概率论与数理统计第二章试题

第二章历年试题 小题, 一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 单项选择题( 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。 括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列各函数可作为随机变量分布函数的是(
?2 x , 0 ≤ x ≤ 1 A. F1 ( x ) = ? ; 其他. ? 0,



? 0 , x < 0; ? B. F2 ( x ) = ? x , 0 ≤ x < 1 ; ?1, x ≥ 1. ? x < 0; ? 0, ?2 x , 0 ≤ x < 1 D. F4 ( x ) = ? ; ?2 x ≥ 1. ?

?? 1, x < ?1; ? C. F3 ( x ) = ? x , ? 1 ≤ x < 1 ; ?1 x ≥ 1. ? 2.设随机变量 X 的概率密度为 ?x ? f ( x ) = ? 4 , ? 2 < x < 2; ? 0, 其他, ?
则 P{-1<X<1}=( 1 A. 4
C. 3 4


B. 1 2

D.1

3.设随机变量 X~N(1,4) Y=2X+1,则 Y 所服从的分布为( , ) B.N(3,8) A.N(3,4) C.N(3,16) D.N(3,17) 4.设每次试验成功的概率为 p(0<p<1),则在 3 次独立重复试验中至少成功一次的概率为 ( ) 3 2 A.1-(1-p) B.p(1-p)
1 C. C 3 p(1 ? p) 2

D.p+p2+P3


5.设随机变量 X 在区间[2,4]上服从均匀分布,则 P{2<X<3}=( A.P{3.5<X<4.5} B.P{1.5<X<2.5} C.P{2.5<X<3.5} D.P{4.5<X<5.5}
? c ? , 6.设随机变量 X 的概率密度为 f (x)= ? x 2 ?0, ? A.-1 C. 1 2 x > 1; x ≤ 1, B. ? D.1 1 2

则常数 c 等于(



7. 设随机变量 X 的取值范围是(-1,1),以下函数可作为 X 的概率密度的是( ? x, ? 1 < x < 1; A.f(x)= ? 其它. ?0,



?x 2 , B.f(x)= ? ?0 ,

? 1 < x < 1; 其它.

? 1 ? 1 < x < 1; ? , C.f(x)= ? 2 其它. ? 0, ?
A.0.1385 B.0.2413

?2, ? 1 < x < 1; D.f(x)= ? 其它. ?0,

8.设随机变量 X~N(1,4), Φ (1) = 0.8413, Φ(0) = 0.5 ,则事件{1 ≤ X ≤ 3 }的概率为(
C.0.2934 D.0.3413 9.下列各函数中,可作为某随机变量概率密度的是(





?2 x, 0 < x < 1; A. f ( x ) = ? 其他 ? 0,

?1 ? , 0 < x < 1; B. f ( x ) = ? 2 ? 0, 其他 ?

?3x 2 , 0 < x < 1; C. f ( x) = ? 其他 ? ? 1,

?4 x 3 , ? 1 < x < 1; D. f ( x) = ? 其他 ? 0,

?100 ? , x ≥ 100; 10.某种电子元件的使用寿命 X(单位:小时)的概率密度为 f ( x) = ? x 2 任取 ? 0, x < 100, ? 一只电子元件,则它的使用寿命在 150 小时以内的概率为( 1 1 B. A. 4 3
C. 1 2 D. 2 3



11.下列各表中可作为某随机变量分布律的是(
X


X

0 0.5

1 0.2

2 -0.1
B.

0 0.3

1 0.5

2 0.1

A.

P

P

C.

X P

0 1 3

1 2 5

2 4 15

D.

X P

0 1 2

1 1 3

2 1 4

? -x ? 5 12.设随机变量 X 的概率密度为 f(x) = ?ce , x ≥ 0; 则常数 c 等于( ? 0, x < 0, ? A .1 5 B. 1 5



C .1 D.5 13.某人射击三次,其命中率为 0.8,则三次中至多命中一次的概率为( A.0.002 B.0.04 C.0.08 D.0.104 14.已知随机变量 X 的分布函数为(





F(x)=

x<0 ?0 ? ?1 0 ≤ x <1 ? ?2 ,则 P {X = 1 } = ? ?2 1≤ x < 3 ?3 ? ?1 x≥3 ?
B. 1 2

A.

1 6 2 3

C.

D.1

1 15.设随机变量 X 服从参数为 3 的指数分布,其分布函数记为 F (x) ,则 F ( ) = ( 3 A. 1 3e B.
e 3



C . 1 ? e ?1

D. 1 ?

1 ?1 e 3

?ax 3 , 0 ≤ x ≤ 1 , 16.设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) = ? 则常数 a = ( 其他 , ? 0, A. 1 4 B. 1 3



C.3

D.4


0 < x ≤ 1; ?x , ? 17.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ?2 ? x , 1 < x ≤ 2; 则 P{0.2<X<1.2}的值是( ? 0, 其它. ? A.0.5 B.0.6 C.0.66 D.0.7 18.某人射击三次,其命中率为 0.7,则三次中至多击中一次的概率为( A.0.027 B.0.081 C.0.189 D.0.216



小题, 二、填空题(本大题共 15 小题,每空 2 分,共 30 分) 填空题( 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 19.设随机变量 X~N(2,22) ,则 P{X≤0}=___________。 (附:Φ(1)=0.8413) 20.设连续型随机变量 X 的分布函数为 ?1 ? e ?3 x , x > 0; F( x ) = ? x ≤ 0, ? 0, 则当 x>0 时,X 的概率密度 f(x)=___________。

