高中126


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绝密★启用前

2014-2015 学年度???学校 6 月月考卷

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 四 五 六 七 八 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.[2014?沈阳模拟]若一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,则燃烧剩下的高 度 h(cm)与燃烧时间 t(小时)的函数关系用图象表示为( )

【答案】B 【解析】依题设可知,蜡烛高度 h 与燃烧时间 t 之间构成一次函数关系, 又∵函数图象必过点(0,20)、(4,0)两点,且该图象应为一条线段.∴选 B. 2.设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈M(M?D)有 x+l∈ D,且 f(x+l)≥f(x),则称 f(x)为 M 上的 l 高调函数,如果定义域为 R 的函数 f(x) 2 2 是奇函数,当 x≥0 时,f(x)=|x-a |-a ,且 f(x)为 R 上的 8 高调函数,那么实 数 a 的取值范围是( ) A. [? 2, 2] 【答案】A 【解析】 B. (?2, 2) C. [?1, 2] D. (? 2,1]

) ?f ( x) 试题分析: 当 a ? 0 时, f ( x) ? x , 则 f (x ?8

, 即 f ( x ) 为 R 上的 8 高调函数;

当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,若 f ( x ) 为 R 上的 8 高调函数,则

3a2 ? (?a2 ) ? 8 ,解得 ? 2 ? a ? 2 且 a ? 0 .综上 ? 2 ? a ? 2 .
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考点:1.新定义题;2.函数图像. 3 . 若 定 义 在 区 间 ? ?2013, 2013? 上 的 函 数 f ( x) 满 足 : 对 于 任 意 的

x1, x2 ?? ?2013, 2013? , 都 有 f ( x1 ? x 2) ? f ( x 1) ? f ( x 2) ? 2012 , 且 x ? 0 时 , 有
f ( x) ? 2012 , f ( x) 的最大值、最小值分别为 M , N ,则 M ? N 的值为(
A.2012 【答案】C 【解析】 试 B.2013 C.4024 D.4026 )











x1 ? x 2 , x1 ? x2 ? ?x1 ? x2 ? , f ?x1 ? ? f ??x1 ? x2 ? ? x2 ? ? f ?x1 ? x2 ? ? f ?x2 ? ? 2012
,

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? x2 ? ? 2012? 0 ,即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 所以 f ?x ? 是单调递增函数,
其 最 大 值 和 最 小 值 是 ,

?, N ? f ?? 2013? M ? f ?2013

? ? f ?? 2013? ? f ?2013? ?? 2013?? ? 2012 , 令 x1 ? x2 ? 0, 代 入 M ? N ? f ?2013
得: f ?0? ? f ?0? ? f ?0? ? 2012,得 f ?0? ? 2012,所以, M ? N ? 4024 ,故选 C. 考点:抽象函数 4.函数 f(x)的定义域为 D,满足:①f(x)在 D 内是单调函数;②存在[ 得 f(x)在[

a b , ] ? D,使 2 2

a b , ]上的值域为[a,b],那么就称函数 y=f(x)为“优美函数”,若函数 2 2
x

f(x)=logc(c -t)(c>0,c≠1)是“优美函数”,则 t 的取值范围为( A. (0,1) B. (0,

)

1 ) 2

C. (-∞,

1 ) 4

D. (0,

1 ) 4

【答案】D 【解析】 x 试题分析:由 f(x)=f(x)=logc(c -t)(c>0,c≠1)是“优美函数” ,知 f(x)在其

a b , x 定义域内为增函数, 因为 f(x)在[ 2 2 ]上的值域为[a, b], 所以方程 f (x) = f(x)=logc(c 1 x 2 x c 2 -t)= x 至少有两个根,故 c -t= ,由此能求出 t 的取值范围.
考点:函数性质的应用. 5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平 方成正比,比例系数为 k(k>0),贷款的利率为 0.048,假设银行吸收的存款能全部放贷
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

出去.若存款利率为 x(x∈(0,0.048)),则 x 为多少时,银行可获得最大收益 ( ). A.0.016 B.0.032 C.0.024 D.0.048 【答案】B 2 3 2 【解析】依题意:存款量是 kx ,银行应支付的利息是 kx ,贷款的收益是 0.048kx ,其 中 x∈(0,0.048). 2 3 所以银行的收益是 y=0.048kx -kx (0<x<0.048), 2 由于 y′=0.096kx-3kx ,令 y′=0 得 x=0.032 或 x=0(舍去), 又当 0<x<0.032 时,y′>0; 当 0.032<x<0.048 时,y′<0, 所以当 x=0.032 时,y 取得最大值,即当存款利率为 0.032 时,银行可获得最大收益. 6.某客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为:不超过 25kg 按 0.5 元/kg 收费,超过 25kg 的部分按 0.8 元/kg 收费,计算收费的程序框图如图所示,则①②处应填 ( )

(A)y=0.8x y=0.5x (B)y=0.5x y=0.8x (C)y=0.8x-7.5 y=0.5x (D)y=0.8x+12.5 y=0.8x 【答案】C 【解析】设行李的质量为 xkg,则所需费用为: y= 即 y= 7.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过 1%.己知在过滤 过程中废气中的污染物数量尸(单位:毫克/升)与过滤时间 t(单位:小时)之间的 -kt 函数关系为:P=P0e , (k,P0 均为正的常数) .若在前 5 个小时的过滤过程中污染物被 排除了 90%.那么,至少还需( )时间过滤才可以排放. A.

1 小时 2

B.

5 小时 9

C.5 小时

D.10 小时

【答案】C 【解析】 试题分析: 设原污染物数量为 a , 则

P0 ? a .由题意有 10%a ? ae?5k ,所以 5k ? ln10 .设

t 小时后污染物的
含量不得超过 1%,则有 1%a ? ae 小时过滤才可 以排放. 考点:函数应用
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? tk

,所以 tk ? 2 ln10 , t ? 10 .因此至少还需 10 ? 5 ? 5

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8.某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一个 奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为 f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中 n 是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均

成绩与该科省平均分之差,f(n)的单位为元),而 k(n)=

现有甲、乙两

(A)P 点 (B)Q 点 (C)R 点 (D)S 点 【答案】B 【解析】 【思路点拨】 分别求出地点选在 P,Q,R,S 时,四个采煤点的煤运到中转站的费用, 然后比较即可. 解:根据题意设 A,B,C,D 四个采煤点每天所运煤的质量分别为 5x,x,2x,3x,正方形的边 长为 l(l>0).运煤的费用与运煤的路程、所运煤的质量都成正比,比例系数为 k,k>0,则 地点选在点 P,其运到中转站的费用为 k(5xl+2xl+6xl+12xl)=25kxl; 地点选在点 Q,其运到中转站的费用为 k(10xl+xl+4xl+9xl)=24kxl; 地点选在点 R,其运到中转站的费用为 k(15xl+2xl+2xl+6xl)=25kxl; 地点选在点 S,其运到中转站的费用为 k(20xl+3xl+4xl+3xl)=30kxl; 综上可知地点应选在 Q,煤运到中转站的费用最少. 【误区警示】本题易因不能准确确定采煤点和中转站的路程关系而导致错误. 10. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些 边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长 x,y 应为( )

(A)x=15,y=12 (C)x=14,y=10

(B)x=12,y=15 (D)x=10,y=14
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位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分 18 分,而乙所教的学生高 考数学平均分超出省平均分 21 分,则乙所得奖励比甲所得奖励多( ) (A)600 元 (B)900 元 (C)1600 元 (D)1700 元 【答案】D 【解析】k(18)=200, ∴f(18)=200?(18-10)=1600(元). 又∵k(21)=300, ∴f(21)=300?(21-10)=3300(元), ∴f(21)-f(18)=3300-1600=1700(元). 故选 D. 9 . 如 图 ,A,B,C,D 是 某 煤 矿 的 四 个 采 煤 点 ,m 是 公 路 , 图 中 所 标 线 段 为 道 路,ABQP,BCRQ,CDSR 近似于正方形.已知 A,B,C,D 四个采煤点每天的采煤量之比约为 5∶ 1∶2∶3,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的质量都成正比.现要从 P,Q,R,S 中选出一 处设立一个运煤中转站 , 使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少 , 则地点应选在 ( )

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【答案】A 【解析】 【思路点拨】利用三角形相似列出 x 与 y 的关系式,用 y 表示 x.从而矩形面积 可表示为关于 y 的函数. 解:由三角形相似得 = ,

得 x= (24-y),由 0<x≤20 得,8≤y<24, ∴S=xy=- (y-12) +180, ∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 11.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一 个月的本地网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打出电 话 150 分钟时,这两种方式电话费相差( )
2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

(A)10 元 (B)20 元 (C)30 元 (D) 元 【答案】A 【解析】由题意可设 sA(t)=kt+20,sB(t)=mt, 又 sA(100)=sB(100),∴100k+20=100m, ∴k-m=-0.2, ∴sA(150)-sB(150)=150k+20-150m=150?(-0.2)+20=-10, 即两种方式电话费相差 10 元. 12.某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(副)的关系式为 y=5x+4000,而手套出厂 价格为每副 10 元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( ) (A)200 副 (B)400 副 (C)600 副 (D)800 副 【答案】D 【解析】利润 z=10x-y=10x-(5x+4000)≥0. 解得 x≥800. 13.某企业为了节能减排,决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电 网,安装这种供电设备的成本费 (单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米) 成正比,比例系数约为

1 ,为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模 2 120 (x>0). 记该企业安装 x?5

式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费 C(单位:万元)与安装的这种太阳 能电池板的面积 x(单位: 平方米)之间的函数关系是 C(x)=

这种太阳能供电设备的费用与该企业 15 年共将消耗的电费之和为 F(x)(万元), 则 F(40) 等于( ) A.80 B.60 C. 40

2 3

D.40

【答案】B 【解析】F(x)=

1 120 x+15? ,F(40)=60 2 x?5

14.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,之 后增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关
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系,可选用( ) A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 【答案】D 【解析】 试题分析:根据基本初等函数的图像与性质可知,一次函数增长的速度一直保持同样, 不满足题意;要满足调整后初期利润增长迅速,如果是二次函数,则必须开口向上,而 此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快, 没有慢下来的可能, 不符合要求; 要满足调整后初期利润增长迅速,如果是指数函数,则底数必是大于 1 的数,而此时指 数函数增长的迅速也是越来越快的,也不满足要求;对于对数函数,当底数大于 1 时, 对数函数增长的速度先快后慢,符合要求,故选 D. 考点:1.函数模型及其应用;2.基本初等函数的图像与性质. 15. 我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4% , 专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍,则函数的图像大致为( )

【答案】D 【解析】 试题分析:设初始年份的荒漠化土地面积为 a(a ? 0) ,则 1 年后荒漠化土地面积为

(1 ? 0.104)a ,2 年后荒漠化土地面积为 [(1 ? 0.104)a] ? (1 ? 0.104) ? (1 ? 0.104)2 a ,3
年后荒漠化土地面积为 [(1 ? 0.104) a] ? (1 ? 0.104) ? (1 ? 0.104) a ,所以 x 年后荒漠
2 3

化 土 地 面 积 为 (1 , 依 题 意 有 y ? a ?( 1 ? 0 . 1 0 4a ? 0 . 1 0a 4) )即 y ? 1.104 ,
x x x

1.104 ? 1 ,由指数函数的图像可知,选 D.
考点:1.指数函数的图像与性质;2.函数模型及其应用. 16.汽车的油箱是长方体形状容器,它的长是 a cm,宽是 b cm,高是 c cm,汽车开始行 3 驶时油箱内装满汽油,已知汽车的耗油量是 n cm /km,汽车行驶的路程 y (km)与油箱 剩余油量的液面高度 x (cm)的函数关系式为

ab (c ? x)(0 ? x ? c) n c (n ? x)(0 ? x ? c) C. y ? ab
A. y ? 【答案】A 【解析】

B. y ?

n (c ? x)(0 ? x ? c) ab ab (n ? x)(0 ? x ? c) D. y ? c

试题分析:汽车行驶的路程 y (km) ,应耗油 ny(cm ) ,所剩油为 (abc ? ny)(cm ) ,油
3 3 2 箱 底 面 面 积 为 ab(cm ) , 所 以 油 箱 剩 余 油 量 的 液 面 高 度 x ?

a b c? n y ,整理得 ab

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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y? ab (c ? x)(0 ? x ? c) ,故 A 正确。 n

考点:实际应用问题,考查函数解析式及分析问题、解决问题的能力。

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 17.某同学为研究函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ?
2 2

? 0 ? x ? 1? 的性质,构造了如图


所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点,设

CP ? x ,则 f ? x ? ? AP ? PF .此时 fmax ( x) ? fmin ( x) =

【答案】 5 ? 2 ? 1 【解析】 试 题 分 析 : 在 直 角 三 角 形 PCF 中 , PF ? CP ? CF
2 2

? 1? x2 , 同 理 可 得

PA ? 1 ? (1 ? x) 2 ,所以 f ? x ? ? AP ? PF ? 1 ? x 2 ? 1 ? (1 ? x) 2 ,当 A、B、C 三
点共线时, f ? x ? ? AP ? PF 取得最小值 5 , 当点 P 在点 B 或 C 时, f ? x ? ? AP ? PF 取得最大值 2 ? 1 ,所以 fmax ( x) ? fmin ( x) = 5 ? 2 ? 1 . 考点:函数的最值问题. 18.某地区预计 2015 年的前 x 个月内对某种商品的需求总量 f ( x ) (万件)与月份 x 的 近似关系式是 f ( x) ?

1 0 1 5 年的第 x 月的需 x( x ? 1)(19 ? x), x ? N * ,1 ? x ? 12 , 则2 75
.

求量 g ( x) (万件)与月份 x 的函数关系式是

g x) = 【答案】 (

1 ( x 13 - x)(x 危N * ,x 12). 25

【解析】 试题分析:由题意得,第 x 个月的需求量等于第 x 个月的需求总量减去第 x-1 个月的需 求总量,当 x=1 时, () 当 2 #x g 1 = (); f 1

12 时, ( g x) =( f x) - ( f x- 1 ). 当

g 1) =( f 1) = x=1 时, (


12 . 25
N*
时 ,

2 #x 12,x

g ) ( = ( ) (x 1)

1 -( 7

)( f

5

) -1 ( x )(

1

= ) 1

f(

7

) 9

x +

1

5

试卷第 8 页,总 128 页

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g x) = 验证 x=1 符合 ( g x) = 故答案为: (

1 1 ( x 13 - x), \ g (x) = ( x 13 - x)(x 危N * ,x 12). 25 25

1 ( x 13 - x)(x 危N * ,x 12). 25
2

考点:函数的模型及其应用 19. (本小题共 12 分)某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。在温室 内,沿左.右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当 矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是多少? 【答案】当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最 2 大种植面积为 648m 。 【解析】 试题分析:从实际意义列出面积表达式 S ? 808 ? 2(a ? 2b). 或 S ? 808 ? 4( x ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

400 ), x

再利用基本不等式求面积的最大值即可。 试题解析:解法一:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab=800 蔬菜的种植面积

S ? (a ? 4)(b ? 2) ? ab ? 4b ? 2a ? 8 ? 808? 2(a ? 2b).

所以 S ? 808? 4 2ab ? 648 (m2 ). 当 a ? 2b,即a ? 40(m),b ? 20(m)时, S最大值 ? 648 (m ).
2

解法二:设温室的长为 xm,则宽为

800 m ,由已知得蔬菜的种植面积 S 为: x 800 1600 S ? ( x ? 2)( ? 4) ? 800 ? 4 x ? ?8 x x 400 400 ? 808 ? 4( x ? ) ? 648 (当且仅当 x ? 即 x=20 时,取“=”) x x

答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种 2 植面积为 648m ....12 分 考点:函数建模,基本不等式。 2 20.如图,两直立矮墙成 135°二面角,现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为 54m 的直角梯形菜园(墙足够长) ,已知修筑篱笆每米的费用为 50 元,则修筑这个菜园的最 少费用为 _____元.
1350

【答案】900 【解析】 试题分析:设 BD ? x ,篱笆长度为 y ,则 CD ? y ? x , AB ? y ? 2 x ,直角梯形的面 积为

54 3x 3 y ? 2x ? y ? x ? x ? 54 ,所以 y ? ? ? 2 54 ? ? 18 ,故修筑这个菜园 2 x 2 2

的最少费用为 900 元

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考点:不等式的应用 21.一弹簧在弹性限度内,拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比,如果 20N 的 力能使弹簧伸长 3cm ,则把弹簧从平衡位置拉长 6cm (在弹性限度内)时所做的功为 __________. (单位:焦耳) 【答案】 1.2 【解析】试题分析:设 拉 伸 弹 簧 所 用 的 力 为 ( ,弹簧伸长的长度为 f x)

xm,( f x) ? kx.
由 F ? 20 N,x ? 0.03m, 即 20 ? 0.03k,k ?

