www.ag81363.com:2017_2018学年高中数学第二章参数方程2.4平摆线和渐开线课件北师大版选修4_4_图文

§2.4 平摆线和渐开线 1.了解平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程. 2.了解平摆线和渐开线在实际中的作用. 一、平摆线 1.平摆线(旋轮线) 一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时,我们把圆周上一 定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线),如图所示. = ( - sin) , 半径为 r 的圆的平摆线的参数方程为 (?∞ < < = ( 1- cos) +∞). 2.平摆线(旋轮线)的参数方程 名师点拨根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程,可以知 道其中的字母r是指圆的半径,参数α是过圆周上点M的半径与过圆 与x轴切点的半径的夹角.参数的几何意义可以在解决问题中加以 引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还 要注意其取值的具体情况. 3.平摆线的性质 当圆滚动半周时,过定点M的半径转过的角度是π,点M到达最高 点(πr,2r),再滚动半周,点M到达(2πr,0),这时圆周和x轴又相切于点M, 得到平摆线的一拱.圆滚动一周时,平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是2r,最小值是0,即平摆线的拱高为 2r . 二、渐开线 1.渐开线、基圆 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上,将铅笔系在 绳的外端,把绳拉紧再逐渐地展开,要求绳的拉直部分和圆保持相 切,此时,铅笔尖所画出的曲线称为此圆的渐开线,此圆称为渐开线 的基圆,如图所示. = ( cos + sin) , 半径为 r 的圆的渐开线的参数方程是 ( = ( sin- cos) 其中为参数). 2.渐开线的参数方程 名师点拨根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的 字母r是指基圆的半径,而参数φ是指绳子外端运动时,半径OB相对 于Ox转过的角度,显然点M由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题 时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的 问题,使求解过程更加简单. 【做一做1】 半径为4的圆的渐开线的参数方程为 . 解析:因为圆的半径 r=4, = 4( cos + sin) , 所以圆的渐开线的参数方程为 (为参数). = 4( sin- cos) = 4( cos + sin) , 答案: (为参数) = 4( sin- cos) 【做一做 2】 π 当 φ为 , π 时 , 圆的渐开线 2 = cos + sin, = sin- cos 上对应的点 , 间的距离为 解析 :因为当 φ= 时 , 所以 π , 1 2 π 2 = cos + sin = , = π π π π 2 2 2 2 π π π sin - cos = 1, 2 2 2 . . = cos π + πsin π = -1, 因为当 φ=π时 , = sin π-πcos π = π, 所以 B(-1,π). 故 |AB|= 答案: 2 π +1 2 + (1-π) = 2 5 2 π -π 4 +2 = 5π2 -4π+8 . 2 5π2 -4π+8 2 题型一 题型二 题型三 题型一 求平摆线的参数方程 【例1】 已知一个圆的平摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径 最大时该平摆线的参数方程. = ( - sin) , 分析:根据圆的平摆线的参数方程 (为参数),只需 = ( 1- cos) 把点(2,0)的坐标代入参数方程求出 r 的表达式,根据表达式求出 r 的最大值,再确定对应的平摆线的参数方程即可. 题型一 题型二 题型三 解 :令 y=0,可得 r(1-cos α)=0,由于 r>0, 即得 cos α=1,所以 α=2kπ(k∈ Z). 代入 x=r(α-sin α),得 x=r(2kπ-sin 2kπ). 又因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,即得 r= 则当 代入即可得圆的平摆线的参数方程为 = ( - sin) , π (为参数 ). 1 = ( 1- cos) π 1 1 k=1 时 ,r 取最大值为 . π 1 ( ∈N+). π 反思要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义. 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 在平面直角坐标系中,若圆的平摆线过点(1,0),求 这条平摆线的参数方程. 解 :令 r(1-cos φ)=0,可得 cos φ=1. 所以 φ=2kπ(k∈ Z),代入可得 x=r(2kπ-sin 2kπ)=1, 所以 r= 所以应有 k>0 且 k∈Z,即 k∈N+, 所以所求摆线的参数方程是 = = 1 , 又r 是圆的半径 ,r>0, 2π 1 ( - sin) , 2π (为参数,k∈N+). 1 ( 1- cos) 2π 题型一 题型二 题型三 题型二 求渐开线的参数方程 【例2】 求半径为10的基圆的渐开线的参数方程. 分析:代入参数方程公式即可. 解:因为圆的半径r=10, 所以圆的渐开线的参数方程为 = 10( cos + sin) , (为参数). = 10( sin- cos) 反思求渐开线的参数方程,只需知道半径即可. 题型一 题型二 题型三 【变式训练 2】 已知圆的直径为 2,其渐开线上两点 A,B 对应的 π π 标准形式的参数方程中的参数分别是 和 , 求, 两点的坐标. 3 2 解 :由题意知 r=1,圆的渐开线的参数方程为 = cos + sin, (是参数 ). = sin- cos π π π 1 3π = cos + sin = + , π 3 3 3 2 6 当 φ= 时 , 3 π π π 3 π = sin - cos = - , 3 3 3 2 6 1 3π 3 π 所以点 A 的坐标为 + , - ; 2 6 2 6 π π π π = cos + sin = , π 2 2 2 2 当 φ= 时 , π π π

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