概率论与数理统计第四章.试题

第四章历年试题 小题, 一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 单项选择题( 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。 括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,则下列结论中正确的是( A.E(X)=0.5,D(X)=0.5 C.E(X)=2,D(X)=4 B.E(X)=0.5,D(X)=0.25 D.E(X)=2,D(X)=2 )

2.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X~N(1,4) ,Y~N(0,1) ,令 Z=X-Y,则 D(Z)= ( A.1 C.5 B.3 D.6 ) )

3.已知 D(X)=4,D(Y)=25,Cov(X,Y)=4,则ρXY=( A.0.004 B.0.04

C.0.4 D.4 4.设 X,Y 是任意随机变量,C 为常数,则下列各式中正确的是( ) A.D(X+Y)=D(X)+D(Y) B.D(X+C)=D(X)+C C.D(X-Y)=D(X)-D(Y) D.D(X-C)=D(X)
x < 2; ?0, ?x ? 5.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= ? ? 1, ≤ x < 4; 则 E(X)=( 2 ?2 x ≥ 4; ?1, ? A.
C. 1 3 3 2 B. 1 2



D.3

1 1 6. 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X~B 36, ) Y~B 12, ) 则 D X-Y+1)( 且 ( , ( , ( = 6 3 A. C. 4 3 23 3 B. D. 7 3 26 3



7.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布,则下列各项中正确的是( A.E(X)=0.5,D(X)=0.25 B.E(X)=2,D(X)=2 C.E(X)=0.5,D(X)=0.5 D.E(X)=2,D(X)=4



1 8.设随机变量 X 服从参数为 3 的泊松分布,Y~B(8, ) ,且 X,Y 相互独立, 3

则 D(X-3Y-4)=( ) A.-13 B.15 D.23 C.19 9.已知 D(X)=1,D(Y)=25,ρXY=0.4,则 D(X-Y)=(


1

A.6 C.30
1 10.设 X~B(10, ) ,则 E(X)=( 3

B.22 D.46 ) B.1 D. 10 )

A. C.

1 3 10 3

11.设 X~N(1, 32 ) ,则下列选项中,不成立的是( ... A.E(X)=1 C.P(X=1)=0

B.D(X)=3 D.P(X<1)=0.5 )

12.设 E(X),E(Y),D(X),D(Y)及 Cov(X,Y)均存在,则 D(X-Y)=( A.D(X)+D(Y) C.D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y) B.D(X)-D(Y)

D.D(X)-D(Y)+2Cov(X,Y) 1 13. 设随机变量 X~B (10, ) Y~N 2, ) 又 E , ( 10 , (XY) , X 与 Y 的相关系数 ρ XY = =14 则 2 ( )

A.-0.8 C.0.16
X P -2 1 4

B.-0.16 D.0.8
1 p x 1 4

14.已知随机变量 X 的分布律为

,且 E(X)=1,则常数 x=


A.2 B .4



C .6 D.8 15.已知随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布,则随机变量 X 的期望为( A .C. 1 2 B .0 D.2



1 2

16.设随机变量 X 和 Y 相互独立,且 X ~ N (3 , 4) ,Y ~ N (2 , 9) ,则 Z = 3 X ? Y ~ (
A. N (7 , 21) C. N (7 , 45) 17.设 X~B(10, A. 1 3 D( X ) 1 ), 则 =( E (X ) 3 B. N (7 , 27) D. N (11 , 45)




B. D. 2 3 10 3
2

C.1

?1 ? e ?2 x x > 0; 18.已知随机变量 X 的分布函数为 F(x)= ? 则 X 的均值和方差分别为( 其它. ?0 A.E(X)=2, D(X)=4 C.E(X)=
1 1 ,D(X)= 4 2



B.E(X)=4, D(x)=2
D.E(X)= 1 1 , D(X)= 2 4

小题, 二、填空题(本大题共 15 小题,每空 2 分,共 30 分) 填空题( 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1 19.设 X~B(4, ) ,则 E(X2)=___________。 2
20.设 E(X)=2,E(Y)=3,E(XY)=7,则 Cov(X,Y)=___________。 21.已知随机变量 X 满足 E(X)=-1,E(X2)=2,则 D(X)=___________. 22.设随机变量 X,Y 的分布列分别为 X P 1 1 3 2 1 6 3 1 2 Y -1 1 2 0 1 4 1 1 4



P

且 X,Y 相互独立,则 E(XY)=___________. 23.随机变量 X 的所有可能取值为 0 和 x,且 P{X=0}=0.3,E(X)=1,则 x=____________.
24. 设随机变量 X 的分布律为
X P -1 0.1 0 0.2 1 0.3 2 0.4



则 D(X)=____________.