2000 , 3

2000 x, 则 把 弹 簧 从 平 衡 位 置 拉 长 6cm( 在 弹 性 限 度 内 )时 所 做 的 功 3 0.06 2000 2000 2 0.06 xdx ? x |0 ? 1.2 . 为: ? 0 3 3 f x) ? 则 (
考点:1.弹力;2.定积分的应用. 22.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 40000 元。若每批生产 x 件,则 平均仓储时间为

x 天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元。 为使平均每件产品的生产准 4


备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品的件数为 【答案】400. 【解析】设每批生产 x 件,则平均仓储时间为

x 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 4

元,则仓储费用为

x2 x2 ,总费用为 40000? ;则平均每件产品的生产准备费用与仓 4 4

x2 40000 ? 4 ? 40000 ? x ;则 y ? 40000 ? x ? 2 40000 ? x ? 200 (当 储费用 y ? x x 4 x 4 x 4
且仅当

40000 x ? ,即 x ? 400 时,平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最 x 4

小). 考点:函数模型的应用、基本不等式. 23.已知 a ? 1 ,那么 a ? 【答案】3 【解析】 试题分析:由于 a ? 1 ,所以 a ? 考点:基本不等式的应用.
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1 的最小值是 ________ . a ?1

1 1 1 ? ?a ? 1? ? ? 1 ? 2 ?a ? 1?? ?1 ? 3 a ?1 a ?1 a ?1

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

24.某种产品按下列三种方案两次提价.方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%;方 案乙: 第一次提价 q%, 第二次提价 p%; 方案丙: 第一次提价 其中 p>q>0,上述三种方案中提价最多的是________. 【答案】丙提价最多 【解析】设原来价格为 A ,方案甲:经两次提价后价格为 A ?1 ?

q? p q? p %, 第二次提价 %. 2 2

? ?

p ?? q ? ??1 ? ?= 100 ?? 100 ?

A ?1 ?

? ?

p?q pq ? p ?? q ? ? ? ? ;方案乙:经两次提价后价格为 A ?1 ? ??1 ? ? ;方案丙: 100 10000 ? ? 100 ?? 100 ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

经 两 次 提 价 后 价 格 为 A ?1 ?

? ?

2 ?? p ? q ? 2 p?q 1 ? p?q? = A[1 + + ?? ? .因为 ? ? ? 200 200 10000 200 ? ? ? ? ? ? ?

q? p > pq ,所以方案丙提价最多 2
25 .某商品在近 30 天内每件的销售价格 P( 元 ) 与时间 t( 天 ) 的函数关系为 P =

0 ? t ? 25,t ? N, ?t+20, 且该商品的日销售量 Q 与时间 t(天)的函数关系为 Q= ? 100, 25 ? t ? 30,t ? N, ?-t+
-t+40(0<t≤30,t∈N),则这种商品日销量金额最大的一天是 30 天中的第________ 天. 【答案】25 【 解 析 】 设 日 销 量 金 额 为 W 元 , 则 W = P?Q =

( 0 ? t ? 25,t ? N ? t+20)(-t+40), ? (- 100)(-t+40), 25 ? t ? 30,t ? N, ? t+
当 0<t<25,t∈N 时,W(t)<W(25);当 25≤t≤30,t∈N 时,W(t)≤W(25). 26.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v(单位:m/s)和燃料的质量 M(单位: kg)、火箭(除燃料外)的质量 m(单位:kg)的函数关系式为 v=2000ln ? 1+ 质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可以达到 12km/s. 6 【答案】e -1 【解析】由 2000ln ? 1+

? ?

M m

? ? .当燃料 ?

? ?

M m

M M ? 6 6 ? =12000,得 1+ m =e ,所以 m =e -1. ?

27. 已知某种产品今年产量为 1000 件, 若计划从明年开始每年的产量比上一年增长 10%, 则 3 年后的产量为________件. 【答案】1331 3 【解析】1000?(1+10%) =1331. 28.某地高山上温度从山脚起每升高 100m 降低 0.6℃.已知山顶的温度是 14.6℃,山脚 的温度是 26℃,则此山的高为________m. 【答案】1900 【解析】(26-14.6)÷0.6?100=1900. 29.用长为 90cm、宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个 小正方形,然后把四边翻折 90°角,再焊接而成,则该容器的高为________cm 时,容 器的容积最大.
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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

【答案】10 【解析】设容器的高为 xcm,即小正方形的边长为 xcm,该容器的容积为 V,则 V=(90 3 2 2 -2x)(48-2x)x=4(x -69x +1080x), 0<x<12, V′=12(x -46x+360)=12(x-10)(x -36),当 0<x<10 时,V′>0;当 10<x<12 时,V′<0.所以 V 在(0,10]上是增函数,在 [10,12)上是减函数,故当 x=10 时,V 最大. 3 2 30.若函数 f(x)=x +x -2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考 数据如下: f(1)=-2 f(1.375)=-0.260
3 2

f(1.5)=0.625 f(1.4375)=0.162

f(1.25)=-0.984 f(1.40625)=-0.054

【答案】③ 【解析】由于 y 表示该同学离 B 地的距离,所以答案在①③中选,又随路程的增加速度 减小,一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半,故选③. 32.将边长为 1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯 形,记 s=

? 梯形的周长 ?
梯形的面积

2

,则 s 的最小值是

.

【答案】

32 3 3

【解析】如图所示,设梯形上底边长为 x(0<x<1), 则梯形两腰长为 1-x,高为

3 (1-x). 2

? x ? 1 ? 2 ?1 ? x ?? ? s= ? 1 3 ? x ? 1? ? ?1 ? x ? 2 2
2

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那么方程 x +x -2x-2=0 的一个近似根为________(精确到 0.1). 【答案】1.4 【解析】f(1.40625)=-0.054<0,f(1.4375)=0.162>0 且都接近 0,由二分法可知其 根近似于 1.4. 31.某同学从 A 地跑步到 B 地,随路程的增加速度减小.若以 y 表示该同学离 B 地的距 离,x 表示出发后的时间,则下列图象中较符合该同学走法的是____________.(填序 号)

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

=

?3 ? x ?

2

3 1 ? x2 ? ? 4

=-

? x ? 3? . 4 ? 2 x ?1 3
2 2

? x ? 3? 令 u(x)=
∵u′(x)=

x2 ?1

,0<x<1.
2

2 ? x ? 3? ? x2 ? 1? ? 2 x ? x ? 3?

?x

2

? 1?

2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

=

2 ? x ? 3?? 3x ? 1?

? x2 ?1?

2

,

∴当 0<x< 当

1 时,u′(x)>0,u(x)单调递增; 3

1 <x<1 时,u′(x)<0,u(x)单调递减, 3 1 ∴当 x= 时,u(x)最大,s 最小, 3

?1 ? ? ? 3? 4 3 ? smin=?? 2 3 ?1? ? ? ?1 ?3?
=

2

32 3
32 3 . 3

=

33.在某条件下的汽车测试中,驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘 得到如下信息: 时间 10:00 11:00 注:油耗= 平均油耗= 油耗(升/100 千米) 9.5 9.6 ,可继续行驶距离= . (填上所有正确判断的序号). 可继续行驶距离(千 米) 300 220 ;

从以上信息可以推断在 10:00-11:00 这一小时内 ①行驶了 80 千米; ②行驶不足 80 千米; ③平均油耗超过 9.6 升/100 千米;

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

④平均油耗恰为 9.6 升/100 千米; ⑤平均车速超过 80 千米/小时. 【答案】②③ 【解析】实际用油为 7.38 升. 设 L 为 10:00 前已用油量,Δ L 为这一个小时内的用油量,s 为 10:00 前已行驶距离,Δ s 为这一个小时内已行驶的距离 得 L+Δ L=9.6s+9.6Δ s, 即 9.5s+Δ L=9.6s+9.6Δ s,Δ L=0.1s+9.6Δ s, = +9.6>9.6.

所以③正确,④错误. 这一小时内行驶距离小于 ?100=76.875(千米),所以①错误,②正确.

⑤由②知错误. 34.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液 中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据 《道路交通安全法》 规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员, 至少经过 小时,才能开车(精确到 1 小时). 【答案】5 【解析】设 x 小时后,该驾驶员血液中的酒精含量不超过 0.09mg/mL,则有 0.3?( ) ≤ 0.09,即( ) ≤0.3,估算或取对数计算得至少 5 小时后,可以开车. 35.某辆汽车购买时的费用是 15 万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万元.年维修保养费用第一年 3 000 元,以后逐年递增 3 000 元,则这辆汽车报废的最 佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是________. 【答案】10 【解析】设最佳使用年限为 x 年,年平均费用为 y 万元,则 y=
x x

15+ 1.5 x+

( x x+) 1 ? 0.3 15 2 = +0.15x+1.65≥4.65,此时 x=10. x x
a 的取值范围是 b

36.将一个长宽分别是 a,b(0<b<a)的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一个 无盖的长方体的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则 ________. 【答案】 ?1, ?

? 5? ? 4? ? ? b? ?, 2?

【解析】设切去正方形的边长为 x,x∈ ? 0, 则该长方体外接球的半径为 r=
2

1 2 2 2 [(a-2x) +(b-2x) +x ] 4
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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?



1 ? b? 2 2 2 [9x -4(a+b)x+a +b ],在 x∈ ? 0, ? 4 ? 2?

存在最小值时,必有

2 ?a ? b? b < , 2 9

解得

a 5 a < ,又 0<b<a? >1, b 4 b



a ? 5? 的取值范围是 ?1, ? . b ? 4?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

37.一块形状为直角三角形的铁皮,两直角边长分别为 40 cm、60 cm,现要将它剪成 2 一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是________cm . 【答案】600 【解析】设直角边为 40 cm 和 60 cm 上的矩形边长分别为 x cm、y cm,则

40 ? x y ? , 40 60

解得 y=60-

3 3 3 ? ? x.矩形的面积 S=xy=x ? 60 ? x ? =- (x-20)2 +600,当 x=20 2 2 2 ? ?

时矩形的面积最大,此时 S=600. 38.设 y=f(x)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0≤t≤24.下表是 该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:

t y

0 5.0

3 7.5

6 5.0

9 2.5

12 5.0

15 7.5

18 5.0

21 2.5

24 5.0

经长期观察,函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y=h+Asin (ω +φ )的图象, 写出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是______. 【答案】y=5.0+2.5sin

? t. 6

【解析】由数据可知函数的周期 T=12,又 T=12= 所以 ω =

? ,函数的最大值为 7.5,最小值为 2.5,即 h+A=7.5,h-A=2.5,解得 h 6

2? , ?

=5.0,A=2.5. 所以函数为 y=f(x)=5.0+2.5sin ( 又 y=f(3)=5.0+2.5sin ( 所以 sin (

?
6

t ??)

?
6

? 3 ? ? ) =7.5,

?
2

? ? ) =cos φ =1,即 φ =2kπ ,k∈Z,

故 y=5.0+2.5sin

? t 6

评卷人

得分 三、判断题(题型注释)

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

评卷人

得分 四、连线题(题型注释)

评卷人

得分 五、综合题(题型注释)

评卷人

得分 六、简答题(题型注释)

评卷人

得分 七、解答题

39. (本小题满分 14 分)小张于年初支出 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种 费用需支出 6 万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该车每年 的运输收入均为 25 万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为 二手车出售,若该车在第 x 年年底出售,其销售收入为 25 ? x 万元(国家规定大货车的 报废年限为 10 年) . (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润 最大?(利润=累计收入 ..... +销售收入-总支 出) 【答案】 (1)3(2)5 【解析】 试题分析: (1)先分别列运输累计收入为 25 x ,总支出为
1 [6 x ? x( x ? 1) ? 2] ? 50 2 ,再列

1 ?[6x ? x( x ? 1) ? 2] ? 50 ?(25 ? x) 2 不等式,解一元二次不等式即可(2)先列利润: 25 x , 1 25 x ? [6 x ? x( x ? 1) ? 2] ? 50 ? (25 ? x) 2 x 平均利润为 ,再利用基本不等式求最值即可 试题解析: (1)设大货车到第 x 年年底的运输累计收入与总支出的差为 y 万元,

则 y ? 25x ? [6 x ? x( x ? 1)] ? 50, (0<x ≤10,x ? N) , 由-x2+20x-50>0,可得 10-5 ∵2<10-5 <x<10+5

<3,故从第 3 年,该车运输累计收入超过总支出;

(2)∵利润=累计收入+销售收入-总支出, ∴二手车出售后,小张的年平均利润为 =19-(x+ )≤19-10=9 当且仅当 x=5 时,等号成立 ∴小张应当再第 5 年将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大. 考点:函数实际应用,基本不等式求最值 40.如图,某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30?方向的两条街道,某公园 P 位于

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

tan ? ? 3 3 ) 商业中心北偏东 ? 角( 0<? < , ,且与商业中心 O 的距离为 21 公里 2
处,现要经过公园 P 修一条直路分别与两条街道交汇于 A,B 两处。

?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

(1)当 AB 沿正北方向时,试求商业中心到 A,B 两处的距离和; (2)若要使商业中心 O 到 A,B 两处的距离和最短,请确定 A,B 的最佳位置。 【答案】 (1)13.5km. (2)商业中心到 A、B 两处的距离和最短为 9km,此时 OA=6km, OB=3km 【解析】

试题分析: (1)建立直角坐标系表示图中各量关系是解题关键:

OA ? OP ? sin ? ?

9 2,

OB=2OA=9,商业中心到 A、B 两处的距离和为 13.5km. (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设
y? 3 9 3 9 ? k(x ? ) OA ? ? ? 2 2 ,则 2k 2 , 又 直 线 OB 的 方 程 为 y ?

AB :

3x , 所 以

xB ?

9k ? 3 2(k ? 3) ,

OB ? 2 xB ?

3 9 9k ? 3 9k ? 3 y ? OA ? OB ? ? ? ? 2k 2 k ? 3 ,其 k ? 3 ,从而
3

k ?? 3 时, y 有极小值也是最小值为 9km;此 中 k ? 3 ,或 k ? 0 .利用导数可得当

时 OA=6km,OB=3km, 试题解析:
y B

P O A x

(1)以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴建立坐标系.设 P(m, n) ,

0 ?? ?


?

2 , tan ? ? 3 3 ∴

cos ? ?

7 3 21 sin ? ? 14 , 14 ,

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?



m ? OP ? sin ? ?

9 3 n ? OP ? cos ? ? 2, 2 ,

4分 7

9 依题意,AB⊥OA,则 OA= 2 ,OB=2OA=9,商业中心到 A、B 两处的距离和为 13.5km.

分 (2) 方法 1:当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB:
3 9 y? 3 9 ? k(x ? ) 2 2 ,①

xA ? ? ? 2k 2 ;由题意,直线 OB 的方程为 y ? 3x ,② 令 y ? 0 ,得

xB ?
解①②联立的方程组,得

9k ? 3 2(k ? 3) ,∴

2 2 OB ? xB ? yB ? 2 xB ?

9k ? 3 k? 3 ,

y ? OA ? OB ? ?


3 9 9k ? 3 ? ? 2k 2 k ? 3 , 由 xA ? 0 , xB ? 0 , 得 k ? 3 , 或

k ? 0.
y' ? ?8 3 (k ? 3)
2

11 分

?

3 ? 3(3k ? 3)(5k ? 3) 3 ? k ?? 2k 2 2k 2 (k ? 3) 2 y ' ? 0 3 , ,令 ,得



k??

3 3 ? ?k ?0 y y ' ? 0 3 时, , 是减函数;当 3 时, y ' ? 0 , y 是增函数,
3 3 时, y 有极小值为 9km;当 k

∴当

k ??

? 3 时, y ' ? 0 , y 是减函数,结合(1)

知 y ? 13.5 km. 综上所述,商业中心到 A、B 两处的距离和最短为 9km,此时 OA=6km,OB=3km, 方法 2:如图,过 P 作 PM//OA 交 OB 于 M,PN//OB 交 OA 于 N,设∠BAO= ? ,

B 北 M O N P A

PN ON OP ? ? ? △OPN 中 sin(90 ? ? ) sin(? ? 30 ) sin120 ,得 PN=1,ON=4=PM,
PN NA sin(120? ? ? ) ? NA ? ? sin ? △PNA 中∠NPA=120°- ? ∴ sin ? sin(120 ? ? ) 得
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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

BM PM 4sin ? ? MB ? ? sin(120? ? ? ) , 同理在△PMB 中, sin ? sin(120 ? ?) ,得

y ? OA ? OB ?
13 分

sin(120? ? ? ) 4sin ? ? ?1? 4 ? 2 4 ? 5 ? 9 sin ? sin(120? ? ? )



? sin(120 ?? ) 4 sin ? 3 ? tan ? ? ? ? sin ? sin(120 ? ? ) 3 时取 当且仅当 即 sin(120 ? ? ) ? 2sin ? 即

等号.
9 2 ? 4 3 m? 9 A( ? 4, 0) 3m ? 2 ,得 2m ? 1 2 方法 3:若设点 B(m, 3m) ,则 AB: , y? x? 3 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

OA ? OB ? 2m ?
∴ 13 分

4 4 ? 4 ? 2m ? 1 ? 1 ? ?4?9 2m ? 1 2m ? 1



2m ? 1 ?
当且仅当

4 3 m? 2m ? 1 即 2 时取等号.

y?0 x?n ? 2 1 9 3 xB ? ? ?n ? 0 2 n?4 2 , 方法 4:设 A( n, 0) ,AB: 2 ,得

OA ? OB ? n ? 2 xB ? n ? 4 ? 4 ?
13 分

4 4 ? 1 ? (n ? 4) ? ?5? 9 n?4 n?4



n?4?
当且仅当

4 n ? 4 即 n ? 6 时取等号.
15

答:A 选地址离商业中心 6km,B 离商业中心 3km 为最佳位置. 分 考点:函数解析式,利用导数求最值
?

41.两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一点 C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃 圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y.统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与 所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 AB 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 AB 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处 理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明
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? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

理由。 【答案】 (1) y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) ; (2)当 C 点到城 A 的距离为 4 10 时. 2 x 400 ? x 2

【解析】 试题分析: ( 1 )根据实际问题构造数学模型,直径所对的圆周角为直角,进而得到

BC 2 ? AB2 ? AC 2
(2)根据(1)得到的 y 关于 x 的函数,利用 ? 400 ? x 2 ,进而得到 y 关于 x 的函数; 求导得到原函数在区间 ? 0, 20? 内的单调性,进而求得其最小值. 试题解析: (1)如图,由题意知

2 2 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?

