高中数学 第四章 圆与方程单元检测 新人教A版必修2

第四章单元检测

班级____ 姓名____ 考号____ 分数____

本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在下列各题的四个选项中,只

有一个选项是符合题目要求的.
1.过点 A(1,2),且与两坐标轴相切的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 或(x-5)2+(y-5)2=25 B.(x-1)2+(y-3)2=2 C.(x-5)2+(y-5)2=25 D.(x-1)2+(y-1)2=1

答案:A 解析:由图形易知满足此条件的圆有两个. 2.在空间直角坐标系中,A(0,2,4),B(1,4,6),则|AB|等于( )

A.2 B.2 2

C. 7 D.3 答案:D

解析:|AB|= 1+4+4=3. 3.若圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+1=0 对称,则 a+b 等于( )

A.1 B.-1

C.12

D.-12

答案:C

解析:∵圆心(-1,2),∴-2a-2b+1=0,∴a+b=12. 4.两圆 x2+y2-4x-6y+12=0 和 x2+y2-8x-6y+16=0 的位置关系是( ) A.相离 B.相交

C.内切 D.外切 答案:C 5.圆心为 A(1,-2)且与直线 x-3y+3=0 相切的圆的方程为( )

A.(x-1)2+(y+2)2= 10 B.(x-1)2+(y+2)2=10

C.(x+1)2+(y-2)2= 10 D.(x+1)2+(y-2)2=10

答案:B 解析:圆半径 r=|1+6+3|= 10,故圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=10.
1+9 6.两圆 x2+y2+4x-4y=0,x2+y2+2x-12=0 相交于 A、B 两点,则直线 AB 的方程为

() A.x-2y+6=0 B.x+y=0 C.x+2y-6=0 D.x-y+1=0 答案:A 解析:会求过两圆交点的直线方程,注意运用简便方法.两圆方程相减即为公共弦的方

程. 7.如图,正方体 OABC—O1A1B1C1 中,棱长为 2,E 是 B1B 上的点,且|EB|=2|EB1|,则点
E 的坐标为( )

A.(2,2,1)
C.???2,2,13???
答案:D

B.???2,2,23??? D.???2,2,43???

解析:易知 B(2,2,0),B1(2,2,2),∴E 的竖坐标 z=23×2=43,∴E 的坐标为???2,2,43???. 8.已知圆 C1:x2+y2-4x-2y+1=0,直线 l:3x-4y+m=0,圆上存在两点到直线 l
的距离为 1,则 m 的取值范围是( )

A.(-17,-7)

B.(3,13)

C.(-17,-7)∪(3,13)

D.[-17,-7]∪[3,13]

答案:C 解析:当圆心到直线的距离 d 满足 r-1<d<r+1 时,圆上存在两个点到直线的距离为 1, 即满足 1<|2+5 m|<3.

解得-17<m<-7 或 3<m<13. 9.若直线过点(0,2),且被圆 x2+y2=4 截得的弦长等于 2,则此直线的斜率等于( )

A.±

3 2

B.±

3 3

C.± 2 D.± 3

答案:B 解析:当斜率不存在时,过点(0,2)的直线通过圆 x2+y2=4 的圆心,不合题意.当斜率

存在时,直线方程为 y-2=kx,即 kx-y+2=0.由已知,可得圆心到直线的距离为 3,

|2| 1+k2=

3,即

1+k2=43,k=±

3 3.

10.圆 C:x2+y2-2x-6y+9=0 关于直线 x-y-1=0 对称的曲线方程为( ) A.x2+y2+2x+6y+9=0 B.x2+y2-6x-2y+9=0 C.x2+y2-8x+15=0 D.x2+y2-8x-15=0

答案:C 解析:圆(x-1)2+(y-3)2=1 的圆心为(1,3),r=1,设圆心关于直线 x-y-1=0 的

??x+2 1-y+2 3=1 ? 对称点为(x,y),则 y-3
??x-1=-1

,解得?????xy= =40 ,∴对称点(4,0)即为对称圆的

圆心.又∵圆半径始终不变,∴圆 C 关于直线 x-y-1=0 的对称曲线为(x-4)2+y2=1,即 x2+y2-8x+15=0.
11.圆 x2+y2-2x+4y-4=0 与直线 2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( )

A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 答案:C 解析:∵圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=9,∴圆心为(1,-2),半径 r=3,又圆 心在直线 2tx-y-2-2t=0 上,∴圆与直线相交,故选 C. 12.直线 y=-x+b 与曲线 y= 4-x2有且只有两个公共点,则 b 的取值范围是( )
A.1≤b<2 2 B.2≤b<2 2
C.-1<b<1 D.-2 2<b≤-2 答案:B

解析:由图可知

,2≤b<2 2.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

13.设 A(0,0),B(1,1),C(4,2),若线段 AD 是△ABC 外接圆的直径,则点 D 的坐标为

________.

答案:(8,-6)

解析:线段 AB 的垂直平分线 x+y-1=0 与线段 AC 的垂直平分线 2x+y-5=0 的交点

为圆心(4,-3),直径为 10,易得 D 为(8,-6).

14.如果实数 x,y 满足等式(x-3)2+y2=4,那么yx的最大值是________.

