北师大版数学新课标课件角平分线


命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在 第三条直线上即可. 如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平 分线相交于点P,连接AP,BP,CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴PA=PB 同理,PB=PC. B ∴PA=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上, ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.

A

P C

几何的三种语言
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且 这一点到三个顶点的距离相等. 在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直 c 平分线(已知), ∴c,a,b相交于一点P,且 PA=PB=PC(三角形三条边的垂直B 平分线相交于一点,并且这一点 到三个顶点的距离相等).
a A b P C

这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.

证明点A在线段CD的中垂线上的方法 ?1、等距法:证明AC=AD即可 ?2、垂直平分线的定义法:证明CO=DO,AO垂直CD,则 点A在线段CD的中垂线上 3、等腰三角形底边上的“三线合一”
A 证明点AB是线段CD的中垂线 ?1、两点法:证明AC=AD,BC=BD 即点A点B都在中垂线上。 C O D

2、定义法:证明CO=DO,AO垂直CD,则
点AB是线段CD的中垂线

3、等腰三角形底边上的“三线合一”

B

回忆角平分线的定义?
如果一条射线把一个角分成两个相等的 角,那么这条射线叫这个角的角平分线

怎样得出角平分线?

用尺规作角的平分线. 尺规作图 已知:∠AOB,如图. A 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. E 作法: 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于 DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB O D 内交于点C. 3.作射线OC. 则射线OC就是∠AOB的平分线.

C

B

请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.

思考题

1 .画∠AOB的平分线OC,在OC上任取 一点P,过P向角的两边作垂线段PD、PE, 你能得出什么结论? A
D P O C B E

命题:在角平分线上的点到角的两边的距离相等

证明:在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设:一个点在一个角的平分线上 结论:它到角的两边的距离相等 已知:OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,

PD ⊥OA ,PE ⊥OB,垂足分别是D、E.
求证:PD=PE.

A C

证明:
O

D P

B E

对照证明过程
证明: ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠ODP= ∠OEP=90° 在Rt△ODP和Rt △OEP中 ∠ODP= ∠OEP O ∠DOP= ∠EOP OP=OP ∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(AAS) ∴PD=PE
A D C P B E

定理:在角平分线上的点到角的两边的距离相等

角平分线的性质
定理:在角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为: ∵∠1= ∠2,PD ⊥OA ,PE ⊥OB
D
C P O 1 2 E A

∴PD=PE.

B

老师提示:这个结论是经常用来
证明两条线段相等的根据之一.

定理:在角平分线上的点到角的两边的距离相等 逆命题: 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是,请你证明它.

逆命题: 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上.
已知:如图,PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上.
A

D
P

证明: ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∴ ∠ODP= ∠OEP=90° E 在Rt△ODP和Rt △OEP中 DP= ∠EP OP= OP ∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL)
B

O

∴ ∠AOP= ∠BOP,点P在∠AOB的平分线上.

逆定理: 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上. 几何语言: ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E ∴点P在∠AOB的平分线上 A
D

O
E

P

老师提示:这个结论又是经常用来证明点在
直线上(或直线经过某一点)的根据之一.

B

随堂练习

挑战自我

1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分 线和外角平分线,它们有什么关系?
C

E D

1 2
B A F

AD与AE互相垂直
考察角平分线的定义

2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公

路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置 (比例尺 1:20 000). B
A区

C

O

作法:1、作角平分线OB

2、在OB上截取OC=2.5cm
点C即为所求

3. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB 两边的距离相等.
作法:

E

B

1、作线段CD的中垂线EF
2、作角BOA的角平分线 ON,交直线EF于点P

E

N C● O
D

P

D●

点P即为所求
A

老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.

F

4.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC. 证明∵ PD⊥OA,PE⊥OB, ∠BAD= ∠CAD
A ∴OF=OE 在Rt△BED和Rt △CFD中 OF=OE F BD=CD C ∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL) ? ∴ BE=CF

E

B

D

在 △ABC中,∠C=90°,∠A=30°作AB的中垂线,交 AB于点D,脚AC于点E,连接BE,则BE平分∠ABC 你有几种证明方法. B D A E

C


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