4 k ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

其中当 x ? 10 2 时, y ? 0.065 ,所以 k ? 9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ? (2) y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) . 2 x 400 ? x 2

8 9 ? (?2 x) 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 4 9 ? , ,令 y ' ? 0 得 y ' ? ? ? ? x 2 400 ? x 2 x3 (400 ? x 2 )2 x3 (400 ? x 2 )2

18x4 ? 8(400 ? x2 )2
2 , 所以 x ? 160 , 即 x ? 4 10 , 当 0 ? x ? 4 10 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 即 y ' ? 0 所

以函数为单调减函数,当 4 6 ? x ? 20 时, 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,即 y ' ? 0 所以函数为 单 调 增 函 数 . 所 以 当 x ? 4 10 时 , 即 当 C 点 到 城 A 的 距 离 为 4 10 时 , 函 数

y?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2

考点:1.数学模型;2.利用导函数求最值. 42. (本小题满分 12 分)某大型企业一天中不同时刻的用电量 y (单位:万千瓦时)关 于 时 间 t ( 0 ? t ? 24 , 单 位 : 小 时 ) 的 函 数 y ? f (t ) 近 似 地 满 足

f (t ) ? A sin(?t ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) ,下图是该企业一天中在 0 点至 12
点时间段用电量 y 与时间 t 的大致图象.

试卷第 20 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

(Ⅰ)根据图象,求 A , ? , ? , B 的值; (Ⅱ)若某日的供电量 g (t ) (万千瓦时)与时间 t (小时)近似满足函数关系式 .当该日内供电量小于该企业的用电量时,企业就必须 g (t ) ? ?1.5t ? 20( 0 ? t ? 12 ) 停产.请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻(精确度 0.1). 参考数据:

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

t (时)

10

11

12 2.5 2

11.5 2.48 2.75

11.25 2.462 3. 125

11.75 2.496 2.375

11.625 2.490 2.563

11.6875 2.493 2.469

f (t ) (万千瓦时) 2.25 2.433 g (t ) (万千瓦时)
5 3.5

【答案】 (Ⅰ) A ? 【解析】

1 ? 1 ? ,? ? ,? ? , B ? ; (Ⅱ)11.625 时(允许取近似值) 2 6 2 2

试题分析: (Ⅰ)利用图形语言,可以逐一求得 A , ? , ? , B 的值; (Ⅱ)即是求 f (t)与 g(t)的交点横坐标,利用二分法求零点的策略,可以逐步缩小交点横坐标的 范围,达到 0.1 的精确度即可. 试题解析: (Ⅰ)由图知 T ? 12 , ? ?

?

A?

ymax ? ymin 2

∴ y ? 0.5sin(

?
6

6 y ? ymin 2.5 ? 1.5 2.5 ? 1.5 1 ? ? , B ? max ? ? 2. 2 2 2 2 x ? ?) ? 2 .



1分

2分

又函数 y ? 0.5sin( 代入,得 ? ? 综上, A ? 即 f (t ) ?

?
6

x ? ? ) ? 2 过点 (0, 2.5) .

?
2

? 2k? ,又 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

?
2

. 1分

2分

1 ? ? sin( t ? ) ? 2 . 2 6 2

1 ? 1 ? ,? ? ,? ? , B ? . 2 6 2 2

(Ⅱ)令 h(t ) ? f (t ) ? g (t ) ,设 h(t0 ) ? 0 ,则 t0 为该企业的停产时间.
试卷第 21 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

由 h(11) ? f (11) ? g (11) ? 0 , h(12) ? f (12) ? g (12) ? 0 ,则 t0 ? (11,12) . 又 h(11.5) ? f (11.5) ? g (11.5) ? 0 ,则 t0 ? (11.5,12) . 又 h(11.75) ? f (11.75) ? g (11.75) ? 0 ,则 t0 ? (11.5,11.75) . 又 h(11.625) ? f (11.625) ? g (11.625) ? 0 ,则 t0 ? (11.625,11.75) . 又 h(11.6875) ? f (11.6875) ? g (11.6875) ? 0 ,则 t0 ? (11.625,11.6875) . 4 分 ∵ 11.6875 ? 11.625 ? 0.0625 ? 0.1 . ∴应该在 11.625 时停产. ( 也 可 直 接 由 1分 1分

h(11.625) ? f (11.625) ? g (11.625) ? 0



h(11.6875) ? f (11.6875) ? g (11.6875) ? 0 , 得 出 t0 ? (11.625,11.6875) ; 答 案 在
11.625—11. 6875 之间都是正确的; 若换算成时间应为 11 点 37 分到 11 点 41 分停产) 考点:三角函数图象与性质,恒等变形,二分法求零点,数学知识和方法的实际应用 43. (本小题满分 12 分)某大型企业一天中不同时刻的用电量 y (单位:万千瓦时)关 于 时 间 t ( 0 ? t ? 24 , 单 位 : 小 时 ) 的 函 数 y ? f (t ) 近 似 地 满 足

f (t ) ? A sin(?t ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) ,下图是该企业一天中在 0 点至 12
点时间段用电量 y 与时间 t 的大致图象.

(Ⅰ)根据图象,求 A , ? , ? , B 的值; (Ⅱ)若某日的供电量 g (t ) (万千瓦时)与时间 t (小时)近似满足函数关系式 .当该日内供电量小于该企业的用电量时,企业就必须 g (t ) ? ?1.5t ? 20( 0 ? t ? 12 ) 停产.请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻(精确度 0.1). 参考数据:

t (时)

10

11

12 2.5

11.5 2.48

11.25 2.462

11.75 2.496

11.625 2.490

11.6875 2.493

f (t ) (万千瓦时) 2.25 2.433

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

g (t ) (万千瓦时)

5

3.5

2

2.75

3. 125

2.375

2.563

2.469

【答案】 (Ⅰ) A ? 【解析】

1 ? 1 ? ,? ? ,? ? , B ? ; (Ⅱ)11.625 时(允许取近似值) 2 6 2 2

试题分析: (Ⅰ)利用图形语言,可以逐一求得 A , ? , ? , B 的值; (Ⅱ)即是求 f (t)与 g(t)的交点横坐标,利用二分法求零点的策略,可以逐步缩小交点横坐标的 范围,达到 0.1 的精确度即可. 试题解析: (Ⅰ)由图知 T ? 12 , ? ?

?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

A?

ymax ? ymin 2

∴ y ? 0.5sin(

?
6

6 y ? ymin 2.5 ? 1.5 2.5 ? 1.5 1 ? ? , B ? max ? ? 2. 2 2 2 2 x ? ?) ? 2 .



1分

2分

又函数 y ? 0.5sin( 代入,得 ? ? 综上, A ? 即 f (t ) ?

?
6

x ? ? ) ? 2 过点 (0, 2.5) .

?
2

? 2k? ,又 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

?
2

. 1分

2分

1 ? ? sin( t ? ) ? 2 . 2 6 2

1 ? 1 ? ,? ? ,? ? , B ? . 2 6 2 2

(Ⅱ)令 h(t ) ? f (t ) ? g (t ) ,设 h(t0 ) ? 0 ,则 t0 为该企业的停产时间. 由 h(11) ? f (11) ? g (11) ? 0 , h(12) ? f (12) ? g (12) ? 0 ,则 t0 ? (11,12) . 又 h(11.5) ? f (11.5) ? g (11.5) ? 0 ,则 t0 ? (11.5,12) . 又 h(11.75) ? f (11.75) ? g (11.75) ? 0 ,则 t0 ? (11.5,11.75) . 又 h(11.625) ? f (11.625) ? g (11.625) ? 0 ,则 t0 ? (11.625,11.75) . 又 h(11.6875) ? f (11.6875) ? g (11.6875) ? 0 ,则 t0 ? (11.625,11.6875) . 4 分 ∵ 11.6875 ? 11.625 ? 0.0625 ? 0.1 . ∴应该在 11.625 时停产. ( 也 可 直 接 由 1分 1分

h(11.625) ? f (11.625) ? g (11.625) ? 0



h(11.6875) ? f (11.6875) ? g (11.6875) ? 0 , 得 出 t0 ? (11.625,11.6875) ; 答 案 在
11.625—11. 6875 之间都是正确的; 若换算成时间应为 11 点 37 分到 11 点 41 分停产) 考点:三角函数图象与性质,恒等变形,二分法求零点,数学知识和方法的实际应用 44.某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10 万元.为了增加企业竞争力,决 定优化产业结构,调整出 x (x∈ N ? )名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年
试卷第 23 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

3x ? ? 创造利润为 10 ? a ? ? 万元 (a> 0) ,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 500 ? ?
0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润,则最 多调整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的 年总利润,则 a 的取值范围是多少? 【答案】 (1)500, (2) ? 0,5? . 【解析】 试题分析: (1)原来 1000 名员工创造的年总利润为 10?1000,剩余员工创造的年总利 润为 10(1000-x)(1+0.2x %),由题意得 10(1000-x)(1+0.2x %)≥10?1000,即 x
2

-500x≤0,0<x≤500.即最多调整 500 名员工从事第三产业. (2)由题意得不等式

3x ? 1 ? ? ? 2x2 10 ? a ? x? ? x 10(1000 ? x) ?1 ? 500 ? ≤ ? ? 500 ? 对 0<x≤500 恒成立, 所以 ax≤ 500 +1000+ 2 x 1000 2x 1000 2x 1000 2 ? x, 即 a≤ 500 + x +1 对 0<x≤500 恒成立. 因为 500 + x ≥ 500 x =4,

2x 1000 当且仅当 500 = x ,即 x=500 时等号成立,所以 a≤5,又 a>0,所以 0<a≤5.所
以 a 的取值范围为(0, 5] . 试题解析:解: (1)由题意,得 10(1000-x)(1+0.2x %)≥10?1000,即 x -500x≤0, 又 x>0,所以 0<x≤500.即最多调整 500 名员工从事第三产业. 5分
2

3x ? ? 10 ? a ? ?x 500 ? 万元, (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 ? 1 ? ? 10(1000 ? x) ?1 ? x? ? 500 ? 万元, 从事原来产业的员工的年总利润为 3x ? 1 ? ? ? 10 ? a ? x? ? x 10(1000 ? x) ?1 ? 500 500 ? ? ? ?, 则 ≤
3x 2 1 2 x 500 所以 ax- ≤1000+2x-x- 500 , 2x2 2x 1000 所以 ax≤ 500 +1000+x,即 a≤ 500 + x +1 恒成立.

8分

11 分

2 x 1000 2x 1000 2x 1000 2 ? 因为 500 + x ≥ 500 x =4,当且仅当 500 = x ,
即 x=500 时等号成立,所以 a≤5,又 a>0,所以 0<a≤5.
试卷第 24 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

所以 a 的取值范围为(0, 5] . 考点:不等式恒成立

14 分

45. (本小题满分 12 分) 有一种新型的洗衣液, 去污速度特别快.已知每投放 k (1 ? k ? 4 且 k ? R ) 个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度 y (克/升)随 着 时 间 x ( 分 钟 ) 变 化 的 函 数 关 系 式 近 似 为 y ? k ? f ( x) , 其 中

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? 16 ? 1 ? 0 ? x ? 5? ? ?9 ? x f ( x) ? ? .根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于 4 (克/升) 2 2 ?11 ? x ? 5 ? x ? 16 ? ? 45 ?
时,它才能起到有效去污的作用. (Ⅰ)若投放 k 个单位的洗衣液,3 分钟时水中洗衣液的浓度为 4 (克/升) ,求 k 的值 ; (Ⅱ)若投放 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟? 【答案】 (Ⅰ) k ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将 x ? 3 代入 k (

12 ; (Ⅱ)14. 5 16 ? 1) ? 4 ,求得 k 的值; 9? x

? 16 4( ? 1) ? 0 ? x ? 5? ? ? 9? x (Ⅱ)当 k ? 4 时, y ? ? ,当 0 ? x ? 5 时,由 y ? 4 ,解 ?4(11? 2 x 2 ) ? 5 ? x ? 16? ? 45 ?
得 1 ? x ? 5 ;当 5 ? x ? 16 时,由 y ? 4 ,解得 5 ? x ? 15 ;所以 1 ? x ? 15 ,故有效去 污时间可达 14 分钟.对于函数应用问题,要仔细审题,认真领悟题中每一句话的意思, 特别是能列出数学关系式的语句要做为重点,反复研读,然后准确建立数学模型,再正 确求解,并检验所得结果是否合理;若不合理,要查明出错原因,重新建模求解;若合 理,则需将求得数学结果回归到实际问题中;应用分段时,要注意自变量取值范围与解 析式相适应. 试题解析: (Ⅰ)由题意知, k (

12 16 ? 1) ? 4 ,解得 k ? ; 5 9?3

3分

? 16 4( ? 1) ? 0 ? x ? 5 ? ? ? 9? x (Ⅱ)当 k ? 4 ,所以 y ? ? ?4(11 ? 2 x 2 ) ? 5 ? x ? 16 ? ? 45 ?
∴当 0 ? x ? 5 时,由 4(

5分

16 8分 ? 1) ? 4 解得 x ? 1,所以 1 ? x ? 5 ; 9? x 2 2 2 x )?4, 当 5 ? x ? 16 时, 由 4(11 ? ∴ x ? 225 , ∴ ?15 ? x? 15 ; 所以 5 ? x ? 15 45
11 分 综上,满足条件的 x 的取值范围为 1 ? x ? 15 ,故若投放 4 个单位的洗衣液,则有效去 污时间可达 14 分钟. 12 分
试卷第 25 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

考点:分段函数的应用. 46. (本小题满分 12 分)如图,某广场要划定一矩形区域 ABCD,并在该区域内开辟出 三块形状大小相同的小矩形绿化区, 这三块绿化区四周和绿化区之间均设有 1 米宽的走 道,已知三块绿化区的总面积为 200 平方米,求该矩形区域 ABCD 占地面积的最小值.

则 3xy=200,所以 y ?

200 ( x ? 0) . 3x

3分

设矩形区域 ABCD 的面积为 S,则

S ? (3x ? 4)( y ? 2) ? (3x ? 4)(
10 分 当且仅当 6 x ?

200 800 ? 2) ? 208 ? 6 x ? ? 208 ? 2 1600 ? 288 . 3x 3x

800 20 , 即x ? 时取等号. 3x 3

所以,矩形区域 ABCD 的面积的最小值为 288 平方米. 12 分 考点:1.基本不等式.2.函数的最值问题. 47. (本题满分 14 分)甲、乙两地相距 12km.A 车、B 车先后从甲地出发匀速驶向乙地.A 车从甲地到乙地需行驶 15min;B 车从甲地到乙地需行驶 10min.若 B 车比 A 车晚出发 2min: (1)分别写出 A、B 两车所行路程关于 A 车行驶时间的函数关系式; (2) A、B 两车何时在途中相遇?相遇时距甲地多远?

?0, 0 ? x ? 2, ? 【答案】 (1) g ( x) ? ?1.2( x ? 2), 2 ? x ? 12, ?12, 12 ? x ? 15. ?
(2)A、B 两车在 A 车出发 6 min 时途中相遇,相遇时距甲地 4.8km 。 【解析】 试题分析:匀速行驶的路程与时间关系是:路程=速度 ? 时间;首先分析 A 车的速度为

12 ? 0.8(km / min) ,于是 A 行驶的路程 f ( x) 与行驶的时间 x 之间的函数关系为 15 12 12 x ,即 f ( x) ? 0.8x (0 ? x ? 15) ;再分析 B 车的速度为 ? 1.2( km / min) , f ( x) ? 10 15 0 ? x ? 2 由于 B 车比 A 车晚出发 2min,当 时, B 车行驶路程关于 A 车行驶时间的函数
关系为 g ( x) ? 0 ; B 车从甲地到达乙地需 10min,当 2 ? x ? 12 时, g ( x) ? 12( x ? 2) , 当 12 ? x ? 15 时, B 车已经到达乙地,而 A 车还在路上行驶, g ( x) ? 12 试题解析: ( 1 ) 设 A 车 行 驶 时 间 为 x ( min ) , A 车、 B 车所行路程分别为
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【答案】288 平方米 【解析】 试题分析:通过假设小矩形的长与宽,根据绿化面积求出小矩形边长的关系,再表示所 占地的总面积.根据基本不等式即可求出结论. 试题解析:设绿化区域小矩形平行于 BC 的一边长为 x,另一边长为 y,

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

f ( x)(km)、g ( x)(km) .
则 A 车所行路程关于行驶时间的函数为 f ( x) ?

12 x ,即 f ( x) ? 0.8 x(0 ? x ? 15) ; 15

?0, 0 ? x ? 2, ? B 车所行路程关于 A 车行驶时间的函数关系式为 g ( x) ? ?1.2( x ? 2), 2 ? x ? 12, ?12, 12 ? x ? 15. ?
(2)设 A、B 两车在 A 车出发 x(min)时途中相遇,则 2 ? x ? 12 . 于是 0.8x ? 1.2( x ? 2) , x ? 6 , f (6) ? 4.8 即 A、B 两车在 A 车出发 6 min 6min 时途中相遇,相遇时距甲地 4.8km . 考点:1.根据实际问题,建立函数模型;2.借助函数思想解题 48. (本小题满分 12 分)在淘宝网上,某店铺专卖孝感某种特产.由以往的经验表明, 不考虑其他因素,该特产每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

1? x ? 5) 克, 满足: 当 1 ? x ? 3 时,y ? a( x ? 3)2 ?

b (a, b为常数) , ; 当3 ? x ? 5 x ?1

时, y ? ?70 x ? 490 .已知当销售价格为 2 元/千克时,每日可售出该特产 600 千克; 当销售价格为 3 元/千克时,每日可售出 150 千克. (1)求 a, b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; (2)若该特产的销售成本为 1 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使店铺每日销售该特 产所获利润 f ( x) 最大( x 精确到 0.1 元/千克) .