25 答案: 5 解析:设yx=k,y=kx,(x-3)2+k2x2=4,(1+k2)x2-6x+5=0,Δ =36-20(1+k2)≥0,

-2 5 5≤k≤2 5 5.另可考虑斜率的几何意义来做.
15.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切, 则圆 C 的方程为________.
答案:(x+1)2+y2=2 解析:∵圆心 C(-1,0),半径为圆心 C(-1,0)到直线 x+y+3=0 的距离,即圆 C 的半 径 r=|-1+0+3|= 2,∴圆 C 的方程为:(x+1)2+y2=2.
2 16.已知圆 O:x2+y2=5 和点 A(1,2),则过点 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成 的三角形的面积等于________.
25 答案: 4 解析:因为点 A(1,2)在圆 x2+y2=5 上,故过点 A 的圆的切线方程为 x+2y=5,令 x= 0 得 y=52,令 y=0 得 x=5,故 S△=12×52×5=245.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)过圆 x2+(y-2)2=4 外一点 A(2,-2)引圆的两条切线,切点为 T1,T2,求 直线 T1T2 的方程. 解:设切点为(x1,y1),(x2,y2), 则 AT1 的方程为 x1x+(y1-2)(y-2)=4,AT2 的方程为 x2x+(y2-2)(y-2)=4, 则 2x1-4(y1-2)=4,2x2-4(y2-2)=4, ∴2x-4(y-2)=4,即 x-2y+2=0. 18.(12 分)求过点 A(1,6)和 B(5,6)且与直线 2x-3y+16=0 相切的圆的方程. 解:显然圆心在线段 AB 的垂直平分线 x=3 上

设圆心为(3,b),半径为 r,则(x-3)2+(y-b)2=r2,得(1-3)2+(6-b)2=r2, 而 r=|6-3b+16|,
13

∴b=3,r= 13 ∴(x-3)2+(y-3)2=13. 19.(12 分)已知圆 C1:x2+y2-10x-10y=0,圆 C2:x2+y2+6x-2y-40=0. (1)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦所在的直线的方程;
(2)求它们的公共弦长. 解:(1)x2+y2-10x-10y=0,①;x2+y2+6x-2y-40=0,②; ②-①得:2x+y-5=0 为公共弦所在直线的方程;

(2)弦长的一半为 50-20= 30,公共弦长为 2 30. 20.(12 分)已知圆 C:(x-2)2+(y-3)2=4 与直线 l:(m+2)x+(2m+1)y=7m+8,当 直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时,求 m 的值.

解:因为直线

l







(2x



y



8)



m(x



2y



7)



0





??2x+y-8=0, ???x+2y-7=0



??x=3, ???y=2.

即直线 l 恒过定点 P(3,2).所以|PC|= 2<2=r,所以 P(3,2)在圆 C 内部.因

为当且仅当圆心(2,3)到直线 l 的距离最大,即直线 PC 与 l 垂直时,截得的弦长最短,所以

kPC·kl=-1,所以-

m+ 2m+1

×(-1)=-1,所以 m=-1.

21.(12 分)已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0.

(1)若圆 C 的切线在 x 轴、y 轴上的截距相等,求切线的方程;

(2)从圆 C 外一点 P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,

求使|PM|最小的点 P 的坐标.

解:(1)由方程 x2+y2+2x-4y+3=0 知,

圆心为(-1,2),半径为 2.

当切线过原点时,设切线方程为 y=kx,

|k+2|



= 2.

k2+1

所以 k=2± 6,即切线方程为 y=(2± 6)x.

当切线不过原点时,设切线方程为 x+y=a,

|-1+2-a|





2.所以 a=-1 或 a=3,

2

即切线方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0.

所以切线方程为 y=(2+ 6)x 或 y=(2- 6)x 或 x+y+1=0 或 x+y-3=0. (2)设 P(x1,y1).因为|PO|2+r2=|PC|2, 所以 x21+y21+2=(x1+1)2+(y1-2)2, 即 2x1-4y1+3=0. 要使|PM|最小,只要|PO|最小即可. 当直线 PO 垂直于直线 2x-4y+3=0 时, 即直线 PO 的方程为 2x+y=0 时,|PM|最小,
此时 P 点即为两直线的交点,得 P 点坐标(-130,35). 22.(12 分)如图,已知圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 及点 Q(-2,3).

(1)若点 P(m,m+1)在圆 C 上,求直线 PQ 的斜率以及直线 PQ 与圆 C 的相交弦 PE 的长

度;

(2)若 M(x,y)是圆上任意一点,求yx- +32的最大值和最小值.

解:(1)∵点 P(m,m+1)在圆 C 上,代入圆 C 的方程,解得 m=4,∴P(4,5)

故直线 PQ 的斜率 k=4-5--3

1 =3.因此直线

PQ

的方程为

y-5=13(x-4).

即 x-3y+11=0,而圆心(2,7)到直线的距离

d=|2-3×7+11|= 10

8 =4 10

5 10,

所以 PE=2 r2-d2=2

8-352=2 540=4 510.

(2)∵kMQ=yx- +32,

∴题目所求即为直线 MQ 的斜率 k 的最值,且当直线 MQ 为圆的切线时,斜率取最值.

设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0.

当直线与圆相切时,圆心到直线的距离 d=|2k-71++2kk2+3|=r=2 2.

两边平方,即(4k-4)2=8(1+k2),解得 k=2- 3,或 k=2+ 3. 所以yx- +32的最大值和最小值分别为 2+ 3和 2- 3.


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