高一数学必修二——2.2直线、平面平行的判定及其性质_图文

平面与平面平行的判定

复习回顾:
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线 与平面平行的方法呢? (1)定义法; (2)直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行,则该直线与此平面平行.
a

?

b

线线平行

a ? ? ? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

线面平行

复习回顾:
2. 平面与平面有几种位置关系?分别是什么? (1)平行 (2)相交

α∥β

? ?? ?a

对面面平行的认识
认识1.如果两个平面平行,那么其 中一个平面内的所有直线一定都和 另一个平面平行. 认识2.如果一个平面内的所有直线 都和另一个平面平行,那么这两个 平面平行.

探究: 1)、若 ? 内有一条直线 (
则 ? 与 ? 平行吗?

a 与 ? 平行,

(1)中的平面α, β不一定平行。 如图,借助长方 体模型,平面 ABCD中直线AD平 行平面BCC'B', 但平面ABCD与平 面BCC'B'不平行。

探究:
( 2)、若 ? 内有两条直线 则 ? 与 ? 平行吗? a 、 b 分别与 ? 平行 ,

如果平面β内的两条直线是平行直线,平面 α与平面β不一定平行。如图,AD∥PQ, AD∥平面BCC’B’,PQ∥BCC’B’,但平面ABCD与 平面BCC’B’不平行。 如果平面β内的两条直线是相交 的直线,两个平面会不会一定 平行?
Q

P

平面与平面平行的判定定理:

一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即:a ? ? b A α b??
a∩ b=A b// β ? //β β 线不在多,重在相交

a// β

简述为:线面平行?面面平行

练习:判断下列命题正确与否。

1)如果一个平面内的一条直线于行于 另一个平面,那么这两个平面平行 2)如果一个平面内的两条直线平行于 另一个平面,那么这两个平面平行 3)如果一个平面内的无数条直线平行 于另一个平面,那么这两个平面平行 4)如果一个平面内的任何一条直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面 平行

×
× × √

直线的条数不是关键

直线相交才是关键

判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若平面 ? 内的两条直线分别与平面? 平行,则? 与 ? 平行; × (2)若平面? 内有无数条直线分别与平面? 平行,则 ? 与 ? 平行;× (3)平行于同一直线的两个平面平行; × (4)两个平面分别经过两条平行直线,这两个平面平 行; × (5)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平 行的平面.×

6)与同一条直线所成角相等两个平面 × 平行. 7)垂直于同一条直线的两个平面平行. √ 8)平行于同一平面的两个平面平行. √

判定定理:一个平面内两条相交直线分别 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
判定定理剖析:
条件要点: ?1〉两条 ? 直线 ? 内有 ? 2〉相交 ? ? 3〉分别和 ? 平行
?
P
b a

?

? 符号语言: ? b ? ? ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? ? a // ? ? ? b // ? ?

结论: ? // ? a ? ?

证题思路:要证明两 平面平行,关键是在 其中一个平面内找出 两条相交直线分别平 行于另一个平面.

如图,在正方体ABCD——A1B1C1D1中,E、 F分别是棱BC与C1D1的中点。 求证:面 EFG//平面BDD1B1.
D1 F

G
A1 B1

C1

分析:由FG∥B1D1 易得FG∥平面BDD1B1

同理GE ∥平面BDD1B1
D E A B C

∵FG∩GE=G 故得面EFG//平面BDD1B1

证题思路:要证明两平面平行,关键是在其中一个 平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.

例1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1, 求证:平面AB1D1∥平面C1BD. 分析:在四边形ABC1D1中,

AB∥C1D1且AB=C1D1
即AD1∥BC1 思路:只要证明一个平面内有两条相交的直线 与另一个平面平行

故四边形ABC1D1为平行四边形.

证明: ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体, ∴D1C1//A1B1,D1C1=A1B1, AB//A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1//AB,D1C1=AB, ∴四边形D1C1BA为平行四边形, 同理D1B1//平面C1BD, ∴ D1A//C1B, 又D1A ?D1B1=D1, 又D1A ?平面C1BD, D1A? 平面AB1D1 , C1B ? 平面C1BD, D1B1 ? 平面AB1D1, ∴D1A//平面C1BD, ∴平面AB1D1//平面C1BD.

第一步:在一个平面内找出两条相交直线; 第二步:证明两条相交直线分别平行于另一个平 面。 第三步:利用判定定理得出结论。

练习:
判断下列命题是否正确,错的举反例。

( 1) 已 知 平 面 ?, ? 和 直 线 m , n 若 m ? ? , n ? ? , m // ? ,n // ? 则 ? // ?

?
?

m n

×

反 例

( 2) 一 个 平 面 ?内 两 条 不 平 行 的 直 线 都 平 行 于 另 一 个 平 面 /? ; 则 ? // ?

3.分别在两个平行平面内的两条直线 都平行. × 4.如果一个平面内的两条直线平行于 另一个平面,那么这两个平面平行. × 5.如果一个平面内的任何一条直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面 平行.

变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 若 M、N、E、F分别是棱A1B1,A1D1, B1C1,C1D1的中点,求证:平面AMN// 平面EFDB。
D1

F
M
B1

N
A1

C1

E

线面平行
线线平行

面面平行
D A B C

应用练习:
已知: a ? ? , b ? ? , a ? b ? P ; c ? ? , d ? ?; a // c , b // d . 求证: ? // ? .
证明:? c ? ? , a ? ? , a // c , ? a // ? .同理 b // ? . ? a ? ? , b ? ? , a ? b ? P , a // ? , b // ? , ? ? // ? .
?
b

?

P

a

d
c

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.

小结:
1.平面与平面平行的判定: (1)运用定义; (2)运用判定定理: 线线平行?线面平行? 面面平行 2.应用判定定理判定面面平行时应注意:

两条相交直线 3.应用判定定理判定面面平行的关键是找平行线
方法一:三角形的中位线定理;

方法二:平行四边形的平行关系。

PD PE PF 1、如图:三棱锥P-ABC, D,E,F分别是棱 P ? ? PA PB PA,PB,PC中点,P C

求证:平面DEF∥平面ABC。

D A

F

E
B

C

2、如图,B为△ACD所在平面外一点,M, N,G分别为△ABC,△ABD, △BCD的重 心,求证:平面MNG∥平面ACD。 B
N· M· · G

A C

D

辅加练习

1 如图所示,平面ABCD∩平面EFCD = CD,
M、N、H 分别是 DC、CF、CB 的中点,

求证 平面 MNH // 平面 DBF D
A

E

M C H N F

B

2. 正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, 求证:平面AB1D1//平面C1BD
D1 A1 C1 B1

D A

C B

3,已知: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E、F分别是CC1、AA1的中点, 求证: 平面BDE//平面B1D1F
D1 C1

A1

B1 E

F D

G C B

A


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