300 ? 300( x ? 3) 2 ? ,1 ? x ? 3 ; 7 元的值,使店铺所 【答案】 (1) y ? ? (2)当销售价格为 1. x ?1 ? ? ?? 70x ? 490,3 ? x ? 5
获利润最大. 【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 由 题 意 x ? 2 时 y ? 600, ? a ? b ? 600, 又 x ? 3 时

y ? 150, ?b ? 300 .由此得解.
2 ? (2)由题意: f ( x) ? y( x ? 1) ? ?300( x ? 3) ( x ? 1) ? 300,1 ? x ? 3 , ?(?70x ? 490)(x ? 1),3 ? x ? 5

讨论当 1 ? x ? 3 ,当 3 ? x ? 5 时,函数的最大值并加以比较,

7 元的值,使店铺所获利润最大. 当销售价格为 1.
试题解析: (1)由题意: x ? 2 时 y ? 600, ? a ? b ? 600, 又∵ x ? 3 时 y ? 150, ?b ? 300 . 2分 4分

300 ? 300( x ? 3) 2 ? ,1 ? x ? 3 ∴ y 关于 x 的函数解析式为: y ? ? x ?1 ? ? ?? 70x ? 490,3 ? x ? 5
试卷第 27 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

300( x ? 3) 2 ( x ? 1) ? 300,1 ? x ? 3 , (2)由题意: f ( x) ? y( x ? 1) ? ? ? ?(?70x ? 490)(x ? 1),3 ? x ? 5
当 1 ? x ? 3 , f ( x) ? 300( x ? 3)2 ( x ?1) ? 300 ? 300( x3 ? 7 x 2 ? 15x ? 8) ,
f ?( x) ? 300(3x 2 ?14x ? 15) ? (3x ? 5)(x ? 3)

6分

∴x?

5 5900 时有最大值 。 3 9

8分

当 3 ? x ? 5 时, f ( x) ? (?70x ? 490)(x ? 1) ∴ x ? 4 时有最大值 630 10 分

12 分

考点:1.分段函数;2.函数的应用;3.二次函数的性质. 49. (本小题满分 13 分)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续 5 个月,预 测上市初期和厢期会因供应不足使价格呈 持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①

f ( x) ? p.q x ; ②
. f ( x) ? px2 ? qx ? 1; ③ f ( x) ? x( x ? q)2 ? p (以上三式中 p, q 均为常数,且 q>l) (1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由) ; (2) 若 f( 求出所选函数 f ( x ) 的解析式 (注: 函数定义域是 [0,5] . 其 0 ) ? 4 , ( 2 )f 6 ? , 中 x ? 0 表示 8 月 1 日, x ? 1 表示 9 月 1 日,?,以此类推) ; (3)在(2)的条件下研究下面课题:为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格 下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌. 【答案】 ( 1 ) 在 所 给 出 的 函 数 中 应 选 模 拟 函 数 f ( x) ? x( x ? q) ? p ; (2)
2

(3)可以预测这种海鲜将在 9 月、10 月两个月 f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 4(0 ? x ? 5) ; 内价格下跌. 【解析】 试题分析: (1)利用价格呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连续下降的趋势, 故可从三个函数的单调上考虑,前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间, 应选 f ( x) ? x( x ? q) ? p 为其模拟函数; (2)由题中条件: f (0) ? 4, f (2) ? 6 ,得方
2

程组,求出 p, q 即可,从而得到 f ( x) 的解析式; (3)确定函数解析式,利用导数小于 0,即可预测该果品在哪几个月份内价格下跌. 试题解析: (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下 跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数 f ( x) ? x( x ? q) ? p .
2

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5900 9 5 5900 ∴当 x ? 时 f ( x) 有最大值 3 9 7 元的值,使店铺所获利润最大. 即当销售价格为 1.
∵ 630 <

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

(2)由 f (0) ? 4, f (2) ? 6 ,即得 ?

?p ? 4
2 ?(2 ? q ) ? 1

,又 q ? 1 ,所以 p ? 4, q ? 3 ,所以

f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 4(0 ? x ? 5) .
( 3 ) 因 为 f ( x) ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 4(0 ? x ? 5) , 所 以 f ' ( x) ? 3x 2 ? 12x ? 9 , 令

f ' ( x) ? 0 得, x ? 1 或 x ? 3 ;令 f ' ( x) ? 0 得,1 ? x ? 3 . 又因为 x ? [0,5] ,所以函
数 f ( x) 在 (0,1) 和 (3,5) 内单调递增,在 (1,3) 内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在 9 月、10 月两个月内价格下跌. 考点:函数模型的选择与应用. 50. (本题满分 10 分) 将一个长、宽分别

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

a, b (0 ? b ? a)

的长方形的四个角切去四个

相同的正方形,然后折成一个无盖的长方体形的盒子, (Ⅰ)设切去小正方形的边长为 x ,用 a, b, x 表示这个长方体的外接球的半径 R ;

a (Ⅱ)若这个长方体的外接球的体积存在最小值,求 b 的取值范围.
【答案】 (Ⅰ) R ?

1 b a 5 9 x 2 ? 4(a ? b) x ? a 2 ? b 2 ( 0 ? x ? ) ; (Ⅱ) ? (1, ) 。 2 2 b 4

【解析】 试题分析: (Ⅰ)切去正方形后所形成的无盖长方体的长、宽、高分别为

a ? 2 x、b ? 2 x、x ,根据长方体对象线公式求出对角线的长,再通过外接球的直径为
长方体的对角线求出 R; (Ⅱ)要是长方体的外接球的体积存在最小值,只要 R 存在最 小值,将其转化为求二次方程的最小值问题,利用对称轴,构造关于 a、 b 的不等式进 行求解。 试题解析: (Ⅰ)设切去的正方形的边长为 x ,长方体对角线长 l 的平方

l 2 ? x2 ? (a ? 2x)2 ? (b ? 2x)2 ? 9x2 ? 4(a ? b) x ? a2 ? b2 ,
b 1 b 9 x 2 ? 4(a ? b) x ? a 2 ? b 2 ( 0 ? x ? ) ,所以 R ? 2 2 2 2( a ? b ) 2 (Ⅱ)由 l 对称轴: x ? , 当长方体的外接球的体积存在最小值时, 9 2( a ? b) b a 5 0? ? , ? (1, ) 9 2 b 4
又外接球中 2 R ? l ,0 ? x ? 考点:1、长方体体积公式;2、二次函数求最值问题;3、综合分析和解决问题的能力。 51. (本小题满分 12 分)某人上午 7:00 乘汽车以v 1 千米/小时 (30 ? v 1 ? 100) 匀速从 A 地出发到距 300 公里的 B 地,在 B 地不作停留,然后骑摩托车以 v 2 千米 / 小时

(4 ? v 2 ? 20)匀速从 B 地出发到距 50 公里的 C 地,计划在当天 16:00 至 21:00 到达
C 地 。 设 乘 汽 车 、 骑 摩 托 车 的 时 间 分 别 是 x,y 小 时 , 如 果 已 知 所 需 的 经 费

p ? 100 ? 3(5 ? x) ? 2(8 ? y) 元,那么 v1 , v 2 分别是多少时走的最经济,此时花费多少
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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

元? 【答案】 v1 ? 30, v2 ? 12.5 时, pmin ? 93 元。 【解析】 试 题 分 析 : 这 是 一 个 线 性 归 化 问 题 , 目 标 函 数 为 然后根据 x 与v 1 、y 与v 2 的关系及v 1 、 p ? 100 ? 3(5 ? x) ? 2(8 ? y) ? 131? 3x ? 2 y ,

? 9 ? x ? y ? 14 ? ? v 2 的 范 围 求 出 约 束 条 件 ? 3 ? x ? 10 , 然 后 利 用 线 性 规 划 的 知 识 去 求 ? 5 ? y ? 25 ? 2 ? 2
p ? 131? 3x ? 2 y 的最小值。
试题解析:由题意得, x ?

50 300 ,4 ? v 2 ? 20 ∴ , y ? , ∵ 30 ? v 1 ? 100 v2 v1

3 ? x ? 10,

5 25 ? y? 2 2

由题设中的限制条件得 9 ? x ? y ? 14 ,

? 9 ? x ? y ? 14 ? ? 于是得约束条件 ? 3 ? x ? 10 ? 5 ? y ? 25 ? 2 ? 2
目标函数 p ? 100 ? 3(5 ? x) ? 2(8 ? y) ? 131? 3x ? 2 y 做出可行域(如图) ,当 z ? 3 x ? 2 y, 即y ? ? 距最大, 此时 p 最小.所以当 x ? 10, y ? 4 ,即 v1 ? 30, v2 ? 12.5 时, pmin ? 93 元

3 z x ? 平行移动到过(10,4)点时纵截 2 2

(没有图扣2分) 考点: (1)解实际问题的基本步骤:审题、建模、解模、还原, (2)利用线性规划求最 值。 52. (本小题满分 13 分)已知商品的价格上涨 x % ,销售的数量就减少 mx % ,其中 m 为正常数。 (1)当 m ?

1 时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额最大? 2

(2)如果适当地涨价,能使销售金额增加,求 m 的取值范围。 【答案】 (1)50%;(2) 0 ? m ? 1
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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

【解析】 试题分析: (1)依题意当商品的价格上涨 x % ,销售的数量减少 mx % 时,求出销售的 总金额的表达式, 代入数据即可求得 . 设提价前商品价格为 a 元,销售量为 b , 则提价后商品价格为 销售量为 b(1 ? m x%) ∴销售金额为 y ? ab(1 ? x%)(1 ? mx%) ,当 m ? 1 a(1 ? x%) 元, 2 时,y ? ab (1 ? 得最大值 (2)依题意可得不等式: y ? ab(1 ? x%)(1 ? mx%) ? ab ,从而 0 ? m ? 1 . 试题解析:设提价前商品价格为: a 元,销售量为: b 则提价后商品价格为: a(1 ? x%) 元,销售量为: b(1 ? m x%) 分 ∴销售金额为: y ? ab(1 ? x%)(1 ? mx%) 分 ① 4 2

x x 1 1 )(1 ? ) ? ab (? x2 ? x ? 1)( x ? 0) ,当 x ? 50 时,y 取 100 200 20000 200

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

m?
(1)当

1 2 时,由①可知,
6

y ? ab (1 ?


x x 1 1 )(1 ? ) ? ab (? x2 ? x ? 1)( x ? 0) 100 200 20000 200

当 x ? 50 时, y 取得最大值 即:价格上涨 50%时,能使销售的总金额最大 (2)由题意及①式可得不等式: y ? ab(1 ? x%)(1 ? mx%) ? ab 分 ∵ x ? 0 及 m 为正常数, 8分 10

100 (1 ? m) 100 (1 ? m) ? ? 0 ? 0 ? m ?1 m m ∴m 的取值范围为: 0 ? m ? 1
解得: 0 ? x ?

12

分 考点:函数的实际应用及不等式的解法 53. (本小题满分 12 分) “水”这个曾经被人认为取之不尽、用之不竭的资源,竟然到了 严重制约我国经济发展,影响人民生活的程度.因为缺水,每年给我国工业造成的损失 达 2 000 亿元,给我国农业造成的损失达 1 500 亿元,严重缺水困扰全国三分之二的城 市. 为了节约用水, 某市打算出台一项水费政策, 规定每季度每人用水量不超过 5 吨时, 每吨水费 1.2 元;若超过 5 吨而不超过 6 吨时,超过的部分的水费按原价的 200%收费; 若超过 6 吨而不超过 7 吨时,超过部分的水费按原价的 400%收费.如果某人本季度实 际用水量为 x(x≤7)吨,试计算本季度他应交的水费 y.(单位:元)

?1.2 x,0 ? x ? 5 ? 【答案】 y ? ?2.4 x ? 6,5 ? x ? 6 . ?4.8 x ? 20.4,6 ? x ? 7 ?
【解析】
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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

试题分析: 解题思路:根据题意中所提供的分段写出各段表达式,再写出分段函数即可. 规律总结:函数的实际应用,关键要根据实际问题选择合适的函数模型,但一定要注意 变量的实际意义. 试题解析:由题意知,当 0<x≤5 时,y=1.2x, 当 5<x≤6 时, y=1.2×5+(x-5)×1.2×2=2.4x-6. 当 6<x≤7 时, y=1.2×5+(6-5)×1.2×2+(x-6)×1.2×4=4.8x-20.4.

?1.2 x,0 ? x ? 5 ? 所以, y ? ?2.4 x ? 6,5 ? x ? 6 . ?4.8 x ? 20.4,6 ? x ? 7 ?
考点:函数的应用. 54. (满分 12 分)有一个自来水厂,蓄水池有水 450 吨. 水厂每小时可向蓄水池注水 80 吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t 小时内供水量为 160 5 t 吨. 现在开始向池中 注水并同时向居民供水. 问多少小时后蓄水池中水量最少?并求出最少水量. 【答案】5 小时候蓄水池的水量最少,为 50 吨. 【解析】 试题分析:先根据题意设 t 小时后蓄水池内水量为 y 吨,得出蓄水池中水量 y 关于 t 的 函数关系式,在利用换元法求出此函数的最小值即可.本题解题过程中可设 t ? x ,从 而 y ? 80x2 ?160 5x ? 450 ,转化成二次函数的最值问题求解. 试题解析: 解:设 t 小时后蓄水池内水量为 y 吨, 根据题意,得 y ? 450 ? 80t ?160 5t 设 t ? x,x ? 0 则有 y ? 80x2 ?160 5x ? 450 ? 80( x2 ? 2 5x ? 5) ? 50 ? 80( x ? 5)2 ? 50 ∴当 x ? 5 ,即 t ? 5 时, y 取得最小值 50. 答:5 小时候蓄水池的水量最少,为 50 吨. 考点: (1)函数模型的选择与应用; (2)二次函数的性质. 55.(12 分)已知 f(x)的定义域为(0,+∞),且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y), 又当 x2>x1>0 时,f(x2)>f(x1). (1)求 f(1)、f(4)、f(8)的值; (2)若有 f(x)+f(x-2)≤3 成立,求 x 的取值范围. 【答案】 (1) f (1) ? 0, f (4) ? 2, f (8) ? 3 ; ? 2, 【解析】 试题分析: 解题思路: (1)利用赋值法进行求解; (2)将不等式化成 f (a) ? f (b) 的形式,再利用
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? 16 ? ?. ? 7?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

单调性进行求解. 规律总结:抽象不等式的求解,要依据函数的单调性,将函数值的大小关系转化为自变 量之间的大小关系. 试题解析: (1)证明: 令 x ? y ? 1,得 f (1 ? 1) ? f (1) ? f (1) ,即 f (1) ? 0 ; 令 x ? y ? 2, 得 f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 ; 令 x ? 2, y ? 4 , 得 f (8) ? f (2) ? f (4) ? 3 (2)解: 不等式化为 f(x)>f(x-2)+3 ∵f(8)=3,∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16) ∵f(x)是(0,+∞)上的增函数

?8( x ? 2) ? 0 ? x ? 8( x ? 2) 解得 2 ? x ? 16 . ∴?

7

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

考点:1.赋值法;2.抽象不等式的解法. 56.已知函数 f ( x) ? ? ? , x ? ?? 1,1? ,函数 g ( x) ? ? f ( x)? ? 2af ( x) ? 3 的最小值为
2

?1? ? 3?

x

h( a ) .
求 h( a ) ; 是否存在实数 m,n 同时满足下列条件: ① m ? n ? 3; ②当 h(a) 的定义域为 ?n, m ? 时,值域为 n 2 , m 2 ?若存在,求出 m,n 的值;若不存在, 说明理由.

?

?

1 ? 28 2a ? ( a ? ) ?9 3 3 ? ? 2 1 【答案】(1) h( a ) ? ?3 ? a ( ? a ? 3) ; (2)满足题意的 m,n 不存在. 3 ? ?12 ? 6a ( a ? 3) ? ?
【解析】 试题分析: (1) 利用换元法设 t ? ? ? , x ? ? ?1,1? ,则 t ? ? ,3? ,从而 g ( x) 可化为 对 a 讨论可得最小值 h(a) . ? (t ) 对称轴为 t ? a , ? (t ) ? t 2 ? 2at ? 3 ? (t ? a)2 ? 3 ? a2 , (2)假设满足题意的 m,n 存在,由① m ? n ? 3 , h(a) ? 12 ? 6a 在 (3,??) 上是减函 数,故 h(n) ? m 且 h(m) ? n 即
2 2
x

?1? ? 3?

?1 ? ?3 ?

?12-6m ? n 2 ? ,两式相减得 6(m-n)=(m-n)(m+n)即 m+n=6,这与 m ? n ? 3 矛盾,故 ? 2 ? ?12 ? 6n ? m
满足题意的 m,n 不存在.
试卷第 33 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

?1? ?1 ? 试题解析: 解:(1)因为 x ? ?? 1,1? ,所以 ? ? ? ,3 , ?3 ? ? 3? ? ?
设 t ? ( ) x , t ? ? ,3? ,则 ? ( x) ? t 2 ? 2at ? 3 ? (t ? a) 2 ? 3 ? a 2 3 3 当a ? 当

x

1

?1 ? ? ?

