江苏省射阳县第二中学2015届高三上学期期中考试数学试题_图文

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1.已知集合 A ? {?1, 0,1}, B ? {0,, 1 2} ,则 A ? B ?
2 2、若复数 z ? a ? 1 ? (a ? 1)i ( a ? R )是纯虚数,则 z =

▲ ▲

. . ▲ .

3. 若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ?

4.已知 a =(3,3) , b =(1,-1) ,若( a +λ b ) ? ( a - b ) ,则实数λ =___▲ ___ 5.已知角α 的终边经过点 P(x,-6) ,且 cosα =-

4 ,则 x=___▲ ___ 5
▲ . ▲ .(填充分不

6.若函数 f ( x) ? log 2 x ? x ? k (k∈Z* )在区间(2,3)上有零点,则 k = 7. 若条件 p : x ? 1 ? 4 ,条件 q : x 2 ? 5 x ? 6 ,则 p 是 q 的

必要条件、必要不充分条件、充要条件或、既不充分也不必要条件) 8.曲线 y ? 2 x ? ln x 在点(1,2)处的切线方程是 ▲ .

9.函数 y ? 2 x ? log 1 ( x ? 1) 在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为____▲ _____.
2

10.已知 a 为非零常数,函数 f ? x ? ? a lg 1 ? x ? 3( ?1 ? x ? 1) 满足 f (lg 0.5) ? ?1 ,

1? x

则 f (lg 2) ?





?y ? x 2 ? 2 2 11.设 m ? 1 ,已知在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? y 的最大值为 ,则实数 3 ?x ? y ? 1 ?

m 的值为



.

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12.设函数 f ? x ? ? ?

2 ? ? x ? x, x ? 0 若 f ? f ?a ?? ? 2 ,则实数 a 的取值范围是___▲ ___ 2 ? ? x , x ? 0 ?

x2 y2 3 13、已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,与过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线相 a b 2 → → 交于 A、B 两点.若AF=3FB,则 k=____▲____.

14. 已知两条平行直线 l1 : y ? m 和 l2 : y ?

3 (这里 m ? 0 ) ,且直线 l1 与函 数 m ?1

y ? log 2 x 的图像从左至右相交于点 A、B ,直线 l2 与函数 y ? log8 x 的图像从左至右相
交于 C、D.若记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a 、b ,则当 m 变化时, 最小值为 ▲ .

b 的 a

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin 2 B ? sin A sin C . (Ⅰ)求 ac ? b 2 的值; (Ⅱ)若 b ? 2 ,且 BA ? BC ? 3 ,求 BC ? BA 的值. 2

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17. (本小题满分 15 分) 某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为 x 亿元,其中用于风景区改 造为 y 亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件: ①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加; ②每年改造生态环境总 费用至少 a 亿元,至多 b 亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费 用的 15%,但不得每年改造生态环境总费用的 22%。 (1)若 a ? 2 ,b ? 2.5 ,请你分析能否采用函数模型 y= 改造投资方案; (2)若 a 、b 取正整数,并用函数模型 y= 请你求出 a 、 b 的取值.

1 ( x 3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境 100

1 ( x 3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案, 100

18. (本小题满分 15 分) 已知圆 M : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 4 ,点 P 是直线 l : x ? 2 y ? 0 上的一动点,过点 P 作圆 M 的
2

切线 PA 、 PB ,切点为 A 、 B .

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(Ⅰ)当切线 PA 的长度为 2 3 时,求点 P 的坐标; (Ⅱ)若 ?PAM 的外接圆为圆 N ,试问:当 P 运动时,圆 N 是否过定点?若存在,求出 所有的定点的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ)求线段 AB 长度的最小值.

19. (本小题满分 16 分) 若数列 ?bn ? 满足:对于 n ? N? ,都有 bn ? 2 ? bn ? d ( d 为常数) ,则称数列 ?bn ? 是公差为 d 的 “隔项等差”数列. (Ⅰ)若 c1 ? 3, c2 ? 17 , ?cn ? 是公差为 8 的“隔项等差”数列,求 ?cn ? 的前 15 项之和; (Ⅱ)设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N? ,都有 an ? an ?1 ? 2n . ① 求证:数列 ?an ? 为“隔项等差”数列,并求其通项公式; ② 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,试研究:是否存在实数 a ,使得 S 2 k、S 2 k ?1、S 2 k ? 2 成等比 数列( k ? N * )?若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax(a ? R ) ,函数 g ( x) ? ln x . (1) 当 a=1 时,求函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值; (2) 若在区间[1,2]上 f(x)的图象恒在 g(x)的图象的上方(没有公共点), 求实数 a 的取值范 围; (3) 当 a>0 时,设 h(x)=|f(x)|,x∈[-1,1],求 h(x)的最大值 F(a)的解析式.
3

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高三数学阶段考试数学试卷及答案
1.已知集合 A ? {?1, 0,1}, B ? {0,, 1 2} ,则 A ? B ? 答案: ?0, 1?
2 2、若复数 z ? a ? 1 ? (a ? 1)i ( a ? R )是纯虚数,则 z =







.

