“江淮十校协作体”四月联考卷数学试题(文)

“江淮十校协作体”四月联考卷 数学试题(文)
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考 试用时 120 分钟.请将答案写在答题卡上. 第 I 卷(选择题 共 50 分)

一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个选项符合题意.
1.在复平面上,复数 A.第一象限

2+i 对应的点在 ( i

) D.第四象限

B.第二象限

C.第三象限

2.若集合 M ? x | y ? A. [0, ?? )

?

x , N ? ? y | y ? x 2 ? 2, x ? R? ,则 M
C. ? D. [?2,0)

?

N?





B. [?2, ??)

3.设 a, b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 A. a ? ? b

a b ? ? 0 成立的是 |a| |b|

1 3

B. a / / b

C. a, ? 2b

D. a ? b

4.“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ?1 ? 0 与 l2 : x ? (a ? 1) y +4 ? 0 平行”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既充分而不必要条件

5. 已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,始边在直线 y ? 2 x 上,则

cos 2 ? ? sin 2 ? 等于
A. ?

4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

6.已知一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上, 则球的表面积( )

A.

49 ? 9

B.

7 ? 3

C.

28 ? 3

D.

28 ? 9


?1 ?| x |? 2, ? 7.如果 x, y 满足不等式组 ? y ? 3, ,那么目标函数的最小值是( ? x ? y ? 5, ?
A.-1 B.-3 C.-4 D.-9

8 已 知 点 P 是 以 F1 , F2 为 焦 点 的 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 一 点 , a 2 b2

PF1 PF2 ? 0 tan ?PF1 F2 ?
A.

1 则双曲线的离心率为 2
D.
2

6 2

B.2

C. 5
2

5 2

9.已知点 P 是圆 ( x ?1) ? y ? 1上异于坐标原点 O 的任意一点,直线 OP 的倾斜角为 ,若

OP ? d ,则函数 d ? f (? ) 的大致图像是





10.在 ABC 中,若对任意的 ? ? R ,都有 AB ? ? AC ? BC ,则 ?ABC A.一定为锐角三角形 C.一定为直角三角形 B.一定为钝角三角形 D.可以为任意三角形





第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.若平面向量 a, b 满足 a ? b ? 2, a ? b 垂直于 x 轴, b ? ?3,1? ,则 a ? ____ 12.给出右边的程序框图,那么输出的数是_______

13.为了了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重,经统计,这批学生的体 重数据(单位为千克)全部介于 45 至 70 之间,将数据分成以下 5 组:第 1 组 ?45,50? ,第 2 组 ?50,55? ,第 3 组 ?55,60? ,第 4 组 ?60,65? ,第 5 组 ?65,70? ,得到如图所示的频率分布 直方图,则 a ?

14.已知定义在 ?0. ? ? ?上的函数 f ?x ? ? 3 ,若 f ?a ? b? ? 9 ,则 f ?ab? 的最大值为______
x

15.已知数列 ?an ? 满足 an ? n ? k n n ? N ? ,0 ? k ? 1 ,给出下列命题: ① 当k ? ② 当

?

?

1 时,数列 ?an ? 为递减数列 2

1 ? k ? 1 时,数列 ?an ?不一定有最大项 2 1 ③ 当 0 ? k ? 时,数列 ?an ? 为递减数列 2 k ④ 当 为正整数时,数列 ?an ? 必有两项相等的最大项 1? k
请写出正确的命题的序号____ 三.解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写于必要的文字说明,证明过程或演 算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ?x ? ? 4 sin x cos? x ? (1)求函数 f ?x ? 的最小正周期; (2)当 x ? ??

? ?

??

? ?1 6?

? 5 ?? ? , 时,求函数 f ?x ? 的取值范围。 ? 12 6 ? ?

17.(本小题满分 12 分)

以下茎叶图记录了甲,乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩(十位数字为茎,个位 数字为叶).乙组记录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中 以 a 表示. (1)若甲,乙两个小组的数学平均成绩相同,求 a 的值; (2)当 a ? 2 时,分别从甲,乙两组同学中各随机选取一名同学,求这两名同学的数学成绩之 差的绝对值不超过 2 分的概率.

18.(本小题满分 12 分) 如图, ABCD 是边长为 2 的正方形, ED ? 平面 ABCD , ED ? 1 , EF // BD ,且

EF ?

1 BD . 2

(1)求证: BF // 平面 ACE ; (2)求证:平面 EAC ? 平面 BDEF ; (3)求多面体 ABCDEF 的体积。

E F

D A 第18题图

C B

19.(本小题满分 13 分) 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B 两点,点 M 是线段 a 2 b2
1 x 上. 2

AB 上的一点, AM ? ? BM 且点 M 在直线 l : y ?
(1)求椭圆的离心率;

(2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1 上,求椭圆的方程.
2 2

20.(本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 3an?1 ? 2Sn ? 3 ( n 为正整数) (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)对任意正整数 n ,是否存在 k ? R ,使得 Sn ? k 恒成立?若存在,求是实数 k 的 最大值;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 1 x ? a ln x ? (a ? R, a ? 0) . 2 2

(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f ( x)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若对任意的 x ? [1,??), 都有 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.


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