1 1 28 2a ? 时, y min ? h(a ) ? ? ( ) ? 3 3 9 3

1 ? a ? 3 时, ymin ? h(a) ? ? (a) ? 3 ? a 2 3

当 a ? 3 时, y min ? h(a) ? ? (3) ? 12 - 6a

(2)假设满足题意的 m,n 存在, 因为 m ? n ? 3; ? h(a) ? 12 ? 6a 在 (3,??) 上是减 函数。 因为 h(a) 的定义域为[n,m],值域为[n ,m ],
2 ? ?12 - 6m ? n ?? ,相减得 6(m-n)=(m-n)(m+n) 2 ? ?12 ? 6n ? m
2 2

由 m ? n ? 3; 所以 m+n=6 但这与 m ? n ? 3; 矛盾 所以满足题意的 m,n 不存在。 考点:二次函数与指数函数的综合应用 57. (本小题满分 12 分)求下列函数值域 (1) f ( x)=3 x ? 5 x ? ? ?1,3? (2) f ( x) ?

?

?

x?3 ? x ? 1? x ?1
每个值三分,结果对即满分 每个值三分,结果对即满分.

【答案】 (1) [2,14] (2) ?1, 2 ? 【解析】 试题分析:

解题思路: (1)利用 f ( x) ? 3x ? 5 在 ?? 1,3? 的单调性进行求解; (2)利用分离常数结 合反比例函数的单调性进行求解. 规律总结:求函数的值域,要先研究函数的单调性。 试题解析: ( 1 ) ? f ( x) ? 3x ? 5 在 ?? 1,3? 上 单 调 递 增 , ? 当 x ? ?1 时 ,

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1 ? 28 2a ? 9 ? 3 (a ? 3 ) ? 1 ? ? h(a ) ? ?3 ? a 2 ( ? a ? 3) 3 ? ?12 ? 6a (a ? 3) ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

f ( x) min ? f (?1) ? 2 ;
当 x ? 3 时,f ( x) nax ? f (3) ? 14 ; 所以函数 f ( x)=3 x ? 5 x ? ? ?1,3? 的值域为 [2,14] .

?

?

(2)因为 f ( x) ? 为 (1,2) .

x?3 2 2 ? 1? ? 0 ;所以函数的值域 在 (1,??) 为减函数,且 x ?1 x ?1 x ?1

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

考点:函数的值域. 58.某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 144 件. 如果降低价格,销售量 可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x (单位:元,0 ? x ? 30 ) 的平方成正比. 已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 8 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 【答案】 (1) f ( x) ? ?2x 3 ? 42x 2 ? 144x ? 3024 , x ? [0,30] (2)见解析 【解析】 试题分析: (1)先设商品降价 x 元,写出多卖的商品数,则可计算出商品在一个星期的 获利数,再依题意: “商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件”求出比例系数即可得 一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)根据(1)中得到的函数,利用导数研究其极值,从而救是 f(x)达到极大值.从 而得出所以定价为多少元时,能使一个星期的商品销售利润最大. 试题解析:解: (1)设商品降价 x 元,则每个星期多卖的商品数为 kx 2 ,若记商品在一 个星期的获利为 f ( x ) , 则依题意有 f ( x) ? (30 ? x ? 9)(144? kx ) ? (21? x)(144? kx ) ,
2 2

3


2 又由已知条件, 8 ? k ? 2 ,于是有 k ? 2 ,

5分 6分

所以 f ( x) ? ?2x ? 42x ? 144x ? 3024 , x ? [0,30]
3 2

(2)由(1)得

f ' ( x) ? ?6 x 2 ? 84x ? 144 ? ?6( x 2 ? 14x ? 24) ? ?6( x ? 2)(x ? 12), x ? [0,30]

7分

当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表:

x
f ?( x )

2? ?0,
?


2

(2, 12)

12

30? ?12,
?

?
极小 ↗ 极大

f ( x)



10 分 故 x ? 12 时, f ( x ) 达到极大值.因为 f (0) ? 3024, f (12) ? 3888, 所以定价为 30 ? 12 ? 18 元能使一个星期的商品销售利润最大. 考点:函数模型的选择与应用.
试卷第 35 页,总 128 页

13 分

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

59.据市场分析,广饶县驰中集团某蔬菜加工点,当月产量在 10 吨至 25 吨时,月生产总 成本 y (万元)可以看成月产量 x (吨)的二次函数.当月产量为 10 吨时,月总成本为 20 万元;当月产量为 15 吨时,月总成本最低为 17.5 万元. (1)写出月总成本 y (万元)关于月产量 x (吨)的函数关系; (2)已知该产品销售价为每吨 1.6 万元,那么月产量为多少时,可获最大利润; (3)当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元? 【答案】 (1) y ?

1 2 , (2)月产量为 23 吨时,可获 ? x ? 15? ? 17.5 ( 10 ? x ? 25 ) 10

最大利润 12.9 万元. (3)月产量为 20 吨时,每吨平均成本最低,最低成本为 1 万元. 【解析】 试题分析: ( 1 )由待定系数法设出 y ? a?x ? 15? ? 17.5 将 x=10 , y=20 代入可得
2

?1 ? (3)平均成本 Q?x ? ? 1.6 x ? y ? 1.6 x ? ? x 2 ? 3x ? 40? 化为二次函数求最值即可. ? 10 ?

1 2 x ? 3x ? 40 1 40 y 10 x? ? 3 利用基本不等式求最小值. = ? 可化为 10 x x x
试题解析:解: (1) y ? a?x ? 15? ? 17.5
2

( a ? R, a ? 0 )

2分

将 x=10,y=20 代入上式得,20=25a+17.5,解得 a ?

1 10
4分

3分

?y ?

1 ?x ? 15 ?2 ? 17.5 10

( 10 ? x ? 25 )

(2)设利润为 Q?x ? 则 Q?x ? ? 1.6 x ? y ? 1.6 x ? ?

?1 2 ? x ? 3x ? 40? ? 10 ?

6分

??

1 ?x ? 23?2 ? 12.9 10

?10 ? x ? 25?

因为 x ? 23? ?10,25? ,所以月产量为 23 吨时,可获最大利润 12.9 万元 8 分

1 2 x ? 3 x ? 40 y 10 1 40 x 40 ? x? ?3? 2 ? ? 3 ? 1 10 分 (3) ? x x 10 x 10 x
当且仅当

x 40 ? ,即 x ? 20 ? ?10,25? 时上式“=”成立. 11 分 10 x

故当月产量为 20 吨时,每吨平均成本最低,最低成本为 1 万元. 12 分 考点:本题主要考查二次函数,基本不等式的应用. 60.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量 P(mg / L) 与时 间 t ( 小时 ) 间的关系为 P ? P 0e
? kt

.如果在前 5 个小时消除了 10% 的污染物,试求:

(1) 10 个小时后还剩百分之几的污染物? (2)污染物减少 50% 所需要的时间. (参考数据: ln 2 ? 0.7, ln3 ? 1.1, ln5 ? 1.6 )
试卷第 36 页,总 128 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

a?

1 . ( 2 ) 利 润 = 收 入 - 成 本 , 设 利 润 为 Q? x ? 可 得 10

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

【答案】 (1)10 个小时后还剩 81% 的污染物; (2) 污染物减少 50% 所需要的时间为 35 个小时. 【解析】 试题分析:本题的关键是看懂题目: P0 是一个固定常数, k 是需要计算出来的一个常 数 (1) 由题意可知可知,当 t ? 0 时, P ? P 0 ;当 t ? 5 时, P ? (1 ? 10%)P 0 .于是有
? ln 0.9 ?t 1 ?5k ?5 ? ,解得 k ?? ln 0.9 ,那么 P?P , 当 t ? 10 时 , (1 ?10%) P 0 ?P 0e 0e 5 ?1 ? .?9 ? l n 0? ?5 ? 10 ?1 ? ? ln 0.9 ?t ?5 ? ?1 ?

P?P 0e 得 t ? 35 .

? P0e

ln 0.81

; (2)当 P ? 50%P ? 81%P 0 0 时,有 50%P 0 ?P 0e



学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

试题解析: (1) 由P?P 0e 是有

? kt

可知, 当 t ? 0 时,P ? P 当 t ? 5 时,P ? (1 ?10%) P 于 0; 0.

? ln 0.9 ?t 1 ?5k ?5 ? ,解得 k ? ? ln 0.9 ,那么 P ? P (1 ?10%) P 0 ?P 0e 0e 5 ?1 ? ? ln0.9 ??10 ?5 ?

?1

?

所以,当 t ? 10 时, P ? P 0e

ln0.81 ?P ? 81%P0 0e

∴ 10 个小时后还剩 81% 的污染物 (2)当 P ? 50%P 0 时,有 50%P 0 ?P 0e
?1 ? ? ln 0.9 ?t ?5 ?

(7 分)

1 5ln ln 0.5 ln 2 2 ? 5 ? ? ln 2 ? 5 ? 解得 t ? ? ? 35 1 9 ln 9 ? ln10 ln 2 ? ln 5 ? 2ln 3 ln 0.9 ln 5 10 ∴污染物减少 50% 所需要的时间为 35 个小时.

(13 分)

考点:数学知识的实际应用 61.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底 面半径 r 取何值时,S 取得最大值?并求出该最大值(结果精确到 0.01 平方米).

【答案】当 r=0.4 时,S 有最大值 0.48π ,约为 1.51 平方米. 【解析】由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为
2 2 2

9.6-8 ? 2r =1.2-2r,∴塑料片面积 8
2 2

S=π r +2π r(1.2-2r)=π r +2.4π r-4π r =-3π r +2.4π r=-3π (r -0.8r) 2 =-3π (r-0.4) +0.48π .∴当 r=0.4 时,S 有最大值 0.48π ,约为 1.51 平方米. 62 . 已 知 函 数 f ?x? ? 2 x ? b, g ?x? ? x2 ? bx ? c(b, c ? R), 对 任 意 的 x ? R 恒 有

f ?x ? ? g ?x ? 成立.
试卷第 37 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

(1)当 b=0 时,记 h? x ? ?

g ?x ? , 若 h?x ? 在 ?2, ? ? )上为增函数,求 c 的取值范围; f ?x ?
2

(2)证明:当 x ? 0 时, g ?x ? ? ?x ? c ? 成立; (3)若对满足条件的任意实数 b,c,不等式 g ?c? ? g ?b? ? M c2 ? b2 恒成立,求 M 的最 小值. 【答案】 (1) [1, 4] ; (2)证明见解析; (3) 【解析】 试题分析: ( 1 ) 首 先 要 讨 论 题 设 的 先 决 条 件 f ( x) ? g ( x) 对 x ? R 恒 成 立 ,

?

?

3 . 2

2 x ? b ? x 2 ? bx ? c ,即 x2 ? (b ? 2) x ? c ? b ? 0 恒成立,这是二次不等式,由二次函
数知识,有 ? ? (b ? 2)2 ? 4(c ? b) ? 0 ,化简之后有 c ?

b2 ? 1 ,从而 c ? 1 . b ? 0 时, 4

h( x ) ?

g ( x) 1 c 在 [2, ??) 上 是 增 函 数 , 我 们 用 增 函 数 的 定 义 , 即 设 ? x? f ( x) 2 2x

2 ? x1 ? x2 , h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 恒 成 立 , 分 析 后 得 出 c 的 范 围 ;( 2 ) ( x ? c)2 ? g ( x) ? (2c ? b) x

?c(c ? 1) ,问题变成证明 (2c ? b) x ? c(c ?1) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,在 c ? 1 的情况下, c(c ?1) ? 0 ,而 c ?

b2 b2 ?1 ? 2 ?1 ? b ,可见 2c ? b ? c ? (c ? b) ? 0 ,那当 x ? 0 4 4

时,一定恒有 (2c ? b) x ? c(c ? 1) ? 0 ,问题证毕; (3)由(2) c ? b ,在 c ? b 时,

c ? 2, b ? ?2 ,这时柺验证不等式 g ?c? ? g ?b? ? M ?c2 ? b2 ? 成立,当 c ? b 时 c 2 ? b 2 ,
不等式可化为

g (c) ? g (b) g (c) ? g (b) ? M ,因此要求 的最大值或者它的值域, 2 2 c ?b c2 ? b2 g (c) ? g (b) b c ? 2b c 1 , 而 c ? b ? ?1 ? ? 1 , 因 此 ? ? 2? ? 2? 2 2 b c ?b c c?b c?b ?1 c c g (c) ? g (b) 0 ? 1? ?,由此 2 的取值范围易得, M 的最小值也易得. b c2 ? b2
恒有 ,即 成立, 恒成立.

试题解析:(1)因为任意的 所以对任意的

所以

,从而

.,即:

.

试卷第 38 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 当 所以 因为 成立. 即任取

故当 , 恒成立. 在 ,即 , 且 ,

所以

时,记

(2)由(1)得,

时,有

,因此

.

.



试卷第 39 页,总 128 页

上为增函数,所以任取

的取值范围是

, 成立, 也就是 .











从而 ,则 时, 时,有 ,由于 时, , , . 的值域为

所以

即当

因此当

(3)由(2)知,



时,由(1)知,

恒成立.

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

试卷第 40 页,总 128 页

的取值范围是

.此时 , ;

或 0,

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

综上所述,

的最小值为

.

考点: (1)函数的单调性; (2)不等式恒成立; (3)函数的值域,函数的综合问题 63.为了绿化城市,准备在如图所示的区域 DFEBC 内修建一个矩形 PQRC 的草坪,且 PQ ∥BC,RQ⊥BC,另外△AEF 的内部有一文物保护区不能占用,经测量 AB=100m,BC=80m, AE=30m,AF=20m。应如何设计才能使草坪的占地面积最大?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【答案】见解析 【解析】 试题分析:对于应用题,我们应该仔细读题分析题目条件,从中提前数学关系

(0≤x≤30) ,然后利用函数知识来求解. 试题解析:如图 MQ⊥AD 于 M,NQ⊥AB 于 N

设 MQ=x 则长方形的面积

∴NQ=y=20-

(0≤x≤30)

6分

化简,得

(0≤x≤30)
2

配方,易得最大值为 6017m 12 分 考点:函数的应用. 64.某学校拟建一块周长为 400m 的操场,如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域 是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,试问如何 设计矩形的长和宽?

试卷第 41 页,总 128 页



∴S=xy=

∴当且仅当
2

即 2x+π y=400

【答案】100m 和

∵操场周长为 400m,所以 2x+2?

解得 .

即把矩形的长和宽分别设计为 100m 和 ?(2x)?(π y)≤ m 时,矩形区域面积最大. =400, ? m. . ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

中间的矩形区域面积为 Sm ,则半圆的周长为

【解析】设中间矩形区域的长,宽分别为 xm,ym,

时等号成立.

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

试卷第 42 页,总 128 页

m 时,矩形区域面积最大

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

65.某森林出现火灾,火势正以 100m /分钟的速度顺风蔓延,消防站接到报警立即派消 防队员前去,在火灾发生后 5 分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人灭火 2 50m /分钟,所消耗的灭火材料,劳务津贴等费用为人均 125 元/分钟,另附加每次救火 2 所耗损的车辆、器械和装备等费用人均 100 元,而烧毁森林的损失费 60 元/m ,应该派 多少消防队员前去救火才能使总损失最少? 【答案】应派 27 人前去救火才能使总损失最少,最少损失 36450 元 【解析】设派 x 名消防队员前去救火,用 t 分钟将火扑灭,总损失为 y ,则 t =

2

, y=灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费 =125xt+100x+60(500+100t)

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

= 125x?

+ 100x + 30000 +

= 100(x - 2) +

+31450

≥2

+31450=36450,

当且仅当 100(x-2)=

,即 x=27 时,y 有最小值 36450,故应派 27 人

前去救火才能使总损失最少,最少损失 36450 元. 66.某商场若将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现准备 采用提高售价,减少进货量的办法来增加利润,已知这种商品每件销售价提高 1 元,销 售量就要减少 10 件,问该商场将销售价每件定为多少元时,才能使得每天所赚的利润 最多?销售价每件定为多少元时,才能保证每天所赚的利润在 300 元以上?

【答案】4-

<x<4+

.

【解析】设每件提高 x 元(0≤x≤10),即每件获利润(2+x)元,每天可销售(100-10x) 2 件,设每天获得总利润为 y 元,由题意有 y=(2+x)(100-10x)=-10x +80x+200= 2 -10(x-4) +360.所以当 x=4 时,ymax=360 元,即当定价为每件 14 元时,每天所赚 利润最多.
试卷第 43 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

要使每天利润在 300 元以上,则有-10x +80x+200>300,即 x -8x+10<0,解得 4

2

2



< x<4 +

.故每件定价在 (14-

) 元到

(14+

)元之间时,能确保每天赚 300 元以上.

67.甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10),每小时可

获得利润是 100(5x+1-

)元.

(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求 最大利润. 【答案】 (1)3≤x≤10(2)457500 元

【解析】 (1) 根据题意, 200 1≤x≤10,可解得 3≤x≤10.

≥ 3000 5x - 14 -

≥ 0. 又

(2)设利润为 y 元, 则 y=

? 100

=9?10

4



故 x=6 时,ymax=457500 元. 68.要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示),在窗框为定长的 条件下,要使窗户能够透过最多的光线,窗户应设计成怎样的尺寸?