21.已知随机变量 X~B(n,

1 1 ) ,且 P{X=5}= ,则 n=___________. 2 32

?a ? e ?2 x , x > 0; 22.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= ? 则常数 a=___________ x ≤ 0, ?0, 23. 设随机变量 X~N 1, ) 已知标准正态分布函数值Φ 1) ( 4 , ( =0.8413, 为使 P{X<a}<0.8413, 则常数 a<____________. . 24.抛一枚均匀硬币 5 次,记正面向上的次数为 X,则 P{X≥1}=____________. 25.设随机变量 X 表示 4 次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为 0.5,则 X~ ___________分布。 26.设随机变量 X 服从区间[0,5]上的均匀分布,则 P {X ≤ 3} = ___________. 27.已知随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布,且 P {X = 0} =e-1,则 λ =_________.
28.在相同条件下独立地进行 4 次射击,设每次射击命中目标的概率为 0.7,则在 4 次射击

中命中目标的次数 X 的分布律为 P

{X = i} =________, i =0,1,2,3,4.

29.设随机变量 X 服从正态分布 N(1,4) Φ(x)为标准正态分布函数,已知Φ(1)=0.8413, ,

Φ(2)=0.9772,则 P { X < 3} = ___________.
30.设随机变量 X~B(4, 2 ),则 P {X < 1} =___________. 3

31.已知随机变量 X 的分布函数为 x ≤ ?6; ? 0, ?x + 6 F(x) ? , ? 6 < X < 6; ? 12 x ≥ 6, ? 1,

则当-6<x<6 时,X 的概率密度 f(x)=______________.
X 32.设随机变量 X 的分布律为 P -1 1 8 0 3 8 1 1 16 2 7 16

,且 Y=X2,记随机

变量 Y 的分布函数为 FY(y) ,则 FY(3)=_________________.
33.设随机变量 X 服从区间 [0,10] 上的均匀分布,则 P(X>4)=________________. 34.在 [0, T ] 内通过某交通路口的汽车数 X 服从泊松分布,且已知 P(X=4) (X=3) =3P ,

则在 [0, T ] 内至少有一辆汽车通过的概率为________________.
35.某射手对一目标独立射击 4 次,每次射击的命中率为 0.5,则 4 次射击中恰好命中 3 次

的概率为_______.
36.设离散型随机变量 X 的分布函数为

x < ?1, ? 0, ?1 F ( x) = ? , ? 1 ≤ x < 2, ?3 x ≥ 2, ? 1,

则 P{X = 2} = _______.
1? ? 37.设随机变量 X ~ U ( ?1 , 1) ,则 P ? X ≤ ? = _______. 2? ? 1 38.设随机变量 X ~ B (4 , ) ,则 P{X > 0} = _______. 3
39.设随机变量 X ~ N (0 , 4) ,则 P{X ≥ 0} = _______.

?0 ?1 ? ? 40.已知随机变量 X 的分布函数为 F(x)= ? 2 2 ? ?3 ?1 ?

x<0 0 ≤ x <1 1≤ x < 3 x≥3

则 P{2<X≤4}=___________。

41.已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=ce-|x|,-∞<x<+∞,则 c=___________。

小题, 三、计算题(本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) 计算题( 42.设随机变量 X 服从参数为 3 的指数分布.试求: (1)Y=eX 的概率密度; 2)P{1≤Y≤2}. (
43.司机通过某高速路收费站等候的时间 X(单位:分钟)服从参数为λ=
1 的指数分布. 5

(1)求某司机在此收费站等候时间超过 10 分钟的概率 p; (2)若该司机一个月要经过此收费站两次,用 Y 表示等候时间超过 10 分钟的次数,写 出 Y 的分布律,并求 P{Y≥1}.

小题, 四、综合题(本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分) 综合题(
44.设随机变量 X 的概率密度为

?cx 2 , ? 2 ≤ x ≤ 2; f(x) ? = 其他. ? 0 试求: (1)常数 c; 45.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位:分钟)具有概率密度
?1 ? x 3 ? f(x) ? 3 e , x > 0; = ? 0, 其他. ? 某顾客在窗口等待服务,若超过 9 分钟,他就离开. (1)求该顾客未等到服务而离开窗口的概率 P{X>9};

(2)若该顾客一个月内要去银行 5 次,以 Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数,即事 件{X>9}在 5 次中发生的次数,试求 P{Y=0}. 46.袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,现从袋中同时取出 3 只,以 X 表示取出的 3 只球中的最 大号码,试求: (1)X 的概率分布; (2)X 的分布函数; (3)Y= X 2 +1 的概率分布。 47.甲在上班路上所需的时间(单位:分)X~N(50,100) .已知上班时间为早晨 8 时,他每天 7 时出门,试求: (1)甲迟到的概率; (2)某周(以五天计)甲最多迟到一次的概率. ( Φ (1)=0.8413, Φ (1.96)=0.9750, Φ (2.5)=0.9938)
?1 ? , x ≥ 1, 48.设随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) = ? x 2 ? 0, x < 1. ?
?1 ? (1) X 的分布函数 F X (x) ; 2) P ? < X ≤ 3? ; 3) Y=2X, Y 的概率密度 f Y ( y ) . 求 ( 求 ( 令 求 ?2 ? 49.某地抽样调查结果表明,某次统考中,考生的数学成绩(百分制)X 服从正态分布 N(72, σ 2 ) ,且 96 分以上的考生占考生总数的 2.3%. 试求考生的数学成绩在 60~84 分之

间的概率. (已知 Φ 0 (1) = 0.8413, Φ 0 ( 2) = 0.977 )


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