答案:2 3. 若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? 答案:13 4.已知 a =(3,3) , b =(1,-1) ,若( a +λ b ) ? ( a - b ) ,则实数λ =___▲ ___ 答案:9 5.已知角α 的终边经过点 P(x,-6) ,且 cosα =答案:-8 6.若函数 f ( x) ? log 2 x ? x ? k (k∈N )在区间(2,3)上有零点,则 k = 答案:4 7. 若条件 p : x ? 1 ? 4 ,条件 q : x 2 ? 5 x ? 6 ,则 p 是 q 的 ▲ .(填充分不 ▲ . ▲ .

4 ,则 x=___▲ ___ 5

必要条件、必要不充分条件、充要条件或、既不充分也不必要条件) 答案:必要不充分 8.曲线 y ? 2 x ? ln x 在点(1,2)处的切线方程是 答案: x ? y ? 1 ? 0 9.函数 y ? 2 x ? log 1 ( x ? 1) 在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为____▲ _____.
2





答案:4 10 . 已 知 a 为 非 零 常 数 , 函 数 f ? x ? ? a lg 1 ? x ? 3( ?1 ? x ? 1) 满 足

1? x

f (lg 0.5) ? ?1

,则

f (lg 2) ?



答案:7

?y ? x 2 ? 2 2 11.设 m ? 1 ,已知在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? y 的最大值为 ,则实数 3 ?x ? y ? 1 ?

m 的值为
答案: 2 ? 3



.

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12.设函数 f ? x ? ? ? 答案: a ?

2 ? ? x ? x, x ? 0 若 f ? f ?a ?? ? 2 ,则实数 a 的取值范围是______ 2 ? ? x , x ? 0 ?

2

x2 y2 3 13、已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,与过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线相 a b 2 → → 交于 A、B 两点.若AF=3FB,则 k=________.

答案: 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin 2 B ? sin A sin C . (Ⅰ)求 ac ? b 2 的值; (Ⅱ)若 b ? 2 ,且 BA ? BC ? 3 ,求 BC ? BA 的值. 2 解: (Ⅰ)因为 sin 2 B ? sin A sin C , 由正弦定理得 b 2 ? ac ,所以 ac ? b 2 ? 0 (Ⅱ)因为 b 2 ? ac , b ? 2 ,所以 b 2 ? 2 , ac ? 2 所以 BA ? BC ? cacosB ? 3 , 2 ……………………………4 分

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由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 a 2 ? c 2 ? 5 .……………………………8 分 所以 BC ? BA ? a 2 ? c 2 ? 2 BC ? BA ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 8 即 BC ? BA ? 2 2 ……………………………14 分
2

16. (本小题满分 14 分) 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AD⊥平面 A1BC,其垂足 D 落在直 线 A1B 上.

(1)求证:平面 A1BC⊥平面 ABB1A1; (2) 若 AD ? 3 , AB=BC=2, P 为 AC 中点, 求三棱锥 P ? A1 BC 的体积。
16.证:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A A1⊥平面 ABC, ∴A A1⊥BC, ∵AD⊥平面 A1BC, ∴AD⊥BC, ∵A A1 ,AD 为平面 ABB1A1 内两相交直线, ∴BC⊥平面 ABB1A1, 又∵ BC ? 平面 A1BC, ∴平面 A1BC⊥平面 ABB1A1
-----------------------------------7



(2) 由等积变换得 VP ? A1BC ? VA1 ? PBC , 在直角三角形 A1 AB 中,由射影定理( AB 2 ? BD ? BA1 )知 AA1 ? 2 3 , ∵ AA1 ? 平面PBC , ∴三棱锥的高为 AA1 ? 2 3 --------------------10 分 又∵底面积 S ?PBC ? 1 ---------------------------12 分 ∴ VP ? A1BC ? VA1 ? PBC = 1 S ?PBC ? AA1 ? 2 3 -------------14 分 3 3 法二:连接 CD ,取 CD 中点 Q ,连接 PQ ,∵P 为 AC 中点,? PQ // AD, PQ ?

1 AD 2

3 , --------------------------9 分 2 由(1)AD⊥平面 A1BC,∴ PQ ⊥平面 A1BC,
AD ? 3 ,? PQ ?