【答案】半圆直径与矩形的高的比为 2∶1 【解析】设半圆直径为 2R,矩形的高为 a, 则 2a+2R+π R=L(定值),

试卷第 44 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

S=2Ra+

π R =-

2

R +LR,

2

当 R=

时 S 最大,此时

=1,

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

即半圆直径与矩形的高的比为 2∶1 时,窗户能够透过最多的光线. 69.某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板,其周长为 4m.这种薄 板须沿其对角线折叠后使用. 如图所示, ABCD(AB>AD)为长方形薄板, 沿 AC 折叠后 AB′ 交 DC 于点 P.当△ADP 的面积最大时最节能,凹多边形 ACB′PD 的面积最大时制冷效果 最好. (1)设 AB=xm,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?

【答案】 (1)y=2

,1<x<2.(2)当薄板长为

m,宽为

(2-

)m 时,节能效果最好. (3)当薄板长为

m,宽为(2



)m 时,制冷效果最好.

【解析】(1)由题意,AB=x,BC=2-x. 因 x>2-x,故 1<x<2.设 DP=y,则 PC=x-y. 因△ADP≌△CB′P,故 PA=PC=x-y. 2 2 2 由 PA =AD +DP ,得

(x-y) =(2-x) +y

2

2

2

y=2

,1<x<2.

(2)记△ADP 的面积为 S1,则

试卷第 45 页,总 128 页

S1=

S2 =

当 x=

当且仅当 x=

故当薄板长为 (2-x)=3- =0 x= m,宽为(2- x(2 - x) + ,1<x<2. ≤3-2 ∈(1,2)时,S1 取得最大值. . , )m 时,节能效果最好. (2 - x) = 3 - ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

故当薄板长为

于是 S2′=-

关于 x 的函数 S2 在(1,

(3)记多边形 ACB′PD 的面积为 S2,则

时,S2 取得最大值.

m,宽为(2-

)上递增,在(

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

试卷第 46 页,总 128 页

)m 时,制冷效果最好

,2)上递减.所以

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

70.某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在 2 万元 至 10 万元(包括 2 万元和 10 万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:① 报销的医疗费用 y(万元)随医疗总费用 x(万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得低 于医疗总费用的 50%;③报销的医疗费用不得超过 8 万元. 2 (1)请你分析该单位能否采用函数模型 y=0.05(x +4x+8)作为报销方案; (2)若该单位决定采用函数模型 y=x-2lnx+a(a 为常数)作为报销方案, 请你确定整数 a 的值.(参考数据:ln2≈0.69,ln10≈2.3) 【答案】 (1)不符合(2)a 的值为 1. 【解析】审题引导:正确理解三个条件:①要求模型函数在[2,10]上是增函数;②要

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

满足 y≥

恒成立;③要满足 y 的最大值小于 8.
2

规范解答:解:(1)函数 y=0.05(x +4x+8)在[2,10]上是增函数,满足条件①,(2 分) 当 x=10 时,y 有最大值 7.4 万元,小于 8 万元,满足条件③.(4 分)

但当 x=3 时,y=

,即 y≥

不恒成立,不满足条件②,

故该函数模型不符合该单位报销方案.(6 分) (2) 对 于 函 数 模 型 y = x - 2lnx + a , 设 f(x) = x - 2lnx + a , 则 f ′ (x) = 1 -



≥0.∴f(x)在[2,10]上是增函数,满足条件①.由条

件②,得 x-2lnx+a≥

,即 a≥2lnx-

在 x∈[2,10]

上 恒 成 立 , 令 g(x) = 2lnx -

, 则 g ′ (x) =





,由 g′(x)>0 得 0<x<4,∴g(x)在(0,4)上是增函

数,在(4,10)上是减函数. ∴a≥g(4)=2ln4-2=4ln2-2.(10 分) 由条件③,得 f(10)=10-2ln10+a≤8,解得 a≤2ln10-2. 另一方面,由 x-2lnx+a≤x,得 a≤2lnx 在 x∈[2,10]上恒成立,∴a≤2ln2.(12 分)
试卷第 47 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

综上所述,a 的取值范围为[4ln2-2,2ln2], ∴满足条件的整数 a 的值为 1.(14 分) 71.如图,ABCD 是正方形空地,边长为 30m,电源在点 P 处,点 P 到边 AD、AB 距离分 别为 9m、3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 MNEF,MN∶NE= 16∶9.线段 MN 必须过点 P,端点 M、N 分别在边 AD、AB 上,设 AN=x(m),液晶广告屏 2 幕 MNEF 的面积为 S(m ).

【答案】 (1)

(10≤x≤30)(2)[10,30](3)9+3

m

【解析】(1)AM=

(10≤x≤30).

(2)MN =AN +AM =x +

2

2

2

2

.

∵MN∶NE=16∶9,∴NE=

MN.

∴S=MN?NE= 定义域为[10,30].

MN =

2



(3)S′=



试卷第 48 页,总 128 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

(1)用 x 的代数式表示 AM; (2)求 S 关于 x 的函数关系式及该函数的定义域; (3)当 x 取何值时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

令 S′=0,得 x=0(舍)或 9+3

.当 10≤x<9+3

时,S′

<0, S 关于 x 为减函数; 当 9+3

<x≤30 时, S′>0, S 关于 x 为增函数. ∴

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

当 x=9+3

时,S 取得最小值.

故当 AN 长为 9+3

m 时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小

72.经市场调查,某种商品在过去 50 天的销量和价格均为销售时间 t(天)的函数,且 销售量近似地满足 f(t) =- 2t + 200(1 ≤ t ≤ 50 , t ∈ N) ,前 30 天价格为 g(t) =

t+30(1≤t≤30,t∈N),后 20 天价格为 g(t)=45(31≤t≤50,t∈N). (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系式; (2)求日销售额 S 的最大值.

【答案】 (1)S= 【解析】(1)根据题意得

(2)6400.

S=

即 S= (2)①当 1≤t≤30,t∈N 时,S=-(t-20) +6400, 当 t=20 时,S 的最大值为 6400; ②当 31≤t≤50,t∈N 时,S=-90t+9000 为减函数,
试卷第 49 页,总 128 页
2

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

当 t=31 时,S 的最大值是 6210, ∵6210<6400,∴当 t=20 时,日销售额 S 有最大值 6400. 73.已知美国苹果公司生产某款 iPhone 手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 万只 还需另投入 16 万美元. 设苹果公司一年内共生产该款 iPhone 手机 x 万只并全部销售完,

每万只的销售收入为 R(x)万美元,且 R(x)=

(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万只)的函数解析式; (2)当年产量为多少万只时, 苹果公司在该款 iPhone 手机的生产中所获得的利润最大? 并求出最大利润.

【答案】 (1)W=

(2)x=32 时,W 取最大值为 6104.
2

【解析】(1)当 0<x≤40,W=xR(x)-(16x+40)=-6x +384x-40;

当 x>40,W=xR(x)-(16x+40)=-

-16x+7360.

所以,W=
2

(2)①当 0<x≤40,W=-6(x-32) +6104, 所以 Wmax=W(32)=6104;

②当 x>40 时,W=-

-16x+7360,

由于

+16x≥2

=1600,

当且仅当

=16x,即 x=50∈(40,+∞)时,W 取最大值为 5760.

综合①②知,当 x=32 时,W 取最大值为 6104. 74.我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中,发掘出的古莲子,至今大部分还能发芽开花, 这些古莲子是多少年以前的遗物呢?要测定古物的年代,可用放射性碳法.在动植物的
试卷第 50 页,总 128 页

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

体内都含有微量的放射性 C,动植物死亡后,停止了新陈代谢, C 不再产生,且原有 14 14 的 C 会自动衰变,经过 5570 年(叫做 C 的半衰期),它的残余量只有原始量的一半, 14 经过科学家测定知道,若 C 的原始含量为 a,则经过 t 年后的残余量 a′(与 a 之间满 -kt 14 足 a′=a?e ).现测得出土的古莲子中 C 残余量占原量的 87.9%,试推算古莲子的 生活年代. 【答案】1036 年前

14

14

【解析】因 a′=a?e

-kt

,即

=e

-kt

.

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

两边取对数,得 lg

=-ktlge.①

又知 C 的半衰期是 5570 年,即 t=5570 时,

14



.

故 lg

=-5570klge,即 klge=

.

代入①式,并整理,得 t=-

.

这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式.现测得古莲子的



0.879,代入公式,得 t=-

≈1036.即古莲子约是 1036 年前的遗物.
kx

75.设在海拔 xm 处的大气压强是 yPa,y 与 x 之间的函数关系为 y=ce ,其中 c、k 为 5 5 常量. 已知某天的海平面的大气压为 1.01?10 Pa, 1000m 高空的大气压为 0.90?10 Pa, 求 600m 高空的大气压强.(保留 3 位有效数字) 4 【答案】9.42?10 Pa 5 5 【解析】将 x=0 时,y=1.01?10 Pa 和 x=1000 时,y=0.90?10 Pa 分别代入函数式

试卷第 51 页,总 128 页

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y=ce ,得

kx

∴c=1.01?10 ,∴e

5

1000k





∴k=
5

?ln
-4

,用计算器算得 k≈-1.154?10 ,
4

-4

(1)当 k=

时, 该商品的价格上涨多少, 才能使销售的总金额达到最大?

(2)在适当的涨价过程中,求使销售总金额不断增加时 k 的取值范围.

【答案】(1)

ab.(2) 0<k<1

【解析】由题意,价格上涨 x% 以后,销售总金额为 y = a(1 + x%)?b(1 - kx%) =

[-kx +100(1-k)x+10000].

2

(1)当 k=

时,y=

(-

x +50x+10000)

2



[22500-(x-50) ],

2

因此当 x=50,即价格上涨 50%时,y 取最大值

ab.

试卷第 52 页,总 128 页

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∴y=1.01?10 ?e-1.154?10 x,将 x=600 代入上述函数式,得 y≈9.42?10 Pa, 4 即在 600m 高空的大气压强约为 9.42?10 Pa. 76. 市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规 律:该商品的价格每上涨 x%(x>0),销售数量就减少 kx%(其中 k 为正常数).目前该商 品定价为每个 a 元,统计其销售数量为 b 个.

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

(2)y=

[-kx +100(1-k)x+10000],此二次函数的图象开口向下,对

2

称轴为 x=

.

在适当涨价的过程中,销售总金额不断增加,即要求此函数当自变量 x 在{x|x>0}的一

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

个子集内增大时,y 也增大,因此

>0,解得 0<k<1.

77.某地方政府在某地建一座桥,两端的桥墩相距 m 米,此工程只需建两端桥墩之间的 桥面和桥墩(包括两端的桥墩).经预测,一个桥墩的费用为 256 万元,相邻两个桥墩之

间的距离均为 x,且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1+ 假设所有桥墩都视为点且不考虑其他因素,记工程总费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=1280 米时,需要新建多少个桥墩才能使 y 最小?

)x 万元,

【答案】 (1)m

+m+256

(2)21

【解析】根据题意,需要建

个桥墩和

段桥面工程.

(1)y = 256



(1 +

)x =

m

+m+256

.

试卷第 53 页,总 128 页

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(2)当 m=1280 时,y=1280

+1536,

y′=1280

,令 y′=0,得 x=64,

当 0<x<64 时,y′<0;当 x>64 时,y′>0. 所以当 x=64 时,y 有最小值 16896,此时要建 21 个桥墩 78.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱

形, 左右两端均为半球形, 按照设计要求容器的容积为

立方米, 且 l≥2r.

假设该容器的建造费用仅与其表面积有关,已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千 元,半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元.

①写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; ②求该容器的建造费用最小时的 r.

【答案】①y=4π (c-2)r +

2

,0<r≤2②当 3<c≤

时,

建造费用最小时 r=2; 当 c> 【解析】①设容器的容积为 V,

时, 建造费用最小时, r=

.

由题意知 V=π r l+

2

π r ,又 V=

3



∴l=

.

试卷第 54 页,总 128 页

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 若 0< 由于 c>3, 由于 l≥2r,∴


2

∴r=

因此,y=4π (c-2)r +

∴c-2>0.由 y′=0 得 r=

∴r=2 时,y 取得极小值. <2, 即 c> <r<2 时,y′>0.
2

②由①知 y′=8π (c-2)r-

所以建造费用 y=2π rl?3+4π r c=2π r?

≥2,即 3<c≤ ,0<r≤2. =

时,y 取得极小值.

≥2r,∴0<r≤2.

试卷第 55 页,总 128 页

时, 此时 0<r< ,

?3+4π r c

2

时,0<r<2 时,y′<0,函数单调递减, 时, y′<0,

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

总之,当 3<c≤

时,建造费用最小时 r=2;

当 c>

时,建造费用最小时,r=

.

79.如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千 米 . 某 炮 位 于 坐 标 原 点 . 已 知 炮 弹 发 射 后 的 轨 迹 在 方 程

y=kx-

(1+k )x (k>0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是

2

2

指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 【答案】(1)10 千米 (2)当 a 不超过 6 千米时,可击中目标 【解析】

解:(1)令 y=0,得 kx-

(1+k )x =0,由实际意义和题设条件知 x>0,k>0,

2

2

故 x=

=



=10,当且仅当 k=1 时取等号.

所以炮的最大射程为 10 千米.

(2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka2 2 2 2 2 2

(1+k )a 成立

2

2

?关于 k 的方程 a k -20ak+a +64=0 有正根?判别式Δ =(-20a) -4a (a +64)≥0?a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标. 80. 首届世界低碳经济大会在南昌召开, 本届大会以“节能减排, 绿色生态”为主题. 某
试卷第 56 页,总 128 页

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种 可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成 1 2 本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y= x -200x+80 000,且 2 每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补 贴多少元才能使该单位不亏损? 【答案】(1) 400 吨 最低成本为 200 (2) 该单位每月不获利,需要国家每月至少补 贴 40 000 元才能不亏损

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【 解 析 】 (1) 由 题 意 可 知 , 二 氧 化 碳 的 每 吨 平 均 处 理 成 本 为



x+

-200≥2

-200=200,

当且仅当

x=

,即 x=400 时等号成立,

故该单位每月处理量为 400 吨时, 才能使每吨的平均处理成本最低, 最低成本为 200 元. (2)不获利.设该单位每月获利为 S,则 S=100x-y

=100x-

=-

x +300x-80 000

2

=-

(x-300) -35 000<0.

2

故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不亏损. 81.有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放 k(1≤k≤4,且 k∈R)个单位 的洗衣液在一定量水的洗衣机中, 它在水中释放的浓度 y(克/升)随着时间 x(分钟)变化

试卷第 57 页,总 128 页

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的函数关系式近似为 y=k?f(x),其中 f(x)=

若多次投放,则某一时

刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当 水中洗衣液的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次 k 个单位的洗衣液,两分钟时水中洗衣液的浓度为 3(克/升),求 k 的 值; (2)若只投放一次 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟? 【答案】(1)1 (2) 12 分钟

【解析】(1)由题意知 k ∴k=1.

=3,

(2)因为 k=4,所以 y=

则当 0≤x≤4 时,



-4≥4,解得 x≥-4,所以此时 0≤x≤4.

当 4<x≤14 时,由 28-2x≥4,解得 x≤12, 所以此时 4<x≤12. 综上可知 0≤x≤12,若只投放一次 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达 12 分钟.

82. 对定义域分别是 Df, Dg 的函数 y=f(x), y=g(x), 规定: 函数 h(x)=

(1)若函数 f(x)=

,g(x)=x ,写出函数 h(x)的解析式;

2

(2)求问题(1)中函数 h(x)的值域.

【答案】(1) h(x)=

(2) h(x)值域(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞)

【解析】(1)Df={x|x≠1},Dy=R. 2 当 x=1 时,h(x)=x =1;
试卷第 58 页,总 128 页

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

当 x≠1 时,h(x)=f(x)g(x)=



∴h(x)=

(2)当 x=1 时,h(1)=1; 当 x≠1 时,

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

方法一:h(x)=



=x-1+

+2;

当 x>1 时,h(x)≥4,等号成立条件 x=2;

当 x<1 时,h(x)=-

+2≤0,

等号成立条件 x=0, ∴h(x)值域(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞).

方法二:y=

,x -yx+y=0.

2

∵x∈R 且 x≠1,则关于 x 的方程有实根, 2 ∴Δ =y -4y≥0,∴y≥4 或 y≤0, ∴h(x)值域(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞). 83.辽宁号航母纪念章从 2012 年 10 月 5 日起开始上市.通过市场调查,得到该纪念章

每 1 枚的市场价 据如下: 上 市 时 间 4 10 36

(单位:元)与上市时间 市 场价 5 9 1 0

(单位:天)的数

90

试卷第 59 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

天 元 市场价

元 (1)根据上表数据结合散点图, 从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念

章的市场价

与上市时间

的变化关系并说明理由:①

;②

;③



(1)根据上表数据结合散点图,从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念

章的市场价

与上市时间

的变化关系并说明理由:①

;②

;③



(2)利用你选取的函数,求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.

【答案】(1)

;(2)20,26.

【解析】 试题分析: (1)根据所给数据特点及所给函数单调性即可选出恰当的函数; (2)利用待 定系数法及所给数据,求出函数中的参数,求出函数的最小值,再作出回答.

试卷第 60 页,总 128 页

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 得 ∴ 解得 意,







而所给的三个函数中

试题解析:解:(1)∵随着时间

(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入

. . , 6分 和 , 4分







答:辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为 20 天,最低的价格为 26 元. 的增加, 中, 8分 显然都是单调函数,不满足题 的值先减后增,

试卷第 61 页,总 128 页

10 分

11 分









12

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

分 考点:1.函数应用;2.待定系数法;3.二次函数性质. 84.某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入 100

元,已知总收益满足函数: (注:总收益=总成本+利润)

,其中

是仪器的月产量.

