高中数学 1-2-1排列与排列数公式课件 苏教版选修2-3_图文

1.2 排列 第1课时 排列与排列数公式 【课标要求】 1.理解排列的概念和排列数,会运用排列数公式化简、证明. 2.能运用排列解决一些简单问题. 【核心扫描】 1.排列的定义.(重点、难点) 2.应用排列数公式解决简单的实际应用题.(难点) 自学导引 1.一般地,从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素,按照 一定的顺序排成一列 ,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个排列.两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相 同,且元素的排列顺序相同. 2.从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有排列的个数 ,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数, 用符号 3.排列数公式:Am n= Am n 表示. n(n-1)(n-2)…(n-m+1) = n! .这里 ?n-m?! n,m∈N*且 m≤n,并规定 0!= 1 . 试一试 排列与排列数有何区别? 提示 “一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素, 按照一定的顺序排成一列,不是数; “排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的 个数,是一个数.所以符号 A 只表示排列数,而不表示具体的排 列. 想一想 如何判断一个问题是排列问题? 提示 首先要保证元素无重复性,即从n个不同元素中取出m(m≤n) 个不同的元素,否则不是排列问题.其次要保证元素的有序性, 即安排这m个元素时是否有顺序要求,有序的是排列,无序的不是 排列. 名师点睛 1.正确理解排列的定义 (1)排列定义包括两个基本内容:一是“从n个不同元素中取出 m(m≤n)个不同的元素”,要求取出的元素不能重复,二是“按 照一定顺序排列”. (2)定义中“一定顺序”就是说与位置有关,在实际问题中,要 由具体问题的性质和条件决定.这一点要特别注意,这也是与 后面要学习的组合的根本区别. (3)对于两个排列,只有各元素完全相同,并且排列顺序也完全 相同时,才是相同排列 2.排列数公式的理解 (1)公式有三个特点:第一个因数是n,最后一个因数是n-m +1,共m个连续自然数的连乘积; (2)排列数公式的阶乘表示:Am n= n! ; ?n-m?! (3)计算含有数字的排列数值,常用连乘积形式公式计算,对 含有字母的排列数的式子进行运算或证明,一般用阶乘形 式. 题型一 概念辨析 【例1】 从1,2,3,4这4个数字中, (1) 每次取出 3 个不同的数,有几种取法?写出所有的取法.是 否是排列问题? (2) 每次取出 3 个不同的数排成一个三位数,共可得到多少个不 同的三位数?写出所有的三位数.是否是排列问题? [思路探索] 由排列的定义判断问题是否与顺序有关,属于概念 辨析. 解 (1)从1,2,3,4这4个数字中取出3个不同的数,有(1,2,3);(1,2,4); (1,3,4);(2,3,4)共4种取法.与顺序无关,不是排列问题. (2)画出下列树形图. 由上面的树形图知所有的三位数为: 123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,3 41,342,412,413,421,423,431,432 ,共 24 个三位数.所得三位数与顺 序有关,是排列问题. 规律方法 (1)理解判断一个问题是不是排列问题,关键看是否与 元素的顺序有关.若与顺序有关,就是排列问题,与顺序无关, 就不是排列问题,必要时可以变换元素的顺序比较是否有变化. (2)枚举所有排列时注意“树形图法”“列表法”等的应用. 【变式1】 下列五种说法中: ①从1,2,3,5中任取两个不同的数相减(除)可得多少种不同的结 果? ②从1,2,3,5中任取两个不同的数相乘(加)可得多少种不同的结 果? ③有12个车站,共需准备多少种车票? ④从学号1到10的十名同学中任抽两名同学去学校开座谈会, 有多少种选法? ⑤平面上有5个点,其中任意三点不共线,这5点最多可确定多 少条直线?其中是排列问题的为________. 解析 由除法及减法的定义知,结果都与两数相减或相除的顺序 有关,故①是排列问题,而两数相加或相乘的结果与顺序无关, 故②不是排列问题;车票与始点端和终点站有关,③是排列问题; ④中选取的两名同学无顺序之分,故不是排列问题;两点确定一 条直线与两点顺序无关,故⑤不是排列问题. 答案 ①③ 题型二 排列数公式及应用 【例2】 解下列方程或不等式. 2 2 (1)3A3 x =2Ax+1+6Ax ; x 2 (2)Ax 9>6A9 . - [思路探索] 属于排列数公式的应用问题. 2 2 解 (1)由3A3 x =2Ax+1+6Ax , 得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1). ∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1), 2 3x -17x+10=0,解得x=5,或x=3(舍去),∴x=5. 2 9! 6· 9! (2)原不等式可变形为 > , ?9-x?! ?9-x+2?! 即(11-x)(10-x)>6,即(x-8)(x-13)>0, ?x≤9, ? ∴x<8或x>13.又?x-2>0, ?x-2≤9, ? ∴2<x≤9,且x∈N*,综上,2<x<8,且x∈N*. ∴原不等式的解集为{3,4,5,6,7}. 规律方法 (1) 排列数公式的乘积的形式适用于计算和当 m 较小时 的含排列数的方程和不等式等问题. (2)排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方 程和不等式等问题,具体应用时注意提取公因式,可以简化计 算. 5 4A4 8+2A8 【变式2】 计算(1) 8 5 . A8-A9 (2)n∈N*,且n<30,用排列数表示下式(30-n)(31-n)?(43 -n)(44-n)的值. 4×8×7×6×5+

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