∴ PQ 为三棱锥 P- A1BC 的高,---------------------11 分 由(1)BC⊥平面 ABB1A1 ? BC ? BA1 ,? S ?PBC ? 4 -----------12 分

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?VP-A1BC ?

2 3 ,----------------------------------------14 分 3

17. (本小题满分 15 分) 某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为 x 亿元,其中用于风景区改 造为 y 亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件: ①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加; ②每年改造生态环境总 费用至少 a 亿元,至多 b 亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费 用的 15%,但不得每年改造生态环境总费用的 22%。 (1)若 a ? 2 ,b ? 2.5 ,请你分析能否采用函数模型 y= 改造投资方案; (2)若 a 、b 取正整数,并用函数模型 y= 请你求出 a 、 b 的取值. 17.解: (1)∵ y ' ? ∴函数 y=

1 ( x 3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境 100

1 ( x 3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案, 100

1 (3 x 2 ? 4) ? 0 , 100

1 ( x 3 ? 4 x ? 16) 是增函数,满足条件①。------------------3 分 100 y 1 16 设 g ( x) ? ? ( x2 ? 4 ? ) , x 100 x
则 g '( x) ?

1 16 ( x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 4) , (2 x ? 2 ) ? 100 x 50 x 2

令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 2 。 当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, 2) 上是减函数; 当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (2, ??) 上是增函数, 又 a ? 2 , b ? 2.5 ,即 x ? [2, 2.5] , g ( x) 在 [2, 2.5] 上是增函数, ∴当 x ? 2 时, g ( x) 有最小值 0.16=16%>15%, 当 x ? 2.5 时, g ( x) 有最大值 0.1665=16.65%<22%,

1 ( x 3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案。--------9 分 100 y 1 16 (2)由(1)知 g ( x) ? ? ( x2 ? 4 ? ) , x 100 x
∴能采用函数模型 y= 依题意,当 x ? [a, b] , a 、 b ? N * 时, 15% ? g ( x) ? 22% 恒成立;

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16 ? 22 的正整数解。 x 16 令 h( x ) ? x 2 ? 4 ? ,--------------------------12 分 x
下面求 15 ? x 2 ? 4 ? 由(1)知 x ? N * , h( x) 在 (??, 2) 上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数, 又由(1)知,在 x ? 0 时, g ( x) min ? g (2) ,且 g (2) =16%∈[15%,22%],

? x ? 2 符合条件,经枚举 g (1) , g (3) ∈[15%,22%],
而 g (4) ?[15%,22%],可得 x ? 1 或 x ? 2 或 x ? 3 , 由 g ( x) 单调性知 a ? 1, b ? 2 或 a ? 1, b ? 3 或 a ? 2, b ? 3 均合题意。-------15 分 18. 已知圆 M : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 4 ,点 P 是直线 l : x ? 2 y ? 0 上的一动点,过点 P 作圆 M
2

的切线 PA 、 PB ,切点为 A 、 B . (Ⅰ)当切线 PA 的长度为 2 3 时,求点 P 的坐标; (Ⅱ)若 ?PAM 的外接圆为圆 N ,试问:当 P 运动时,圆 N 是否过定点?若存在,求出 所有的定点的坐标;若不存在,说明理由;

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2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4 ? ? (Ⅲ)因为圆 N 方程为 ? x ? b ? ? ? y ? ? ? 2 ? 4 ? 2 2

2

即 x ? y ? 2bx ? (b ? 4) y ? 4b ? 0
2 2

……①
2

圆 M : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 4 ,即 x ? y ? 8 y ? 12 ? 0
2

2

……②

② -① 得圆 M 方程与圆 N 相交弦AB所在直线方程为:

2bx ? (b ? 4) y ? 12 ? 4b ? 0
点M到直线AB的距离 d ? 相交弦长即:

……………………………10分

4 5b ? 8b ? 16
2

……………………………12分

AB ? 2 4 ? d 2 ? 4 1 ?

4 4 ? 4 1? 2 5b ? 8b ? 16 4 ? 64 ? 5? b ? ? ? 5? 5 ?
2

当b ?

4 时,AB有最小值 11 5

……………………………15分

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19.若数列 ?bn ? 满足:对于 n ? N? ,都有 bn ? 2 ? bn ? d ( d 为常数) ,则称数列 ?bn ? 是公差为 d 的“隔项等差”数列. (Ⅰ)若 c1 ? 3, c2 ? 17 , ?cn ? 是公差为 8 的“隔项等差”数列,求 ?cn ? 的前 15 项之和; (Ⅱ)设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N? ,都有 an ? an ?1 ? 2n . ① 求证:数列 ?an ? 为 “隔项等差”数列,并求其通项公式; ② 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,试研究:是否存在实数 a ,使得 S 2 k、S 2 k ?1、S 2 k ? 2 成等比 数列( k ? N * )?若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)易得数列 c n ? ? 前 15 项之和 ?