(1)将利润

表示为月产量

的函数;

(2)当月产量

为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?

【答案】 (1)

( 2 )当月产量为 300 台时,利润最大,最大利润为

元. 【解析】

试题分析: ( 1 )根据题意总收益

总成本

利润,故利润

总收益

总成本,易得函数关系式;

(2)通过(1)知函数关系式为分段函数,故函数的最大值为各段最大值中的最大值.

试题解析: (1)因每月产量

台故总成本为



试卷第 62 页,总 128 页

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? ∴ 当 ②当 从而 (2)①当



(1)求 , 时, 时, 时, . , 为减函数, 元.

85. 定义在 R 上的函数

考点:分段函数的最值.



故当月产量为 300 台时,利润最大,最大利润为



及二次函数

的解析式;

试卷第 63 页,总 128 页

满足:

由 个解;当 ; 时,方程有 ,讨论方程 个解; (2) 时,方程有



(2)

(3)设

【解析】

时,方程有

【答案】 (1)

试题分析: (1)求函数解析式,

解得:

,而

满足

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试卷第 64 页,总 128 页

个解;当

的解的个数情况.

(3) 当

个解. 时,方程有

为二次函数,其解析式应

可利用方程组求解,

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 得 出其最大值 可得到充要条件

试题解析:(1)

由①②联立解得: ;再由 ,列三个方程组解得 所以 , 实际有两层 得两个解,由 ,再根据三个条件 , 由 且 (3)研究解的个数问题,需先研 解 , (2)不等式恒成立问题常转化为 ,这样就转化为二次函数恒不小于零的问题,利用实根分布 得三个解,结合

究函数图像, 解方程

用待定系数法求解可设



,①

这些解的大小,可得到原方程解得情况.



.

最值问题,本题转化为左边最小值不小于右边最大值,右边函数无参数,先根据导数求

试卷第 65 页,总 128 页

2分



(2)设

依题意知:当 ,

在 ,解得 , 时, . . 上单调递减,

,在

是二次函数, 且

上单调递增,

,可设

6分

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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试卷第 66 页,总 128 页

4分 ,

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 设 (Ⅲ)设

当 实数 解得: ,则 的图象如图所示: ,由(2)知, 的取值范围为





,即

,即

个解;

时,

时,

试卷第 67 页,总 128 页

,



.

,

9分

有两个解 ,

当 个解. 个解; , 即 , 即 有 时,方程有 13 分 时 , 时 , 个解;











2分

综上所述:

时,方程有

时,方程有

时,方程有

个解.

个解;

个解;

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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考点:函数解析式的多种求法,不等式恒成立问题转化,函数与方程 个 , , 解 ; 有 有

试卷第 68 页,总 128 页

14 分

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 且 (2) (3)设 (1)求 【答案】 (1)



【解析】 。 ; 和 ,讨论方程 及二次函数 , (2) 的解析式; 的解的个数情况. , (3) 当 满足:

时,方程有

86. 定义在 R 上的函数

个解;当

时,方程有

个解;

时,方程有

试卷第 69 页,总 128 页

个解;当

个解.

时,方程有

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

试题分析: (1)求函数解析式有不同的方法.

满足

可利

用方程组求解,由

解得:

,而

为二次函

数,其解析式应用待定系数法求解可设

,再根据三个条件



,列三个方程组解得

, (2)不等式恒

成立问题常转化为最值问题,本题转化为左边最小值不小于右边最大值,右边函数无参

数,先根据导数求出其最大值

,这样就转化为二次函数恒不小于零的问

题,利用实根分布可得到充要条件

所以

(3)研究解的

个数问题,需先研究函数图像,解方程

,实际有两层





解得

;再由

得两个解,由

试卷第 70 页,总 128 页

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 由 试题解析:(1)

(2)设

由①②联立解得:

, ,解得 . ,① ② . . 4分 ,可设



是二次函数, 且

,

得三个解,结合这些解的大小,可得到原方程解得情况.

试卷第 71 页,总 128 页

2分

,

(3)设 在 ,在 实数 解得: 时,

依题意知:当

,由(2)知,

的图象如图所示: 6分 上单调递增, 上单调递减, 的取值范围为

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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试卷第 72 页,总 128 页

. 9分

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 当 当 当 设



综上所述: 有 有 个解; ,即 ,即 ,则 , 即 个解; 个解; 时, 时, 时 ,

, 即

个解. 13 分

时 ,

试卷第 73 页,总 128 页

,



2分

, 有

,

,

有两个解 ,



? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?



时,方程有

个解;



时,方程有

个解;



时,方程有

个解;



时,方程有

个解.

14 分

考点:函数解析式的多种求法,不等式恒成立问题转化,函数与方程 87.某工厂的固定成本为 3 万元,该工厂每生产 100 台某产品的生产成本为 1 万元,设 生产该产品 x(百台) ,其总成本为 g(x)万元(总成本=固定成本+生产成本) ,并且销

售收人 r(x)满足

假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求:

(1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大? 【答案】(1) 大于 300 台小于 1050 台; (2) 600 台 【解析】 试题分析:(1) 由于销售收入是一个关于产品数量 x 的一个分段函数,另外计算工厂的 盈利需要将销售收入 r(x)减去总的成本 g(x)万元,所以在两段函数中分别求出盈利大 于零的时候产品数量的范围,及可求得结论. (2)通过二次函数的最值的求法即可得到盈利最大值时对应的产品数 x 的值,本小题单 位的转化也是易错点.

试题解析: 依题意得

, 设利润函数为

, 则



所以

(1)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0,因为

试卷第 74 页,总 128 页

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f(x)>0?



?

?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

?







.

所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 300 台小于 1050 台的范围内

(2)当

时,

故当 x=6 时,f(x)有最大值 4.5.而当 x>7 时,

.

所以当工厂生产 600 台产品时,盈利最大. 考点:1.分段函数的应用.2.函数的最值.3.实际问题的构建数学模型解决. 88.东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件,每件水晶产品的销售价格为 100 元,固定 成本为 80 元.从今年起,工厂投入 100 万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本.预计产量每年递增 1 万件,每件水晶产品的固定成本 g(n)与科技成本

的投入次数 n 的关系是 g(n)=

.若水晶产品的销售价格不变,第 n 次投入

后的年利润为 f(n)万元. (1)求出 f(n)的表达式. (2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

【答案】(1) f(n)=(10+n)(100-

)-100n(n∈N )

*

(2) 从今年算起第 8 年利润最高,最高利润为 520 万元 【解析】 (1) 第 n 次投入后 , 产量为 (10+n) 万件 , 销售价格为 100 元 , 固定成本为

试卷第 75 页,总 128 页

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元,科技成本投入为 100n 万元.

所以,年利润为 f(n)=(10+n)(100-

)-100n(n∈N ).

*

(2)由(1)知 f(n)=(10+n)(100-

)-100n

=1000-80(

+

)≤520(万元).

当且仅当

=

,

即 n=8 时,利润最高,最高利润为 520 万元. 所以,从今年算起第 8 年利润最高,最高利润为 520 万元. 89.某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是 P(亿元)和 Q(亿元),它们与投

资额 t(亿元)的关系有经验公式 P=

,Q=

t,今该公司将 5

亿元投资于这两个项目,其中对甲项目投资 x(亿元),投资这两个项目所获得的总利润为 y(亿元).求: (1)y 关于 x 的函数表达式. (2)总利润的最大值.

【答案】(1) y=

+

(5-x),x∈[0,5]

(2) 0.875 亿元

【解析】(1)根据题意,得 y=

+

(5-x),x∈[0,5].

试卷第 76 页,总 128 页

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(2)令 t=

,t∈[0,

],则 x=

.

y=-

t+

2

t+

=-

(t-2) +

2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

,

因为 2∈[0,

],所以当

=2 时,即 x=2 时,y 最大值=0.875.

答:总利润的最大值是 0.875 亿元. 90. 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上 了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目 , 经测算 , 该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为

y= 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将 给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则 国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】(1) 国家每月至少补贴 5000 元才能使该项目不亏损 (2) 当每月的处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低. 【解析】(1)该项目不会获利. 当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S,

则 S=200x-(

x -200x+80000)

2

=-

x +400x-80000=-

2

(x-400) ,

2

试卷第 77 页,总 128 页

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所以当 x∈[200,300]时,S<0,因此该项目不会获利. 当 x=300 时,S 取得最大值-5000, 所以国家每月至少补贴 5000 元才能使该项目不亏损. (2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为:

= ①当 x∈[120,144)时,

=

x -80x+5040=

2

(x-120) +240,

2

所以当 x=120 时,

取得最小值 240.

②当 x∈[144,500]时,

=

x+

-200≥

2

-200=200,

当且仅当

x=

,

即 x=400 时,

取得最小值 200.

因为 200<240,所以当每月的处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低. 91.某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x),

当年产量不足 80 千件时,C(x)=

x +10x(万元).当年产量不小于 80 千件
试卷第 78 页,总 128 页

2

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

时,C(x)=51x+

-1450(万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,

该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

【答案】(1) L(x)= (2) 当产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为 1000 万 元. 【解析】 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x 千件商品销售额为 0.05?1000x 万元,

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

依题意得:当 0<x<80 时,L(x)=(0.05?1000x)-

x -10x-250=

2

当 x

x +40x-250. ≥ 80 时 ,L(x)=(0.05 ?

2

1000x)-51x-

+1450-250=1200-(x+

).

所以 L(x)=

(2)当 0<x<80 时,L(x)=-

(x-60) +950.

2

此时,当 x=60 时,L(x)取得最大值,L(60)=950 万元.

当 x≥80 时,L(x)=1200-(x+

)≤1200-2
试卷第 79 页,总 128 页

=1200-200=1000,

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

此时,当 x=

时,即 x=100 时,L(x)取得最大值 1000 万元.

∵950<1000, 所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为 1000 万 元. 92 .已知某物体的温度 θ ( 单位 : 摄氏度 ) 随时间 t( 单位 : 分钟 ) 的变化规律是 : θ t 1-t =m?2 +2 (t≥0,且 m>0). (1)如果 m=2,求经过多少时间,物体的温度为 5 摄氏度. (2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围.

【答案】(1) 经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度.

(2) [

,+∞)

【解析】(1)若 m=2,则θ =2?2 +2 =2(2 +

t

1-t

t

),

当θ =5 时,2 +

t

=

,

令 2 =x(x≥1),则 x+

t

=

,即 2x -5x+2=0,

2

解得 x=2 或 x=

(舍去),此时 t=1,

所以经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度. (2)物体的温度总不低于 2 摄氏度,即θ ≥2 恒成立.

亦即 m?2 +

t

≥2 恒成立.

试卷第 80 页,总 128 页

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亦即 m≥2(

-

)恒成立.



=a,则 0<a≤1.

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

∴m≥2(a-a ),由于 a-a ≤

2

2

,∴m≥

.

因此当物体的温度总不低于 2 摄氏度时,m 的取值范围是[

,+∞).

93.已知函数 f(x)=a-

是偶函数,a 为实常数.

(1)求 b 的值. (2)当 a=1 时,是否存在 n>m>0,使得函数 y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是 [m,n],若存在,求出 m,n 的值,否则,说明理由. 【答案】(1) b=0 (2) 不存在,理由见解析

【解析】(1)由已知,可得 f(x)=a-

的定义域为 D=(-∞,

)

∪(

,+∞).

又 y=f(x)是偶函数,故定义域 D 关于原点对称.

于是,b=0(否则,当 b≠0 时,有即 D 必不关于原点对称). 又对任意 x∈D,有 f(x)=f(-x),可得 b=0 因此所求实数 b=0.

∈D 且

D,

试卷第 81 页,总 128 页

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(2)由(1),可知 f(x)=a-

(D=(-∞,0)∪(0,+∞)).

考察函数 f(x)=a-

的图象,可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,

又 n>m>0, ∴y=f(x)在区间[m,n]上是增函数. 因 y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n].

∴有

即方程 1-

=x,也就是 2x -2x+1=0 有两个不相等的正根.

2

∵Δ =4-8<0,∴此方程无解. 故不存在正实数 m,n 满足题意. 94.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓 励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出 场单价就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少?

【答案】(1) p=

(2) 当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6

050 元 【解析】解:(1)当 0<x≤100 时,p=60; 当 100<x≤600 时, p=60-(x-100)?0.02=62-0.02x.

所以 p= (2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x-40x=20x; 当 100<x≤600 时, 2 y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x .
试卷第 82 页,总 128 页

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所以 y= 当 0<x≤100 时, y=20x 是单调增函数, 当 x=100 时, y 最大, 此时 y=20?100=2 000; 当 100<x≤600 时, 2 2 y=22x-0.02x =-0.02(x-550) +6 050, 所以当 x=550 时,y 最大,此时 y=6 050. 显然 6 050>2 000. 所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6 050 元. 95.某医药研究所开发一种新药,在试验药效时发现:如果成人按规定剂量服用,那么

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 x(小时)之间满足 y=



对应曲线(如图所示)过点

.

(1)试求药量峰值(y 的最大值)与达峰时间(y 取最大值时对应的 x 值); (2)如果每毫升血液中含药量不少于 1 微克时治疗疾病有效,那么成人按规定剂量服用 该药后一次能维持多长的有效时间(精确到 0.01 小时)? 【答案】 (1)y 取最大值时,对应的 x 值为 1.(2)3.85 小时

【解析】(1)由曲线过点

,可得

,故 a=8.

当 0<x<1 时,y= 当 x≥1 时,设 2
x-1

=4, =t,可知 t≥1,

y=



=4(当且仅当 t=1,即 x=1 时,等号成立).
试卷第 83 页,总 128 页

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综上可知 ymax=4,且当 y 取最大值时,对应的 x 值为 1. 所以药量峰值为 4 微克,达峰时间为 1 小时.

(2)当 0<x<1 时,由

=1,可得 x -8x+1=0,

2

解得 x=4±

,又 4+

>1,故 x=4-

.

当 x≥1 时,设 2

x-1

=t,则 t≥1,

=1,可得

=1,解得

t=4±



又 t≥1,故 t=4+

,所以 2

x-1

=4+

,可得 x=log2(4



)+1.

由 图 像 知 当 y≥1 时 , 对 应 的 x 的 取 值 范 围 是 [4 -

, log2(4 +

)+1],

log2(4+

)+1-(4-

)≈3.85,

所以成人按规定剂量服用该药后一次能维持大约 3.85 小时的有效时间.
试卷第 84 页,总 128 页

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96.现有一张长为 80 cm,宽为 60cm 的长方形铁皮 ABCD,准备用它做成一只无盖长方 体铁皮盒,要求材料利用率为 100%,不考虑焊接处损失.如图,若长方形 ABCD 的一个 角剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设 3 长方体的底面边长为 x(cm),高为 y(cm),体积为 V(cm )

(1)求出 x 与 y 的关系式; (2)求该铁皮盒体积 V 的最大值.

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【答案】 (1)y=
2

,0<x<60.(2)32000 cm

3

【解析】(1)由题意得 x +4xy=4 800,

即 y=

,0<x<60.

(2)铁皮盒体积 V(x)=x y=x ?

2

2

=-

x3+1 200x, V′(x)

=-

x2+1200,令 V′(x)=0,得 x=40,因为 x∈(0,40),V′(x)>0,

V(x)是增函数; x∈(40,60), V′(x)<0, V(x)是减函数, 所以 V(x)=-
3

x3

+1 200x,在 x=40 时取得极大值,也是最大值,其值为 32 000 cm . 3 所以该铁皮盒体积 V 的最大值是 32000 cm . 97.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售量 2 为(12-x) 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时, 分公司一年的利润 L 最大?并求出 L 的最大值 Q(a).

试卷第 85 页,总 128 页

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【答案】 (1)L=(x-3-a)?(12-x) ,x∈[9,11]. (2)当每件售价为

2

元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=4

3

(万元).

【解析】(1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为 L=(x-3-a)?(12 2 -x) ,x∈[9,11]. 2 (2)L′(x)=(12-x) -2(x-3-a)(12-x)=(12-x)?(18+2a-3x).

令 L′=0,得 x=6+

a 或 x=12(不合题意,舍去).

∵3≤a≤5,∴8≤6+

a≤

.

在 x=6+

a 两侧,L′的值由正变负.

所以①当 8≤6+

a<9,

即 3≤a<

时,

Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a);

②当 9≤6+

a≤



试卷第 86 页,总 128 页

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≤a≤5 时,

Lmax=L

2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

=4

3

,所以 Q(a)=

故若 3≤a<

,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大

值 Q(a)=9(6-a)(万元); 若

≤a≤5, 则当每件售价为



时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=4

3

(万元)

98. 如图, 在 C 城周边已有两条公路 l1, l2 在点 O 处交汇.已知 OC=(



)km,∠AOB=75°,∠AOC=45°,现规划在公路 l1,l2 上分别选择 A,

B 两处为交汇点(异于点 O)直接修建一条公路通过 C 城.设 OA=x km,OB=y km.

(1)求 y 关于 x 的函数关系式并指出它的定义域;
试卷第 87 页,总 128 页

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(2)试确定点 A,B 的位置,使△OAB 的面积最小.

【答案】 (1)y=

(x>2)(2)4(

+1) km .

2

【 解 析 】 (1) 因 为 △ AOC 的 面 积 与 △ BOC 的 面 积 之 和 等 于 △ AOB 的 面 积 , 所 以

x(



)sin

45°



y(



)?sin

30°



xysin 75 °,



x(



)



y(



)=

xy,

所以 y=

(x>2).

(2) △ AOB 的 面 积 S =

xysin 75° =

xy =

试卷第 88 页,总 128 页

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?



