理 数集

实数 集

N __

Z __

Q __

R __

2.如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表 示高一(3)班的一位同学,b表示高一(6)班的一位同学, 那么a,b与集合A分别有什么关系?如何表示? 提示:a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素,可表示 为:a∈A;b?A.

结论:元素与集合的关系 a属于集合A (1)属于:如果a是集合A中的元素,就说___________,

a∈A 记作_____.
(2)不属于:如果a不是集合A中的元素,就说

a不属于集合A 记作a ?A _____________, ____.

【微思考】 如何判断一个元素是否是一个集合的元素? 提示:要判断一个元素是否是一个集合的元素,只需看 这个元素是否具有这个集合中元素的特性.

【预习自测】 1.在“①高一数学课本中的难题;②所有的正三角 形;③方程x2+2=0的实数解”中,能够表示成集合的 是 ( ) B.③ C.②③ D.①②③

A.②

【解析】选C.根据集合的确定性、无序性和互异性, ②③具有这三个特点,故能表示成集合,而①中元素不 具有确定性,因而不能表示成集合.

2.方程x2=1的解组成的集合为A,则下列各式正确的 是 ( ) B.1?A C.-1∈A D.±1=A

A.0∈A

【解析】选C.由x2=1,得x=±1,所以集合A中含有元素 -1,1.由元素与集合的关系可知-1∈A.

3.若集合A中含有两个元素a-3,2a-1,且-3∈A,则实数a 的值为________.

【解析】若a-3=-3,则a=0,此时集合A中的两个元素
为-3,-1满足题意. 若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A中的两个元素为

-4,-3,满足题意.
综上可知:a=0或-1. 答案:0或-1

4.若集合A中有三个元素x,x+1,1,集合B中也有三个元 素x,x+x2,x2,且集合A等于集合B,求实数x的值.

【解析】因为集合A等于集合B,
? x ? 1 ? x 2 , ? x ? 1 ? x 2 ? x, 或? 所以 ? 解得x=±1,经检验x=1不 2 2 ?1 ? x ? x ?1 ? x ,

适合集合元素的互异性,而x=-1适合,所以x=-1.

类型一

元素与集合的关系

【典例1】(1)(2017· 德州高一检测)已知集合A满足 “a∈A且4-a∈A,a∈N”,则集合A的个数是 ( )

A.1

B.2

C.3

D.4

(2)若集合A是由所有形如3a+ 2 b(a∈Z,b∈Z)的数
组成的,判断-6+2 2 是不是集合A中的元素?

【解题指南】(1)由a∈N,对a依次取值判断. (2)认清集合A中元素的结构特征,然后再注意a,b能否 取到整数.

【解析】(1)选C.由题意知,a∈A且4-a∈A,a∈N, 若a=0,则4-a=4,A中含元素0,4,满足题意; 若a=1,则4-a=3,A中含元素1,3,满足题意; 若a=2,则4-a=2,A中含元素2,满足题意. 综上,符合要求的集合A有3个.

(2)是,因为在3a+ 2 b(a∈Z,b∈Z)中,令a=-2,b=2, 可得-6+2 2 ,所以-6+2 2 是集合A中的元素.

【方法总结】判断元素与集合关系的两个步骤 (1)确定集合中元素的特征及范围. (2)判断给定元素是否具有已知集合中元素的特征及是 否在限定的范围内.

【巩固训练】1.下列所给关系正确的个数是

(

)

①π ∈R;
A.1

② 3 ?Q;
B.2

③0∈N*;
C.3

④|-4|?N*
D.4

【解析】选B.①π∈R显然正确;② 3 是无理数,而Q是 有理数集,所以 3 ?Q正确;N*表示正整数集,所以0?N*,

故③错误;④|-4|=4∈N*,故④错误.

2.已知集合A中的元素x满足2x+a>0且1?A,则实数a的取 值范围是________.

【解析】因为1?A,所以2+a≤0,即a≤-2.
答案:a≤-2

【补偿训练】集合A是由形如m+ 3 n(其中m,n∈Z) 的数组成的,判断
1 是不是集合A中的元素. 2? 3

【解题指南】先对

1 分母有理化,然后判断化简 2? 3

后的式子是否具有m+ 3 n(m,n∈Z)的特征.

【解析】是.

1 2? 3 2? 3 ? ? ? 2 ? 3. 4?3 2 ? 3 (2 ? 3)(2 ? 3) 2 ? 3 ? 2 ? 3 ?1, 因为2,1∈Z,所以2+ 3 ∈A,



1 ∈A,所以 1 是集合A中的元素. 2? 3 2? 3

类型二

集合中元素特性的应用

【典例2】已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,求
实数a的值. 【解题指南】根据1∈A,可得a=1或a2=1,再根据集合中

元素的互异性进行检验.

【解析】因为1∈A,所以a=1或a2=1,即a=±1,当a=1 时,a=a2,集合A中有一个元素,所以a≠1;当a=-1时,集 合A中含有两个元素1,-1,符合互异性,所以a=-1.

【延伸探究】
1.本例若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的 取值范围是什么?

【解析】由题意a和a2组成两个元素的集合,则a≠a2,解
得a≠0且a≠1.

2.本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,

求实数a的值.
【解析】因为2∈A,所以a=2或a2=2,即a=2或a=± 2 . 当a=2时,a2=4,满足条件;当a=- 2 时,a2=2满足条件;

当a= 2 时,a2=2满足条件,所以a=2或a=± 2 .

【方法总结】根据集合中元素的特性求解字母取值(范
围)的三个步骤

【课堂小结】
1.知识总结

2.方法总结 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法:判断该元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的 特征即可.


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