25.设随机变量 X 服从参数为 3 的指数分布,则 D(2X+1)=____________.
2 26.设二维随机变量(X,Y)~N(μ1,μ2; σ 12 , σ 2 ;ρ) ,且 X 与 Y 相互独立,则ρ

=____________.
1 27.设随机变量 X 具有分布 P {X = k } = , k = 1,2,3,4,5, 则 E ( X )= ___________。 5 28.设随机变量 X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X-2,则 E ( Y )= ___________。 X -1 0 5 29.已知随机变量 X 的分布律为 ,则 P 0.5 0.3 0.2
P{X < E ( X )} = _______.
30.已知 E(X)=-1,D(X)=3,则 E(3X2-2)=___________.

设 X Y 已知 Cov(X1,Y)=-1, Cov(X2,Y)=3,则 Cov(X1+2X2,Y)=_______. 31. X1, 2, 均为随机变量, 1 19 . 设 X~N ( 0 , 1 ) Y~B ( 16 , ) 且 两 随 机变 量 相 互 独 立 , 则 D(2X+Y)= , , 2
________________. 32.设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律为

3

Y 0 1

X
1
2

1 6 2 6

2 6 1 6

则 E ( XY ) = _______.

33.设随机变量 X 的分布律为

X

-1

1

,则 E ( X 2 ) =_______.

34. 设随机变量 X 与 Y 相互独立, D ( X ) > 0 , D (Y ) > 0 , X 与 Y 的相关系数 ρ XY = ______. 且 则 35.设随机变量 X 具有分布 P{X=k}= 1 ,k=1,2,3,4,5,则 D(X)= ___________。 5

36.若 X~N(3,0.16),则 D(X+4)= ___________。

小题, 三、计算题(本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) 计算题(
37.设随机变量 X 只取非负整数值,其概率为 P {X = k } =
ak (1 + a ) k +1

,其中 a= 2 ? 1 ,

试求 E(X)及 D(X) 。
38.设连续型随机变量 X 的分布函数为

x < 0, ?0, ?x F ( x) = ? 0 ≤ x ≤ 8, ?8 x ≥ 8. ?1,
D( X ) ? ? 求: 1)X 的概率密度 f ( x) ; 2) E ( X ), D( X ) ; 3) P ? X ? E ( X ) ≤ ( ( ( ? 8 ? ? 39.已知随机变量 X,Y 的相关系数为 ρ XY ,若 U=aX+b, V=cY+d, 其中 ac>0. 试求 U,V

的相关系数 ρ UV 。

小题, 四、综合题(本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分) 综合题(
40.设随机变量 X 的概率密度为

?cx 2 , ? 2 ≤ x ≤ 2; f(x) ? = 其他. ? 0
4

试求: (1)常数 c; (2)E(X) ,D(X)(3)P{|X-E(X)| < D(X)}. ;
? xy,0 < x < 1,0 < y < 2; 41.设二维随机向量(X,Y)的概率密度为 f ( x, y ) = ? 试求: ?0, 其他, (1)E(X) ,E(Y)(2)D(X) ; ,D(Y)(3)ρXY. ; 42.设随机变量 X 的概率密度为
?x 0 ≤ x ≤ 2; ? , f ( x) = ? 2 ?0, 其他. ? 试求: (1)E(X) ,D(X)(2)D(2-3X)(3)P{0<X<1}. ; ; 43.设离散型随机变量 X 的分布律为: ,令 Y= X 2 , X 求(1)D(X);(2)D(Y);(3)Cov( X,Y ). 44.设二维随机变量(X,Y)的分 P -1 1 4 0 1 2 1 1 4

布律为

Y
,
0 1 2

X
0 1 0.1 0.2 0.2 0.1

α

β

且已知 E(Y)=1,试求: (1)常数α,β; (2)E(XY)(3)E(X) ; 45.2008 年北京奥运会即将召开,某射击队有甲、乙两个射手,他们的射击技术可用 题 29 表给出。其中 X 表示甲射击环数,Y 表示乙射击环数,试讨论派遣哪个射手 参赛比较合理? X 8 9 10 Y 8 9 10 p 0.4 0.2 0.4 题 35 表 p 0.1 0.8 0.1

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