(x - 2 +



4)≥

?8=4(

+1).

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

当且仅当 x=4 时取等号,此时 y=4

.

故 OA=4 km,OB=4
2

km 时,△OAB 面积的最小值为 4(



1) km 99.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元到 1 000 万元的 投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:资金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%. (1)若建立函数 y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数 f(x)

模型的基本要求,并分析函数 y= 型,并说明原因;

+2 是否符合公司要求的奖励函数模

(2)若该公司采用模型函数 y=

作为奖励函数模型, 试确定最小的正整数

a 的值.
【答案】 (1)不符合公司要求(2)328 【解析】(1)设奖励函数模型为 y=f(x),按公司对函数模型的基本要求,函数 y=f(x) 满足: 当 x∈[10,1 000]时, ①f(x)在定义域[10,1 000]上是增函数; ②f(x)≤9 恒成立;

试卷第 89 页,总 128 页

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③f(x)≤

恒成立.(2 分)

对于函数模型 f(x)=

+2.

当 x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数,(3 分)

f(x)max=f(1 000)=
所以 f(x)≤9 恒成立.

+2=

+2<9.

但 x=10 时,f(10)=

+2>

,即 f(x)≤

不恒成立, 故该函数模型不符合公司要求.(6 分)

(2)对于函数模型 f(x)=

,即 f(x)=10-



当 3a+20>0,即 a>-

时递增;(8 分)

要使 f(x)≤9 对 x∈[10,1 000]恒成立,

即 f(1 000)≤9,3a+18≥1 000,a≥

;(10 分)

要使 f(x)≤

对 x∈[10,1 000]恒成立,

试卷第 90 页,总 128 页

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, x - 48x + 15a≥0 恒 成 立 , 所 以

2

a≥

.(12 分)

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

综上所述,a≥

,所以满足条件的最小的正整数 a 的值为 328.(14 分)

100.经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计),旅游人数 f(t)(万人)

与时间 t(天)的函数关系近似满足 f(t)=4+

,人均消费 g(t)(元)与时

间 t(天)的函数关系近似满足 g(t)=115-|t-15|. * (1)求该城市的旅游日收益 w(t)(万元)与时间 t(1≤t≤30,t∈N )的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元).

【答案】 (1) 万元

(115-|t-15|)(1≤t≤30, t∈N ) (2) 403

*

【解析】 (1)由题意得, w(t)=f(t)?g(t)=

(115-|t-15|)(1≤t≤30,

t∈N*).(5 分)

(2)因为 w(t)=

(7 分),

① 当 1≤t < 15 时 , w(t) =

(t + 100) = 4



试卷第 91 页,总 128 页

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401≥4?2

+401=441,

当且仅当 t=

,即 t=5 时取等号.(10 分)

②当 15≤t≤30 时,w(t)=

(130-t)=519+



可 证 w(t) 在 t ∈ [15,30] 上 单 调 递 减 , 所 以 当 t = 30 时 , w(t) 取 最 小 值 为

403

.(13 分)

由于 403

<441,所以该城市旅游日收益的最小值为 403

万元.(14 分) 101.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层, 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元,该建 筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)=

(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为 隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

【答案】 (1)f(x)=20?

+6x=

+6x(0≤x≤10)(2)5

cm 厚,70 万元 【解析】 (1) 设隔热层厚度 x cm ,由题意,建筑物每年的能源消耗费用为 C(x) =

试卷第 92 页,总 128 页

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

(0≤x≤10),再由 C(0)=8,得 k=40,

∴C(x)=

(0≤x≤10),又∵隔热层建造费用为 6x(万元),

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

∴f(x)=20?

+6x=

+6x(0≤x≤10).

(2)f(x)=

+6x=

+(6x+10)-10,

∵0≤x≤10,∴6x+10>0,∴f(x)≥2

-10=70.

当且仅当

=6x+10.即 x=5 时,取“=”号.

故隔热层修建 5 cm 厚时,总费用最小,最小值为 70 万元.

102.已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的解析式;

的图象过原点,且关于点(-1,2)成中心对称.

(2)若数列{an}满足 a1=2,an+1=f(an),试证明数列 出数列{an}的通项公式.

为等比数列,并求

【答案】 (1)f(x)=

(2)an=
试卷第 93 页,总 128 页

∴ =2. = =2≠0,∴数列 ,



∵f(x)=

∴当 n≥2 时,

(2)∵an+1=f(an)=

【解析】(1)∵f(0)=0,∴c=0.

=2 ,∴an=

n

∴f(x)+f(-2-x)=4,解得 b=2.∴f(x)=

(万元) ,它们与投入资金 =

.

的图象关于点(-1,2)成中心对称,

103 .现有 A , B 两个投资项目,投资两项目所获得利润分别是

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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试卷第 94 页,总 128 页

.

?



是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

(万元)的关系依次是:其中



? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?



平方根成正比,且当

为 4(万元)时

为 1(万元) ,又



成正比,当

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

为 4(万元)时 资.

也是 1(万元) ;某人甲有 3 万元资金投

(1)分别求出





的函数关系式;

(2)请帮甲设计一个合理的投资方案,使其获利最大,并求出最大利润是多少?

【答案】(1) , 【解析】 ;

(2)详见解析.

试题分析: (1) 设



,然后根据

时,

都是 1(万元)代入,得到

是多少,实际问题,定义域

;(2) 设甲投资到 A,B 两项目的资金分别为

(万元) ,



) (万元)

,获得利润为 y 万元,分别代入利润 P,Q 的
试卷第 95 页,总 128 页

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函数解析式,再利用换元,得到函数,求函数最大值.同时求出

的值.

试题解析:解: (1)设 P,Q 与 x 的的比例系数分别是



且都过(4,1)

所以:

2 分,

6分

(2)设甲投资到 A,B 两项目的资金分别为

(万元) , (



(万元)

,获得利润为 y 万元

由题意知:

所以当

=1,即

=1 时,

答:甲在 A,B 两项上分别投入为 1 万元和 2 万元,此时利润最大,最大利润为 1 万元 (7) 考点:函数的实际应用 104.某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料 200 千克,每千克饲料的价格 为 1.8 元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天 0.03 元,购买饲料每次支付运费 300 元. (1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少; (2)若提供饲料的公司规定,当一次购买饲料不少于 5 吨时,其价格可享受八五折优惠
试卷第 96 页,总 128 页

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(即原价的 85%).问:该厂是否应考虑利用此优惠条件?请说明理由. 【答案】 (1)10 天(2)利用 * 【解析】(1)设该厂 x(x∈N )天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少,平均每天支 付的总费用为 y1. ∵饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 200?0.03=6(元), ∴x 天饲料的保管费与其他费用共是 2 6(x-1)+6(x-2)+?+6=3x -3x(元).

从 而 有 y1 =

(3x - 3x + 300) + 200?1.8 =

2

+ 3x +

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

357≥417,当且仅当

=3x,

即 x=10 时,y1 有最小值. 故该厂 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. (2)设该厂利用此优惠条件,每隔 x 天(x≥25)购买一次饲料,平均每天支付的总费用为

y2,则 y2=
303(x≥25).

(3x -3x+300)+200?1.8?0.85=

2

+3x+

令 f(x)=

+3x(x≥25),

∵f′(x)=-

+3,

∴当 x≥25 时,f′(x)>0;当 x≥25 时,函数 f(x)与 y2 是增函数. ∴当 x=25 时,y2 取得最小值,最小值为 390. ∵390<417,∴该厂应考虑利用此优惠条件. 105.某镇政府为了更好地服务于农民,派调查组到某村考察.据了解,该村有 100 户 农民,且都从事蔬菜种植,平均每户的年收入为 3 万元.为了调整产业结构,该镇政府 决定动员部分农民从事蔬菜加工.据估计,若能动员 x(x>0)户农民从事蔬菜加工,则 剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高 2x%,而从事蔬菜加工的农

民平均每户的年收入将为 3

(a>0)万元.
试卷第 97 页,总 128 页

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(1)在动员 x 户农民从事蔬菜加工后,要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员 前从事蔬菜种植的农民的总年收入,求 x 的取值范围; (2)在(1)的条件下, 要使这 100 户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从 事蔬菜种植的农民的总年收入,求 a 的最大值. 【答案】 (1)0<x≤50(2)5 【解析】(1)由题意,得 3(100-x)(1+2x%)≥3?100, 2 即 x -50x≤0,又 x>0,解得 0<x≤50.

(2)从事蔬菜加工的农民总年收入为 3

x 万元,

从事蔬菜种植的农民的总年收入为 3(100-x)(1+2x%)万元.

根据题意,得 3

x≤3(100-x)(1+2x%)恒成立,

即 ax≤100+x+

恒成立.

因为 0<x≤50,所以 a≤



+1 恒成立,





+1≥5,当且仅当 x=50 时取等号,所以 a 的最大

值为 5. 106.某投资公司计划投资 A,B 两种金融产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润 y1

与投资金额 x 的函数关系为 y1=18-

,B 产品的利润 y2 与投资金额 x 的

函数关系为 y2=

(注:利润与投资金额单位:万元).

(1)该公司已有 100 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品中,其中 x 万元资金投入 A 产 品,试把 A,B 两种产品利润总和表示为 x 的函数,并写出定义域; (2)在(1)的条件下,试问:怎样分配这 100 万元资金,才能使公司获得最大利润?其
试卷第 98 页,总 128 页

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最大利润为多少万元?

【答案】(1)

;(2) 分别用 20 万元和 80 万元资金投资 A、B 两种金融

产品,可以使公司获得最大利润,最大利润为 28 万元. 【解析】

试题分析: (1) 根据题意,

万元资金投入

产品,利润

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

万元;

万元资金投入

产品,利润

,由

可得所求函数关系;

(2)由(1)所得函数的解析式

可考虑用基本不等式法求其最大值,并注意等号成立的条件。 试题解析:(1)其中 x 万元资金投入 A 产品,则剩余的 100-x(万元)资金投入 B 产品, 利润总和

f(x)=18-



=38- 分



(x∈[0,100]).

6

试卷第 99 页,总 128 页

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(2)∵f(x)=40- ∴由基本不等式得:

,x∈[0,100],

f(x)≤40- 2

= 28 ,取等号当且仅当



一个有 36 名游客的旅游团到新余仙女湖旅游,其中

是省外游客,其余

是省内游客.在省外游客中有

持金卡,在省内游客中有

持银卡.(1)在该团中随机采访 2 名游客,求恰有 1 人持银卡的概率; (2)在该团中随机采访 2 名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等概率.

【答案】 (1) 【解析】

; (2)

.

试题分析: (1)根据题意,36 人的旅游团中持金卡的人数为:



持银卡的人数为:

,可用古典概型求在该团中随机采访 2 名游客,求恰

有 1 人持银卡的概率; (2)事件“在该团中随机采访 2 名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等”可看作两
试卷第 100 页,总 128 页

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时,即 x=20. 12 分 答:分别用 20 万元和 80 万元资金投资 A、B 两种金融产品,可以使公司获得最大利润, 最大利润为 28 万元. 13 分 考点:1、函数在解决实际问题中的应用;2、基本不等式. 107.为加快旅游业的发展,新余市 2013 年面向国内发行总量为 200 万张的“仙女湖之 旅”优惠卡,向省外人士发行的是金卡,向省内人士发行的是银卡.某旅游公司组织了

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个互斥事件的和事件, 即: “在该团中随机采访 2 名游客,所抽中的两人都不持有优惠 卡”与“在该团中随机采访 2 名游客,所抽中的两个人中一人持有金卡,另一人持有银 卡” ,再用古典概型求这两个事件的概率即可. 试题解析: (1)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡. 设事件 A 为“采访该团 2 人,恰有 1 人持银卡”, 1分



学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

所 以 采 访 该 团 2 人 , 恰 有 1 人 持 银 卡 的 概 率 是

.

6分 (2)设事件 B 为“采访该团 2 人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为: 事件 B1 为“采访该团 2 人,持金卡 0 人,持银卡 0 人”,或事件 B2 为“采访该团 2 人,持 金卡 1 人,持银卡 1 人”两种情况,则

所以采访该团 2 人,持金卡与持银卡人数相等的概率是

.

12 分 考点:1、古典概型;2、互斥事件的和事件. 108.某公司欲建连成片的网球场数座,用288万元购买土地20000平方米,每 座球场的建筑面积为1000平方米, 球场每平方米的平均建筑费用与所建的球场数有

关,当该球场建n座时,每平方米的平均建筑费用

表示,且

(其中

) ,又知建5座球场时,每平方米的平均建筑费

用为400元. (1)为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和) , 公司应建几座网球场?
试卷第 101 页,总 128 页

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(2)若球场每平方米的综合费用不超过820元,最多建几座网球场? 【答案】 (1)12;(2)18 【解析】

试题分析: (1)根据球场建n座时,每平方米的平均建筑费用

表示,且

(其中

) ,又知建5座球场时,每平方米的平均建筑费

用为400元.所以可以求出

的值,这样就求出每平方米的平均建筑费

用的表达式.另外每平米的购地费用是总费用除以总的建筑面积 .再通过应用基本不等 式即可得到结论.本小题的关键是购地费用不是总费用除以购买了 20000 平方米,这也 是易错点. (2)由(1)可知球场每平方米的综合费用的表达式,又球场每平方米的综合费用不超 过820元,通过解不等式即可得到结论.

试题解析: (1)设建成

个球场,则每平方米的购地费用为



由题意知

,则

,所以

.

所以

,从而每平方米的综合费用为

试卷第 102 页,总 128 页

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 解得: 当且仅当 费用最省. (1)判断函数 109.已知函数 (2)由题意得

( 2)令



【答案】 (1)函数 8分 在 . ,即 .所以最多建 18 个网球场. , 12 分 的单调性并用定义证明; =12 时等号成立.所以当建成 12 座球场时,每平方米的综合

(元).

,求

考点: 1.基本不等式的应用.2.二次不等式的解法.



在区间

试卷第 103 页,总 128 页

递增;证明详见答案解析.

的最大值的表达式

而 . 时, 在 在区间 ;当



在区间

(2)当

【解析】

证明如下:

试题解析: (1)

综上即可求出

(2)由(1)先求出

试题分析: (1)先根据已知条件求出

,所以

上任取



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试卷第 104 页,总 128 页

递增;

,再根据单调性的定义证明即可;

的表达式,再根据单调性求得各个区间的最大值,

>0 的最大值的表达式

时, .

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 当 当 若 若 分) 所以 (2)若

综 上 : , ,则 ,即函数 , 时,函数递减, 时,函数递增, ) 在 ,在 在 ; ,



,当

时 ,

时,

试卷第 105 页,总 128 页

(11 分)

, 当 (13 分)

递减,

,当

递增,



的单调递增; (6 分)

时,

(9

时 ,



? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?



(15 分)

考点:函数的单调性、分段函数求值域问题. 110.某家具厂生产一种儿童用组合床柜的固定成本为 20000 元,每生产一组该组合床

柜需要增加投入 100 元,已知总收益满足函数: 是组合床柜的月产量.

,其中

(1)将利润

元表示为月产量

组的函数;

(2)当月产量为何值时,该厂所获得利润最大?最大利润是多少?(总收益=总成本+ 利润).

【答案】 (1) 【解析】

; (2) 当

时, 有最大利润

元.

试题分析: (1)先计算出总成本(固定成本+浮动成本) :

,然后根据利



总收益

总成本即可写出所求函数的解析式

; (2)利用一次函数、二次函数的性质分段求出各段的最大值,然后比 较大小,即可得到月产量为多少时,取得最大利润.

试卷第 106 页,总 128 页

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试题解析: (1)由题设,总成本为

2分



6分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

(2)当

时,



时,



9分



时,

是减函数,



11 分

∴当

时,有最大利润



12 分.

考点:1.函数的应用;2.分段函数的最值问题. 111.心理学家通过研究学生的学习行为发现;学生的接受能力与老师引入概念和描述 问题所用的时间相关,教学开始时,学生的兴趣激增,学生的兴趣保持一段较理想的状

态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用

表示学生掌

握 和 接 受 概 念 的 能 力 , x 表 示 讲 授 概 念 的 时 间 ( 单 位 :min) , 可 有 以 下 的 关

试卷第 107 页,总 128 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

系: (1)开讲后第 5min 与开讲后第 20min 比较,学生的接受能力何时更强一些? (2)开讲后多少 min 学生的接受能力最强?能维持多少时间? (3)若一个新数学概念需要 55 以上(包括 55)的接受能力以及 13min 时间,那么老师 能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念? 【答案】 (1)开讲后第 5min 比开讲后第 20min,学生接受能力强一些.; (2)6min; (3) 详见解析. 【解析】 试题分析:此题考查的是分段函数的基本知识及分段函数图象增减性的应用.第一小题 求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值, 方法是分别求出各段的最大值 取其最大即可.第二小题比较 5 分钟和 15 分钟学生的接受能力何时强,方法是把 x=5 代入第一段函数中,而 x=15 要代入到第二段函数中,比较大小即可.不同的自变量代 入相应的解析式才能符合要求.第三小题考查分段函数图象和增减性,令 f(x)=55,

第一段函数解得 x=6,第二段函数解得 x=

,关键是从图象上知道 6<x



时,f(x)>55,然后求出两个时间之差即 就是持续的时间,最后和 10 分钟比较大小即可.

-6=

,其实

试题解析::(1)

2分

开讲后第 5min 比开讲后第 20min,学生接受能力强一些. 3 分

试卷第 108 页,总 128 页

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 当 又由 时 时, , 11 分 9分 时, 5分 (3)由 (2)

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