1.6微积分基本定理(一)_图文

1.6 微积分基本定理
(一)
高二数学组
2013-1-4 1

问题情景
上节课我们用定积分的定义计算 出?
1

x dx ?
2

1 3

, 但比较麻烦(四步曲),有没

0

有更加简便有效的方法求定积分呢?

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2

回顾:基本初等函数的导数公式
函数 f(x)

c

x

n

s in x c o s x

a
x

x

e

x

lo g a x ln x

导函数 0 n x f′(x)

n ?1

c o s x ? sin x a

ln a e

x

1 x ln a

1 x

新知:基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x)

c

x

n

s in x c o s x

a

x

e e

x

1 x

一个原 c x 1 x n ? 1 ? c o s x s in x a n?1 函数F(x) ln a

x

x

ln | x |
3

知识回顾3:定积分定义
积分上限

积分符号

?
积分下限

b a

f ( x)dx ?
被 积 函 数 积 分 变 量

n

lim

n? ?

?
i ?1

b? a n

? f (? i )

被 积 [ a , b ] 积分区间 表 达 式
4

温故知新1:

问题:
一物体在时刻t的速度y=v(t)。设这个物体在时
间段〔a,b〕内的位移为S,你能用“以直代曲” 方法以v(t)来表示S吗? 从中你能发现导数和定积分的内在联系吗?

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5

n

S ? lim

n? ?

?
i ?1

v (? i ) ? t ?

?

b

v (t ) d t
a

重大发现!
? 由导数的概念可以知道,它在任意时

刻t的速度 v ( t ) ? s ? ( t ) 而这个物 体在时间段〔a,b〕内的位移为 S=s(b)-s(a),由此我们得到:
S ?

?

b a

v (t ) d t ?

?

b a

s ?( t ) d t ? s ( b ) ? s ( a )
6

2013-1-4

牛顿—莱布尼茨公式
定理 (微积分基本定理)

如果

f (x)

是在区间[ a , b ] 上的连续函数,并且

F ?( x ) ? f ( x ), ,则

?a

b

f ( x )dx ? F ( b ) ? F ( a ) .

记:
b

F (b ) ? F ( a ) ? F ( x ) | b a
b

则: ? f ( x)dx ?? F ( x) |a ? F (b) ? F (a) a f(x)是F(x)的导函数 F(x) 是f(x)的原函数
2013-1-4 7

附:

牛顿
牛顿,是英国伟大的数学家、物理学家、 天文学家和自然哲学家。1642年12月25日 生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索 普村,1727年3月20日在伦敦病逝。 ? 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院, 1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲 避瘟疫。这两年里,他制定了一生大多数 重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当 选为三一学院院委,次年获硕士学位。 1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年 任皇家造币厂监督,并移居伦敦。1703年 任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜 封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。 ? 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和 返回 2013-1-4 经典力学的创建。
?

8

莱布尼兹
莱布尼兹,1646~ 1716. 德国数学家、哲学家. 和牛顿同为微积分的创始人; 数理逻辑的创始人。 莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有 人能和他相比,他的著作包括数学、 历史、语言、生物 、地质、机械、物理、法律、外交等 各个方面。
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返回

9

牛刀小试:

试用新法求 ? x d x ?
2 0

1

找出被积函数的原 函数是关键
2

解 : ( x ) ? ? 3 x ,? ( ?
3 2

1 3

x )? ? x .
3

?

?

1 0

x dx ?
2

1 3

x |0 ?
3 1

1 3

?0 ?

1 3

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10

练习1:

? 1 ? ? 1 dx
1 0

1 ? ____
1

? 2 ?? ? 3 ?? ?4 ??
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1

xdx ? ____ 2
1

0 1

0 2

x dx ? ____ 4
3

x dx ? ____
3

15 4

?1

11

小结:
n ?1 b a

公 式 1: x dx ? ?
n a

b

x

n ?1

n ? ?1
2013-1-4 12

计算定积分:

?

2

1 x

dx

1

解 : (ln x ) ? ? ?

1 x

? ? 1
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2

1 x

dx

? ln 2 - ln 1 ? ln 2
13

小结:

公 式 2: ?

b

1 x

d x ? ln x

b a

? ln b ? ln a

a

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14

例1.计算定积分

?
解:
? x

3

1

? ? 3x ?
2

2

1 ? ? ? dx x ?
2

? ?
3

'

1 ? 1 ? ? 3 x ,? ? ? ? 2 x ? x ?

'

? 原式 ?

?

3

3 x dx ?
2

1

?

3

1 x
3
2

dx ?

1

?

3

3 x dx ?
2

1

?

3

1

1 ? ? ?? ? dx ? x ?
2

? x
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3

3 1

?

1 x

3 1

? 1 1 ? 76 ? ?3 ? 1 ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 1?
3

15

达标练习

?1 ? ? ?

?

1

1 3 t ? 2 ?dt ? ___
2

0 2

?2 ?

? ?

1 2

1 ? ? ln 2 ? 2 ? x ? ? dx ? ___ x ? ?
2

3

? 3 ? ?3 x
?1 2

9 ? 2 x ? 1 ?dx ? ___
2

? 4 ? ?e

?

x

? 1 ?dx ? e ? ___

e?1
初等函数
16

1

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例2.计算定积分

? 2t ?1

2

? 3 ?d x

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17

总结
微积分基本定理

?a

b

f ( x )dx ? F ( b ) ? F ( a )

牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之 间的关系.使用的关键是求出原函数。

公 式 1: x dx ? ?
n a

b

x

n ?1 b a

n ?1
b a

公 式 2: ?
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b

1 x

d x ? ln x

? ln b ? ln a
18

a

作业:
? 课本P55.
? A1(1)(3)(5), ? 预习:定积分的简单应用

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