高中数学映射函数教案新人教版必修1(数学教案)

映射 一、教学目标 1.映射,一一映射 2.函数 二、考点、热点回顾 1.映射、一一映射 函数 (1)集合 A 到集合 B 的映射有三个要素,即集合 A、集合 B 和对应法则 f .其中集合 A 和集合是有先后 顺序的, 因为一般情况下 A 到 B 的映射和 B 到 A 的映射是不同的映射.而对于集合 A 和集合 B 的元素是什么, 映射的定义未对此作具体要求,它们的元素可以是数,可以是点,也可以是其他对象. (2)一个对应要满足下面两个条件才能称为集合 A 到集合 B 的映射:①集合 A 中的每一个元素(一个 不漏地)在集合 B 中都有 象(但集合 B 中的每一个元素不一定都有原象) ;②集合 A 中的每一个元素在集合 B 中的象只有唯一的一个(集合 B 中的元素在集合 A 中的原象可能不止一个).也就是说,图 1 和图 2 所示 的两种对应不能称为映射. A × × × × f1 B × × × × A × × × × f2 B × × × × 图1 图2 (3)对于上述映射,如果加上一个条件,要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象,则这样的 映射称为“集合 A 到集合 B 上的映射”.如果在此基础上再加上一个条件,要求集合 B 中的每一个元素在集 合 A 中的原象只有唯一的一个,则这样的映射称为“集合 A 到集合 B 上的一一映射”. 例1 如图 3,集合 A={1、2、3、4、5},B={ a 、 b 、 c 、 d 、 e }.判断下列对应中, (1)哪些是集合 A 到集合 B 的映射;(2)哪些是集合 A 到集合 B 上的映射; (3)哪些是集合 A 到集合 B 上的一一映射. A B B A B A A B 1 a 1 a 1 1 a a 2 b 2 b 2 2 b b 3 c 3 c 3 3 c c 4 d 4 d 4 4 d d 5 e 5 e 5 5 e e ① ② 图3 1 ③ ④ 例2 已知集合 A={ x 0 ? B={ y 0 ? y ? 1 } x ? 3 }, .判断下列各对应 f 是否是集合 A 到集合 B 的映射? 一一映射?并说明理由. (1) 1 f :x? y ? x; 3 (2) 1 f : x ? y ? x; 4 1 f : x ? y ? x2 ; 9 (3) f : x ? y ? ( x ? 2) 2 ; (4) (5) 1 f : x ? y ? ( x ? 1) 2 4 2.函数 (1)函数的定义. 在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发,用变量来定义的,习惯上称为传统定义.传统定义 由研究变量的物理意义而产生,反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制,对某些 函数难以进行研究, 因为有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重 新引进了用映射刻划函数 的近代定义,它更具有一般性.当然, 两种定义的本质是一样的. 集合 A 到集合 B 的映射 f : A ? B 要成为函数,还必须满足两个条件:①集合 A、B 都是非空集合; ? B ,则这个映射就成为集合 A 到集合 B 上的映射). ②集合 A、B 都是数的集合. 其中集合 A 就是函数的定义域,而集合 B 不一定是值域.一般地说,值域 C 是集 合 B 的子集,即 C ? B .(若集合 C (2)函数的三要素. 定义域 A,值域 C 和定义域 A 到值域 C 的对应法则 f ,构成了函数的三个要素.当且仅当这三个要素 2 完全相同时,两个函数才是同一个函数. 在判断两个函数是否同一函数时,主要观察它们的定义域和对应 法则是否相同. (3)区间 设 a 、 b ? R ,且 a ? b . 用闭区间 [ a, b ] 表示集合 { x a ? { x ? b } ,用开区间 (a, b) 表示集合 x a ? x ? b } ,用半开半闭区间 (a, b] 表示集合 { x a ? x ? b } ,用半开半闭区间 [a, b) 表示集合 x ? b }. {xa? (4)函数的表示法. 函数常用的表示法有:解析法,列表法及图像法,三种表示法各有其长处. 要搞清符号 化的变量,而 f ( x) 和 f (a) ( a 为常数)的区别.一般情况下, f ( x) 是一个随自变量 x 的变化而变 f (a) 是当自变量 x ? a 时函数的值,是一个确定的量. 与初中接触到的函数不一样,这里的函数可以是在不同区间中(或不同条件下)表达式不同的分段 函数,因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线,它可能是一些孤立的点,一些线段,或一些曲线. 例 3 判断下列各对函数是否是同一个函数,并说明理由. (1) (2) f ( x) ? x 2 f ( x) ? 3 x 3 . , , g ( x) ? ( x ) 2 ; g ( x) ? x ; (3) f ( x) ? x2 ? 1 x ?1 , g ( x) ? x ? 1 ; (4) f ( x) ? x ? 1 f ( x) ? x 2 , ? x ? 1, ( x ? 1), g ( x) ? ? ?1 ? x, ( x ? 1); (5) (6) , , g ( x) ? x ; . f ( x) ? 1 ? x 2 g (t ) ? 1 ? t 2 例4 已知 f ( x) ? 2 x ? 3 , g( x) ? 2x 2 ? 1 ,求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] . 3 例5 (1)已知 (x > 0), ?0, ? 2 求 f ( 2 ) , f (?1) , f [ f (0)] , f [ f (? f ( x) ? ? 2 , (x = 0), )] ; 2 ?2 x 2 ? 1, (x < 0), ? (2)已知 ?2 x ?

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