(新课程)高中数学《1.1.3四种命题间的相互关系》课件_新人教A版选修2-1_图文

1.1.3 四种命题间的相互关系

【课标要求】 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系. 2.会利用命题的等价性解决问题. 【核心扫描】 1.掌握四种命题之间的相互关系.(重点) 2.等价命题的应用.(难点)

自学导引 1.四种命题的相互关系

2.四种命题的真假性 (1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况. 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 假 假 真 假 真 假

真 假 真 假


真 假 假

(2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有

相同

的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系 . 想一想:在四种命题中,真命题的个数可能会有几种情况? 提示 因为原命题与逆否命题,逆命题和否命题互为逆否命 题,它们同真同假,所以真命题的个数可能为0,2,4.

名师点睛 1.四种命题的真假关系 原命题为真,它的逆命题不一定为真; 原命题为真,它的否命题不一定为真; 原命题为真,它的逆否命题一定为真; 原命题的逆命题为真,它的否命题一定为真.

2.四种命题的等价关系的应用 判断某个命题的真假,如果直接判断不易,可转化为判断它的 逆否命题的真假,如带有否定词的命题真假的判断. 因此,证明某一问题时,若直接证明不容易入手,可以通过证 明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.

题型一 四种命题间的相互关系 【例1】 命题a的否命题是b,命题b的逆否命题是c,命题c的 逆命题是d,则命题a与命题d的关系是怎样的? [思路探索] 设命题a为“若p,则q”,再根据已知各命题的关 系写出各命题.

解 设命题a:若p,则q, 则命题b:若綈p,则綈q,

命题c:若q,则p, 命题d:若p,则q, ∴命题a与命题d是同一命题. 规律方法 判断两个命题的关系,从其结构上分析条件和结论 是最本质的方法,解题关键是熟练掌握四种命题的概念.

【变式1】 若命题p的否命题是q,命题q的逆命题是r,则r是p 的逆命题的( A.原命题 C.否命题 ). B.逆命题 D.逆否命题

解析 设命题p为“若k,则s”;则其否命题q是“若綈k,则

綈s”;则命题q的逆命题r是“若綈s,则綈k”,而p的逆命题

为“若s,则k”,故r是p的逆命题的否命题. 答案 C

题型二 【例2】 下列四个命题中:

等价命题的应用

①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题 k>0,则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题 角形的面积相等”的否命题 题. 其中真命题的个数是( ).

②“若 ③“全等三

④“若ab≠0,则a≠0”的否命

A.0 B.1 C.2 D.3 [思路探索] 对于直接证明有困难的命题,可利用逆命题与否

命题,原命题与逆否命题的等价性解决.

解 ①中的逆命题为:若一个三角形三个内角均为60°,则该 三角形为等边三角形.真命题;②中对于方程x2+2x-k=0来 说,若k>0,则Δ=4+4k>0,故方程有实根,故②中的逆否命 题为真命题;③中的否命题为:不全等三角形的面积不相等, 易判断为假命题;④中否命题为:若ab=0,则a=0,易判断 为假命题.故选C. 答案 C

规律方法

在判断命题真假时,利用原命题与逆否命题、逆命

题与否命题同真同假,可取得事半功倍的效果.尤其对含有否 定意义的命题,转化为逆否命题进行判断会更容易.

【变式2】 判断命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数 根”的逆否命题的真假. 解 ∵m>0,∴12m>0,∴12m+4>0. ∴方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0. ∴原命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为 真.又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则方程 x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真.

题型三 逆否命题的应用 【例3】 (12分)判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,则a≥1”的逆否命 题的真假. 审题指导 本题的命题意图是考查逆否命题的应用.由于原命 题与它的逆否命题同真同假,所以,可写出原命题的逆否命 题,再判断其真假,或者由判断原命题的真假得出逆否命题的 真假.

[规范解答] 法一 原命题的逆否命题: 已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2 +2≤0的解集为空集.真假判断如下:(3分) ∵抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上, 判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7,(6分) 若a<1,则4a-7<0. 即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.(9分) 所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集. 故原命题的逆否命题为真.(12分)

法二

先判断原命题的真假.

因为a,x为实数,且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的 解集不是空集, 所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,(4分) 即4a-7≥0, 7 解得a≥ .(8分) 4 7 因为a≥4,所以a≥1,所以原命题为真. 又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.(12分)

【题后反思】 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性, 即互为逆否命题的命题具有等价性,所以我们在直接证明某一 个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命 题,来间接地证明原命题为真命题.

【变式 3】 求证:已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a, b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则 a+b≥0. 证明 法一 原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(-∞,+ ∞)上的增函数, a, b∈R, 若 a+b<0, 则 f(a)+f(b)<f(-a)+f(- b)”.若 a+b<0,则 a<-b,b<-a, 又∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 即原命题的逆否命题为真命题, ∴原命题为真命题.

法二 假设a+b<0,则a<-b,b<-a, 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 这与已知f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾, 因此假设不成立,故a+b≥0.

方法技巧

反证法的应用

1.反证法的理论基础:反证法就是证明结论的反面不成立,从 而证明原结论成立.由于互为逆否命题的两个命题具有等价性, 从逻辑角度看,原命题为真,则它的逆否命题也为真.在直接证 明原命题有困难时,就可转化为证明它的逆否命题成立. 2.反证法的思想方法:命题“若p,则q”的逆否命题是“若非 q,则非p”,假设q不成立,即非q成立,由此进行推理,则非p 一定成立,这与p成立矛盾,那么就说明“假设q不成立”为假, 从而可以导出“若p,则q”为真,达到论证的目的,这就是反证 法的思想方法.

3.反证法证明命题的步骤: (1)反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的否定成立; (2)归谬:从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)说明:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正 确. 否定结论是反证法的第一步,它的正确与否,对于反证法有直 接影响.

【示例】 若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数. [思路分析]可以证明原命题的逆否命题为真命题,也可以运用 反证法. 证明 法一 依题意,就是证明命题“若a2+b2=c2,则a, b,c不可能都是奇数”为真命题.为此,只需证明其逆否命题 “若a,b,c都是奇数,则a2+b2≠c2.”为真命题即可. ∵a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.于是a2+b2为偶 数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2. ∴原命题的逆否命题为真命题,所以原命题成立.

法二 假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数. 得a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2,与a2+b2=c2矛 盾.所以假设不成立,从而原命题成立. 方法点评 上述两种证明方法的本质是一致的,只是叙述的格 式不同罢了,而以什么方式表达某一数学事实,这仅是阐述理 由的外在表现形式,绝不影响数学事实的本质特点.两种方法 相比较,反证法更具有“程式化”特点.注意含有否定词的命 题常用反证法证明.


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