备战2018年数学一轮复习(热点难点)专题52椭圆方程多结合其几何性质考查

专题 52 椭圆方程多结合其几何性质考查 考纲要求: 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性 、顶点、离心率). 2.了解椭 圆的简单应用.3.理解数形结合的思想. 基础知识回顾: 一、椭圆的定义 F1 , F2 F1 F2 二、椭圆的标准方程和几何性质 2a 2c 2b (0,1) a 2 ? b2 与椭圆的位置关系 三、 直线 1 1.位置关系的判断 直线与椭圆方程联立方程组,消掉 y,得到 Ax +Bx+C=0 的形式(这里的系数 A 一定不为 0),设其 判别式为 Δ , (1)Δ >0?直线与椭圆相交;(2)Δ =0?直线与椭圆相 切;(3)Δ <0?直线与椭圆相离. 2.弦长公式 (1)若直线 y=kx+b 与椭圆相交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1+k |x1-x2|= |y1-y2|. 2b (2)焦点弦(过焦点的弦):最短的焦点弦为通径长 ,最长为 2a. 2 2 2 1+ 1 k2 a 应用举例: 类型一、椭圆定义的应用 【例 1】 【2018 届云南省师范大学附属中学高三月考二】点 在椭圆 上, 是椭 圆的两个焦点, 是( A. ) B. C. D. ,且 的三条边 , , 成等差数列,则此椭圆的离心率 【答案】D 【例 2】 【2018 届福建省闽侯第六中学高三上学期第一次月考】已知椭圆: x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 2) ,左、 4 b2 l b 右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F 1 的直线 交椭圆于 A, B 两点,若 BF2 ? AF2 的最大值为 5,则 的值是( ) 2 A. 1 B. 2 C. 3 2 D. 3 【答案】D 点评:(1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程;二是利用定义求焦点三 角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. 类型二、椭圆标准方程的求法 【例 3】 【2018 届广西柳州市高三毕业班上学期摸底】已知焦点在 x 轴上,中心在的椭圆上一点到两焦点 的距离之和为 6,若该椭圆的离心率为 1 ,则椭圆的方程是( 3 ) x2 ? y2 ? 1 A. 4 【答案】B 【解析】 x2 y 2 ? ?1 B. 9 8 x2 y 2 ? ?1 C. 4 3 x2 y 2 ? ?1 D. 8 9 x2 y 2 1 e ? , 2a ? 6 ? a ? 3, c ? 1, b 2 ? 8,? ? ? 1 ,选 B. 3 9 8 点评:求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位 置,然后再根据条件建立关于 a,b 的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解.有时为了解 题方便,也可把椭圆方程设成 mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n)的形式. 类型三、椭圆的焦点三角形问题 【例 4 】 P 为椭圆 为 . 2 2 x2 y2 ? ? 1 上一点, F1 , F2 为左右焦点,若 ?F1PF2 ? 60? ,则 ?F1PF2 的面积 25 9 x2 y2 ? ? 1 方程可知, a ? 5, b ? 3, c ? 4 ,∵ P 点在椭圆上, F1 , F2 为椭圆的左右焦 解析:由椭圆 25 9 点,∴ AF 1 ? AF 2 ? 10, F 1F 2 ? 8 ,设 AF 1 ? m, AF 2 ? n ,则 ? ?m ? n ? 10 2 2 ?m ? n ? mn ? 64 ,解得 mn ? 12 , 所以 ?F1PF2 的面积为 1 mn sin 60? ? 3 3 .所以答案应填: 3 3 . 2 3 【例 5】 【2018 届重庆市第一中学高三上期中】已知点 D 是椭圆 C : x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上一点, a 2 b2 2 3 . 3 F1、F2 分别为 C 的左、右焦点, F1 F2 ? 2 2 , ?F1DF2 ? 60? , ?F1DF2 的面积为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q ?1,0 ? 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,点 P ? 4,3? ,记直线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 , 当 k1 k2 最大时,求直线 l 的方程. 【答案】(1) C : x2 y 2 ? ? 1 ;(2) 直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 4 2 (2)①当直线 l 的斜率为 0 时,则 k1 ? k2 ? 3 3 3 ? ? ; 4?2 4?2 4 ②当直线 l 的斜率不为 0 时,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 l 的方程为 x ? my ? 1 , x2 y 2 ? ? 1 ,整理得 ? m 2 ? 2 ? y 2 ? 2my ? 3 ? 0 , 将 x ? my ? 1 代入 4 2 则 y1 ? y2 ? ? 2m 3 , y1 ? y2 ? ? 2 ,又 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 , 2 m ?2 m ?2 4 点评:(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证 明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到 a、c 的关系. ? (2)对△F1PF2 的处理方法?余弦定理 ? ?面积公式 类型四、椭圆的离心率问题 ?定义式的平方 , ? ?4c =|PF | +|PF | -2|PF ||PF |cosθ , ?? 1 S = |PF ||PF |sinθ . ? ? 2 PF1|+|PF2 2 1 2 = 2 a 2 2 2 1 2 △ 1 2 【例 6】 【2018 届山西省山大附中等晋豫名校高三第四次调研诊断】已知椭圆 x2

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