“江淮十校协作体”四月联考卷数学试题(理)

“江淮十校协作体”四月联考卷 数学试题(理)
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试用时 120 分钟.请将答案写在答题卡上.

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题意. 1. 在复平面上,复数 A.第一象限

2?i 对应的点在( i
C.第三象限 )

) D.第四象限

B.第二象限

2. “ x ? 1 ”是“

1 ? 1 ”的( x

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则

cos 2 ? ? sin 2 ? 等于(
A. ?

) C.

4 5

B. ?

3 5

3 5

D.

4 5

4. 给出 30 个数:1,2,4,7,……其规律是:第 1 个数是 1;第 2 个数比第 1 个数大 1;第 3 个数比第 2 个数大 2;第 4 个数比第 3 个数大 3;……以此类推,要计算这 30 个数的和,现 已给出了该问题的程序框图如图所示,那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入() A. i ? 30; p ? p ? i ? 1 C. i ? 31; p ? p ? i B. i ? 29; p ? p ? i ? 1 D. i ? 30; p ? p ? i

? 5. 已知 x, y ? R ,且 x ? y ?

1 1 ? ? 5 ,则 x ? y 的最大值是( x y
C. 4 D.



A. 3

B.

7 2

9 2
AC ? O , M 是线段 D1O 上

6.如图所示,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1, BD

的动点,过点 M 做平面 ACD1 的垂线交平面 A1B1C1D1 于点 N ,则点 N 到点 A 距离的最小 值为( )

D1 N A1 M D O 第6题图
A. 2
B. 6 2 C. 2 3 3
D .1


C1 B1

C B

A

7. 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种是为( A. 3 ? 3! B. 3? (3!)
3

C. (3!)

4

D. 9!

8. 如图,一个底面半径为 R 的圆柱被与其底面所成角为 ? (0 ? ? ? 90 ) 的平面所截,截面 是一个椭圆,当 ? 为 30 时,这个椭圆的离心率为( )

β

θ α 第8题图
A. 1 2

B.

3 2

C.

3 3

D.

2 3


9. 在 ?ABC 中, AC ? 7 , BC ? 2 , B ? 60 ,则 BC 边上的高等于(

A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 2


10. 已知函数 f ( x) ? ?

? x2 ? 5x, x ? 0
x ? ?e ? 1, x ? 0

,若 f ( x) ? kx ,则 k 的取值范围是(

A.(??,0]

B.(??,5]

C.(0,5]

D.[0,5]

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. 如图, 已知点 A? 0, ? ,点 P( x0 , y0 )?x0 ? 0? 在曲线 y ? x 2 上, 若阴影部分面积与 ?OAP 面积相等,则 x0 =________

? ?

1? 4?

第11题图
4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 12. 直线 ? ( t 为参数)被曲线 ? ? 2 cos( ? ? ) 所截的弦长_____ 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
13. 在 ?ABC 中 , AD ? BC ? 0 , AB ? 5, BC ? 10, BD ?

2 DC , 点 P 满 足 3

AP ? m AB ? ?1 ? m?AC ,则 AP ? AD 的值为______
?x ? y ? 2 ? 0 ? 14. 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y ? 4 的最大值是_____ ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
15. 已知数列 ?an ? 满足 an ? n ? k n ? N ,0 ? k ? 1 ,给出下列命题:
n ?

?

?

①当 k ? ②当

1 时,数列 ?an ? 为递减数列 2

1 ? k ? 1时,数列 ?an ?不一定有最大项 2 1 ③当 0 ? k ? 时,数列 ?an ? 为递减数列 2 k ④当 为正整数时,数列 ?an ? 必有两项相等的最大项 1? k
请写出正确的命题的序号____

三、简答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ?x ? ? 4 sin x cos? x ? (1)求函数 f ?x ? 的最小正周期; (2)当 x ? ??

? ?

??

? ?1 6?

? 5 ?? ? , 时,求函数 f ?x ? 的取值范围. ? 12 6 ? ?

17.(本小题满分 12 分)如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,ED ? ABCD ,ED=1,EF //BD, 且 EF ?

1 BD . 2

(1)求证:BF//平面 ACE; (2)求证:平面 EAC ? 平面 BDEF; (3)求二面角 B-AF-C 的大小.

E F

D A 第17题图

C B

18.(本小题满分 12 分)前不久,社科院发布了 2013 年度“全国城市居民幸福排行榜” ,北 京市成为本年度最“幸福城”.随后,某师大附中学生会组织部分同学,用“10 分制”随机 调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了

他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后一位为叶) : (1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)人选 3 人,记 ? 表示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

幸福度 7 8 9 3 0 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 7 6 5 5 第18题图

19.(本小题满分 13 分)设函数 f ? x ? ? (1)当 a ? 1 时,求函数 f ?x ? 在 ??

a 2 x ? 1 ? cos x?a ? 0 ? . 2

? ? ?? , 上的最大值和最小值; ? 2 2? ?

(2)若 f ?x ? 在 ?0,??? 上为增函数,求正数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 个焦点恰好与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合.
2

2 ,它的一 2

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设椭圆的上顶点为 A ,过点 A 作椭圆 C 的两条动弦 AB, AC ,若直线 AB, AC 斜率之积

为 由.

1 ,直线 BC 是否一定经过一定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理 4

21. (本小题满分 13 分)设满足以下两个条件得有穷数列 a1 , a2 , a3 , ???, an 为 n(n ? 2,3, 4, ???) 阶 “期待数列” :① a1 ? a2 ? a3 ???? ? an ? 0 ,② | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ??? ? | an |? 1. (1)若等比数列 {an } 为 2k (k ? N ? ) 阶“期待数列” ,求公比 q ; (2)若一个等差数列 {an } 既为 2k (k ? N ? ) 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通 项公式; (3)记 n 阶“期待数列” {ai } 的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3, ???, n) . ( i )求证: | S k |?

1 ; 2 1 ,试问数列 {Si } (i ? 1, 2,3, ???, n) 是否为 n 阶 2

( i i )若存在 m ?{1, 2,3, ???, n} ,使 S m ?

“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.


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