?4n ? 1,当n为奇数时; ?4n ? 9,当n为偶数时.
……………………………4 分

(3 ? 59) ? 8 (17 ? 65) ? 7 ? ? 535 2 2

(Ⅱ)① ( A) ? a n ? a n ?1 ? 2n ( n ? N ? )

a n ?1 ? a n ? 2 ? 2(n ? 1)

(B)

(B) ? (A)得 a n ? 2 ? a n ? 2 ( n ? N ? ) . 所以, ?a n ? 为公差为 2 的“隔项等差”数列. 当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ? ……………………………6 分

?n ? ? 1? ? 2 ? n ? a , ?2 ?

当 n 为奇数时, a n ? 2(n ? 1) ? a n ?1 ? 2(n ? 1) ? ??n ? 1? ? a ? ? n ? a ? 1 ; ……………………………8 分

n?n ? n?n ? ? ? 1? ? ? 1? n 2?2 ? n 2?2 ? 1 ② 当 n 为偶数时, S n ? a ? ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? ? 2 ? n2 ; 2 2 2 2 2

n ?1? n ?1 ? n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 1? ? ? n ?1 n ?1 2 ? 2 2 ? 2 ? ??2 当 n 为奇数时, S n ? a ? ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? 2 2 2 2

?

1 2 1 n ?a? . 2 2

……………………………12 分

故当 n ? 2k 时, S 2 k ? 2k 2 , S 2 k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? a , S 2 k ? 2 ? 2(k ? 1) 2 ,

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由 ?S 2 k ?1 ? ? S 2 k ? S 2 k ? 2 ,则 (2k ? 2k ? a ) ? 2k ? 2(k ? 1) ,解得 a ? 0 .
2
2 2 2 2

所以存在实数 a ? 0 ,使得 S 2 k、S 2 k ?1、S 2 k ? 2 成等比数列( k ? N * ) ……………………………16 分 20.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax(a ? R ) ,函数 g ( x) ? ln x . (1) 当 a=1 时,求函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值; (2) 若在区间[1,2]上 f(x)的图象恒在 g(x)的图象的上方(没有公共点), 求实数 a 的取值范 围; (3) 当 a>0 时,设 h(x)=|f(x)|,x∈[-1,1],求 h(x)的最大值 F(a)的解析式. 20、解:(1) 当 a=1 时,f′(x)=3x2-3,---------------------(1 分) 由 f′(x)=0 得 x=±1. 列表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 - 0 + f(x) -2 2 -2 2 -----------------------------------------------(3 分) 所以 f(x)min=f(-2)=f(1)=-2.---------------------(4 分) (2) 因为在区间[1,2]上 f(x)的图象恒在 g(x)的图象的上方, lnx 所以 x3-3ax>lnx 在[1,2]上恒成立,即 3a<x2- 在[1,2]上恒成立.--------(6 分) x lnx 1-lnx 2x3+lnx-1 设 m(x)=x2- ,则 m′(x)=2x- = . x x2 x2 ∵ 2x3-1>0,lnx≥0,∴ m′(x)>0,∴ m(x)在[1,2]上单调递增. ∴ m(x)min=m(1)=1,------------------------------(9 分) 1 ∴ 3a<1,即 a< .---------------------------------(10 分) 3 (3) 因为 h(x)=|f(x)|=|x3-3ax|在[-1,1]上是偶函数,故只需要求在 [0,1]上的最大 值. 由 f′(x)=3x2-3a=3(x+ a)(x- a). 当 a≥1,即 a≥1 时,h(x)=|f(x)|=-f(x),此时 h(x)在[0,1]上单调递增. ∴ F(a)=-f(1)=3a-1.---------------------------(12 分) ② 当 0< a<1,即 0<a<1 时,f(x)在[0, a]上递减,在[ a,1]上递增. 1 1° 当 f(1)=1-3a≤0,即 ≤a<1 时,h(x)=-f(x), 3
3

∴ F(a)=-f( a)=2a a;(13 分) 1 2° 当 f(1)=1-3a>0,即 0<a< 时, 3 1 a) 当-f( a)≤f(1)即 0<a≤ 时,F(a)=f(1)=1-3a; 4 1 1 b) 当-f( a)>f(1)即 <a< 时,F(a)=-f( a)=2a a.(15 分) 4 3

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1-3a,0<a≤ 4 ? ? 1 综上 F(a)=? 2a a, <a<1 4 ?3a-1,a≥1 ?

1 (16 分)


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