2017浙江省高中数学竞赛试卷 Word版 含答案

2017 年浙江省高中数学竞赛 一、填空题:本大题共 10 个小题,每小题 8 分,共 80 分. 1.在多项式 (x ?1)3 (x ? 2)10 的展开式中 x6 的系数为 . 2.已知 log (5a ? 3) ? log 5 ,则实数 a ? . 7 a2 ?1 3.设 f (x) ? x2 ? ax ? b 在?0,1? 中有两个实数根,则 a2 ? 2b 的取值范围为 . 4.设 x , y ? R ,且 sin2 x ? cos2 x ? cos2 x cos2 y ? sin2 x sin2 y ? 1 ,则 sin(x ? y) x? y ? . 5.已知两个命题,命题 p :函数 f (x) ? loga x ( x ? 0 )单调递增;命题 q :函数 g(x) ? x2 ? ax ?1( x ? R ).若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,则实数 a 的取值范围 为 . 6.设 S 是 (0, 5) 中所有有理数的集合,对简分数 q ? S ,( p, q) ? 1,定义函数 f ( q ) ? q ?1 , 8 p pp 则 f (x) ? 2 在 S 中根的个数为 . 3 7.已知动点 P ,M ,N 分别在 x 轴上,圆 (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 和圆 (x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 3 上,则| PM | ? | PN |的最小值为 . 8.已知棱长为 1 的正四面体 P ? ABC ,PC 的中点为 D ,动点 E 在线段 AD 上,则直线 BE 与平面 ABC 所成的角的取值范围为 . 9.已知平面向量 a , b , c ,满足| a |? 1,| b |? 2 ,| c |? 3 , 0 ? ? ?1,若 b ? c ? 0 ,则 | a ? ?b ? (1? ?)c | 所有取不到的值的集合为 . ??2x, x ? 0, 10.已知 f (x) ? ? ? x 2 ?1, x ? 0, 方程 f (x) ? 2 1? x2 ? | f (x) ? 2 1? x2 | ?2a*4 ? 0 有三个 根 x1 ? x2 ? x3 .若 x3 ? x2 ? 2(x2 ? x1) ,则实数 a ? . 二、解答题:本大题共 5 个小题,满分 120 分,将答案填在答题纸上) 11.设 f1(x) ? x2 ? 32 ,fn?1(x) ? x2 ? 16 3 fn (x) ,n ?1 ,2,….对每个 n ,求 fn (x) ? 3x 的实数解. 12.已知椭圆 x2 ? y2 ? 1的右焦点为 F ,过 F 的直线 y ? k(x ? 2) 交椭圆于 P , Q 两点 62 (k ? 0) .若 PQ 的中点为原点,直线 ON 交直线 x ? 3 于 M . (1)求 ?MFQ 的大小; (2)求 PQ 的最大值. MF ? ? 13.设数列 an 满足:| an?1 ? 2an |? 2 , | an |? 2 , n ? 1,2,3,…. 证明:如果 a1 为有理数,则从某项后?an?为周期数列. ? ? 14.设 a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ? Z ? ,证明:存在不全为零的数 ?1 , ?2 , ?3 ? 0,1, 2 , 使得 ?1a1 ? ?2a2 ? ?3a3 和 ?1b1 ? ?2b2 ? ?3b3 同时被 3 整除. n ? 15.设? ? ?a1, a2,…,an?为?1, 2,…, n?的一个排列,记 F (? ) ? aiai?1 , an?1 ? a1 ,求 i ?1 min F(? ) . 2017 年浙江省高中数学竞赛答案 一、填空题 1. ?4128 2.2 3. ?0, 2? 4. 2k? ? ? ( k ? Z ) 5. (?2,1] [2, ??) 2 6.5 7. 2 10 ? 3 ?1 ? 8. ?0, arctan ? 14 ? 7 ? ? 9. (??, 6 13 ?1) (4, ??) 13 三、解答题 11.证明:利用数学归纳法. 10. 17 ? 3 2 (1) x ? 2 是 fn (x) ? 3x 的解. 当 n ?1时, x ? 2 是 f1(x) ? x2 ? 32 ? 3x 的解. 当 n ? k 时,设 fk (2) ? 6 ,则 fk?1(2) ? 4 ? 16 3 fk (2) ? 6. 由此可得 x ? 2 是 fn (x) ? 3x 的解(对于所有的 n ). (2)当 x ? 2 时, fn (x) ? 3x ? 3 2 x2 . 当 n ?1时, f1(x) ? x2 ? 32 ? 3x ? 3 x2 (x ? 2) . 2 当n ? k 时,设 fk (x) ? 3x ? 3 2 x2 ,则 f k ?1 ( x) ? x2 ? 16 3 fk (x) ? x2 ? 8x2 ? 3x . 由此可得 x ? 2 都不是 fn (x) ? 3x 的解(对于所有的 n ). (3)当 0 ? x ? 2时, fn (x) ? 3x . 当 n ?1时, f1(x) ? x2 ? 32 ? x2 ? 8x2 ? 3x ( 0 ? x ? 2). 当 n ? k 时,设 fk (x) ? 3x ,则 fk?1(x) ? x2 ? 16 3 fk (x) ? x2 ?1 ? 3x . 由此可得 0 ? x ? 2都不是 fn (x) ? 3x 的解(对于所有的 n ). 因此,对每个 n , fn (x) ? 3x 的实数解为 x ? 2 . ? x2 12.解:(1)联立

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